《材料力学之能量法》PPT课件

1、1,第一章 能量法,2,第一章 能量法,1-1 杆件应变能的计算 1-2 杆件应变能的普遍表达式 1-3 卡氏定理 1-4 莫尔积分 1-5 图形互乘法 1-6 虚功原理 1-7 剪力对弯曲变形的影响 1-8 功的互等定理和位移互等定理,目录,3,1-1 杆件应变能的计算,一、拉压,在弹性范围内外力所作的功，全部转变为弹性体的应变能。即 W=VS,1-1 杆件应变能的计算,4,二、扭转,1-1 杆件应变能的计算,5,三、弯曲,1-1 杆件应变能的计算,6,拉压,扭转,弯曲,对于外力比较复杂，沿杆件轴线方向的内力为变量，或横截面面积沿轴线是变化的，则先求出dx微段的应变能。再积分求出杆件的应变能

2、,1-1 杆件应变能的计算,7,杆件的应变能在数值上等于变形过程中外力所做的功。在线弹性范围内，外力由零开始缓慢增加到某一值，将外力做的功统一写成,式中 F广义力； 与广义力对应的位移，即为广义力作用 点且与广义力方向一致的位移。称为广义位移,1-1 杆件应变能的计算,8,积分求出梁的应变能Vs,在变形过程中，外载荷所做的功为,由于应变能Vs等于外载荷所做的功W。即VS=W,由该式得自由端的挠度,由该例题可以看出，只有当弹性体上仅作用一个广义力，且所求位移为相应的广义位移时，才可直接利用功能原理计算,1-1 杆件应变能的计算,例题1-1,9,在组合变形时，杆件横截面上同时有几种内力分量作用，为

3、计算杆件的应变能，可取dx微段来研究,这些内力对所研究微段来说，都是外力。由于各组力做功相互独立，互不影响，该微段上的外力做功可写为,1-2 杆件应变能的普遍表达式,1-2 杆件应变能的普遍表达式,10,积分求出整个杆件的应变能为,该功等于微段内的应变能。即,1-2 杆件应变能的普遍表达式,11,弹性体上作用载荷时，它的作用点也因物体变形产生位移，载荷在此位移上做功，其值等于弹性体的应变能。所以可用载荷做功来求应变能,其中1，2 ， i ， n为F1，F2， Fi，Fn共同作用下引起的各载荷作用点的位移。这一结论称为克拉贝依隆原理,由于位移1，2 ， i ， n与外力F1，F2， Fi，Fn之

4、间是线性关系，则应变能是外力的二次齐次函数，所以应变能不能叠加,1-2 杆件应变能的普遍表达式,12,简单说明,C：先加F1，再加F2,D：先加F2 ，再加F1,1-2 杆件应变能的普遍表达式,常力F1在l2上作功,E：同时加F1、 F2,A：F1单独作用,B：F2单独作用,注意：VSV1+V2,13,结论： 应变能不可叠加，即各个载荷分别作用时弹性体的应变能之和不等于各个载荷共同作用时弹性体的应变能,应变能的大小仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关,1-2 杆件应变能的普遍表达式,14,先加F0,再加F1、F2、Fn,单位载荷法,1-4 莫尔积分,1-4 莫尔积分,15,令F0=1，即得

5、计算位移的 莫尔积分,单位载荷法,1-4 莫尔积分,同时加F0、F1、F2、Fn,应变能仅与载荷的最终值有关，而与加载的次序无关,16,积分为正，则单位力做功为正，即载荷引起的位移和单位力的方向一致；反之，积分为负，位移和单位力的方向相反。i为广义位移，相应的单位力为广义力,莫尔积分的一般表达式可写成,单位载荷法,1-4 莫尔积分,17,解:（1）在C点施加单位力,2）分别写出实际载荷和单位力作用下的弯矩方程,单位载荷法,1-4 莫尔积分,例题1-2,3）积分运算,18,解： 写出AB及BC段的弯矩方程,AB段,BC段,使用莫尔积分，A点垂直向下的位移为,A点位移方向与单位力相同即垂直向下,单

6、位载荷法,1-4 莫尔积分,例题1-3,19,解： 写出AB及BC段的弯矩方程,x2,AB段,BC段,使用莫尔积分，B截面的转角为,计算结果为负，表示B截面转角与单位力偶的方向相反。即为顺时针方向,变形后的刚架如图中虚线所示,单位载荷法,1-4 莫尔积分,例题1-3,20,莫尔积分也可适用于桁架、刚架、曲杆等结构。对于桁架莫尔积分可改写成,单位载荷法,1-4 莫尔积分,21,单位载荷法,1-4 莫尔积分,例题1-4,图示桁架,求节点B的垂直位移。已知各杆的EA相同,解： 1.在节点B施加垂直向下的单位力,2.列表形式计算出 、,22,单位载荷法,1-4 莫尔积分,例题1-5,图示小曲率曲杆，在

7、截面A，B处，受一对集中力F的作用，试计算两截面之间的相对错动和相对转角。设抗弯刚度EI已知，轴力和剪力引起的变形忽略不计,2.在A，B两点加一对单位力，其弯矩方程为,3.根据单位载荷法，A、B间相对错动为,4.在A，B两点加一对单位力偶，弯矩方程为,解：1.写出外载作用下的弯矩方程,5.求A，B两点的相对转角,23,在等截面直杆的情形下,EI为常量.这样就只需计算积分,直杆在单位力或单位力偶作用下,其内力图必是直线或折线,1-5 图形互乘法,弯矩图的面积 弯矩图的形心对应的 图的高度,1-5 图形互乘法,24,常用图形面积A和形心C,1-5 图形互乘法,25,解：先求A点的挠度,1）在A点沿

8、铅垂方向施加单位力,2）作载荷作用下和单位力作用 下的弯矩图,3）图形互乘,例题1-6,1-5 图形互乘法,26,解：再求A截面的转角,1）在A截面处施加单位力偶,2）作载荷作用下和单位力偶作用下的弯矩图,3）图形互乘,例题1-6,1-5 图形互乘法,27,解,1）在C 截面处施加单位力,2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图,3）图形互乘,例题1-7,对否,单位载荷内力图为折线时，互乘时按折点进行分段,1-5 图形互乘法,28,例题1-8,2）绘载荷作用下的弯矩图,4）图形互乘,3）绘单位力作用下的弯矩图,1-5 图形互乘法,叠加法,29,例题1-9,1-5 图形互乘法,30,例题1-9,1

9、-5 图形互乘法,叠加法求组合变形时的位移,31,解,1）在C截面处施加单位力,2）作载荷作用下和单位力作用下的弯矩图,3）图形互乘,例题1-10,外载荷内力图为直线时，互乘时可以倒乘,1-5 图形互乘法,32,解：求C截面的挠度,图示悬臂梁AB,抗弯刚度EI为常量,求截面C的挠度,例题1-11,1-5 图形互乘法,33,梁上作用两组力时，应变能与其作用次序无关，只与最终状态有关,先加F1力，再加F2力,先加F2力，再加F1力,1-8 功的互等定理和位移互等定理,1-8 功的互等定理和位移互等定理,34,上式表明第一组力F1在第二组力引起的位移12上所做的功，等于第二组力F2在第一组力引起的位移21上所做的功。这就是功的互等定理,在F1=F2的情况下，由功的互等定理可得,该式表明由载荷F作用于2点而引起的1点的位移12等于载荷F作用于1点而引起的2点的位移21。这就是位移互等定理,推导以上定理时，载荷F应理解为广义力，位移也应理解为广义位移,1-8 功的互等定理和位移互等定理,35,装有尾顶针的工件可简化为超静定梁。试利用互等定理求支