举一例有一位同学

1、举一例：有一位同学，平时学习极其用功，做的数学题极多，但不去理解主旨，几乎把每本参考书中的每句话都当成重点，以求滴水不漏。更可悲的是，在重复劳动之中，他从来不将自己冗长的思维有条理的整理出来，请教老师、同学的一些问题也往往很低级-自己脑子稍稍转个弯就行了！由于不分主次地学习，不注重培养解题感觉，他的成绩始终上不去，这就是把书越读越厚的后果。数学的解题往往灵活多变，每个人解数学题都有自己的解题思路，提高学习效率。许多数学题都是耐人寻味的，数学归纳法让我们领略证明的技巧。 下面我主要说说待定系数法、配方法、换元法等常用的数学方法在初中数学教学中的应用： 一、待定系数法，常用于求函数解析式，解方程，

2、因式分解等。 对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果通过变形与比较建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解这种方法称之为待定系数法 使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确定所求问题含待定系数的解析式； (2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决 初中数学中，待定系数法主要用途如下： （一）、在求函数解析式中的运用 这是待定系数法的一个主要用途，学生也是在这种运用过程中开始较深入的接触待定系数法初中阶段主要有正比例函

3、数、反比例函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三k?y，y=kx+b的形式(其中k、种分别可设y=kx，b为待定系数，且k0)而二次函数可 x2 2aaaa、+k(y=(xh)、b、c为待定系数以根据题目所给条件的不同，设成y=)x，+bx+c(aa、x、x为待定系数)三类形式根据题意x)(xx)( (可以是k、h为待定系数)，y=(x2112a、c、b、x、k、x等待定系数 语句形式，也可以是图象形式)，确定出h21【例1】 (05上海)点A(2，4)在正比例函数的图象上，求这个正比例函数的解析式 ?y=2xk=2，4)代入得4=2k， 【解】设这个正比例函数的解析式为y=kx(k0)，

4、把A(2【例2】 已知y与x+1成反比例，且x=2时，y=4，求函数的解析式 k?y (k看作一个整体，即可设为：0)，然后x+1【分析】 y与x+1成反比例，把 x?1 的值即得函数的解析式代入，求出k把x=2，y=4ky?可设 成反比例，y(k0) 与x+1【解】 1?xkk?4?yk=12 0)，得y=4将x=2，代入，解得(k 1?21x?12?y? 所求的函数的解析式为 1?x【解题反思】 本题中y与x+1成反比例关系，但y与x不是反比例关系，所以当自变量为12?y不是反比例函数时， x x?1【例3】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，1)三点 (1)求这个函数的

5、解析式 (2)求函数与直线y=x+1的交点坐标 2a 依题意得：+bx+cxy=设这个函数的解析式为(1) 【解】0?a?b?ca?1?20?9a?3b?cb?4?这个函数的解析式是：y=x4x+3 解这个方程组得 ?3?c?1?4a?2b?c?2x?1x?2?3?4xy?x?21 (2) 解这个方程组得：， ?y?0y?1y?x?1?21?函数与直线的交点坐标是：(1，0)、(2， 1) a、b、)，可求其系数的值，在把c的【解题反思】 运用待定系数法，由已知建立方程(组值代入解析式时要注意符号 （二）、在确定方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题得到简化 例如：已知一元二次方程的

6、两根为x、x，求二次项系数为1的一元二次方程时，可设2122(x+x)x+xx=0，对应相同项的系数得x)(xx)=0，即该方程为xx+mx+n=0，则有(x2121122(x+x)x+xx=0，n=xx，所以所求方程为：x m=(x+x)2111212232+11x6=0，有一根是另一根的2已知三次方程x倍，解该方程6x 【例4】 32aaaa)(x2b)6=(x，左右、2)(x、b，则有x6x+11x【解】设方程的三根分别为22aaaab=6b=11，3b=6，22解+3可得：分别展开，并把相同项的系数作比较，a=1，b=3，所以该方程的根分别为：x=1，x=2，得x=3 321（三）、待

7、定系数法在分式展开化为部分分式中的应用 分式化为部分分式时，如果用待定系数法也会产生很好的效果 ?11x?7化为部分分式 【例5】 把分式 2x?2xB7A?11x?，然后将右边进行通分，化成一个分式，由于左右两边分【解】设 2x12x?x2x?母相同，则只要分子相同，即：11x+7=(AB)xB由各项系数相同得：11x=AB，?11x?73?7? 所以，A=3B=77=B，解得 2?x2x?1x2x（四）、待定系数法在因式分解中的应用 22+13x+8y7 xy】 分解因式：2xy【例6222213x+8yy7=(2x+y+8)(xy)，所以可设2x【解】 因为2xxyxyy=(2x+y)(

8、x22a+13x+8y7=(2x+y1)(xxyy，展开比较相同项系数，可得：=1，b=7，所以2xy+b)y+7) （五）、待定系数法在多项式除法中的应用 32aa+bx+1能被2xx1 当、b为何值时，2x整除? 【例7】 222aa、x的相同项的系数相同可得+mxx1)+bx+l=(2x1)(x【解】 设2x，右边展开由a=3，b=3b，m的方程组，解得：m=1 二、配方法常用于解方程、分解因式、二次函数求顶点坐标； （一）、配方法在解一元二次方程中的应用 2+6x+3=0】用配方法解方程x 【例12266?22?3?x?6x? 3 配方，得+6x 【解】 移项，得x=? 22? 263

9、?x3x?6?x6?3 ，从而(x+3)即 =6 所以，21（二）、配方法在一元二次方程根的判别式中的应用 2 2a+k的h)c变形为( 一般地，这种题型方程系数含有字母，可通过配方法把bm422aac0或b，从而判定一元二次方为何值，b44c0形式，由此得出结论，无论m程根的情况 2mx+mx2=0求证：方程有两个不相等的实数根 【例2】 已知关于x的方程22mx+m2=0所以方程x有两个不相等的实根；【证明】 因为=(m2) +40 22mx+m2，求证：不论m为何值，抛物线 变式；已知二次函数y=xy=xmx+m2 总与x有两个不同的交点 （三）、配方法在求二次函数的顶点坐标和最值的应用

10、 2a+kh)y=的形(x 对于任何一个二次函数都可以通过配方法把原来的二次函数配方成aa0，函数值y式，则得到顶点坐标为k 【例3】通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： 1522x?x?y? (1)y=x(2)2x4； 222222?2?22?15x?x?4y?x?2x?4?x?2 (1)【解】 ? 22?a?开口向上 对称轴方程是x=1，顶点坐标是，(1，5) =1022?5212151?2?22?2?1x?x?x?2x?y?x (2)? 2222222?11?a?开口向下对称轴方程是x=，顶点坐标是(1，2)+b+b2(【例5】 已知b，R，则不等式b+32，1)一定成

11、立的有_ 2 2aaa?式成立，1)+32 =(【分析】 +202222 2 2aaaaa?式成立 0b1)=1)+(b+1)+b2 ，+2b+2= (+b2(23b?222a0?abb?a?ba?式不一定成(当且仅当)=b=0 时取得等号，? 42?立故填 三、换元法的目的是将复杂的式子简化，应用范围较广。常见于解方程、分解因式； 22(a?3a?2)(a?3a?4)?16. 分解因式： 1 例2ma?2?a?3 解：设，则原式 222)4aa?6)(a?(m?8)(m?2)?(a3?3?m(m?6)?16?m?6m162).1a?6)(a?4a?()(?3a 222m1?ma?3a?a?3

12、a?ma?3a4 。，或此题还可以设，或 .?155)(a?7)?(a?1)(a?3)(a 分解因式： 例2 22.158a?15)?15?(a?8a?7)(a?5?(a?1)(a?7)(a?3)(a?)? 解：原式1222.11?8a(a?8a?15)?am?(aa?8?7)? 2 取“均值”，设22)1)(m?115?m?1?(m?m?(m?4)(m?4)?15?16? 原式222).10a?2)(a6)(a?812a?8a?)(a?8a?10)?(a?( 511? 。解方程 例3. 2224x?2x?1x?2xx?2x?2x?2x 分析：方程的分母都含有 2x?y?x2 ， 故可设20?4y?43y 然后整理可得，22xy?x?y?2，y?2，代入 中，解得 213 求出方程的解，并检验。220?1?x?2xx1?x2x 例4. 解方程 分析：方程变形：2220?x?)1?2xx13x?(x?x? ， 方程可进行部分换元： 21?xy?x 设 ，220?y3x?