人教版高中数学必修四知识点整理及重点题型梳理 平面向量的线性运算 基础上课讲义

1、 人教版高中数学【必修四】知识点整理及重点题型梳理-平面 础基-算运性线的量向精品文档 人教版高中数学必修四 知识点梳理 重点题型（）巩固练习 常考知识点平面向量的线性运算 【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2能结合图形进行向量的计算 3能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算 4理解实数与向量的积的意义，会利用实数与向量的积的运算律进行计算 5掌握向量共线的条件 【要点梳理】 要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 uuuruuurrruuurruuurrACACb,ab?a,BCAB叫

2、做，则向量，在平面内任取一点A已知向量，作，再作向量rrrrrruuuruuuruuuraa?b?AB?BC?ACb?ba如图的和，记作，即与 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则 2向量加法的平行四边形法则 rruuuruuurrrrruuuuuua,b已知两个不共线向量 AB,ADbAD?a,?AB为邻，则，作三点不共线，以D,A,BuuurrrAC?a?b这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法边作平行四边形，则对角线ABCD则 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 求两个向量和的运算，叫做向量的加法 rrrrrra?0?0?a?aa对于零向量与任一向量 ，我

3、们规定要点诠释： 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的nnn终点为终点的向量叫做这个向量的和向量这个法则叫做向量求和的多边形法则 nuuuuruuuuruuuuruuuuuur AAA?AA?AAA?n132?121nnuuuuruuuuruuuuuuruuuurrAA重合，即一个图形为封闭图形时，有与 0A?AA?AAA?AA?特别地，当n11n1n2n?2132向量加法的运算律 rrrra

4、?b?b?a；）交换律： （1rrrrrr )c(b?)?c?a?(a?b）结合律：2（要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 rrrruurra,b当(1)|a?b|?|a|?|b|；不共线时， rrrrrrrruurra,b(2)当b,?b,aa|b|?|a|?b|?|a同向且共线时，同向，则； rrrrruurruurrrrrruu与b,a|a?b|?|a|?|b|同向，当(3) aa?b|a|?|ba|?|b|，则，则反向且共线时，若；若rrrrruurra?b与b|a?b|?|b|?|a|同向， 要点四：向量的减法 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 1向

5、量的减法 rrrrrrrrb?x?aa?bbxa，求两个向量差的运算，叫做的差，记作，则向量与）如果（1叫做向量的减法此定义是向量加法的逆运算给出的 rraa的相反向量方向相反且等长的向量叫做相反向量：与向量 rrrrrrrrabab的差，即与的相反向量，叫做（2）向量求两个向量差的运加上)b?(?ab?a算，叫做向量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法 要点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的 rrrrrrrrrraba?b,a?ba?(?a)?0?0（2）对于相反向量有 ；若互为相反向量，则，（3）两个向量的差仍是一个向量 2向量减法的作图方法 r

6、ruuuruuurrruruuuuurruruuurruuOA?OB,即向量=BAb?a?BAbab,aOB?OA?等，（如图），作）已知向量（1，则uuuruuurOBOA）利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一）减去起点向量（于终点向量（起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量 rra?b作（2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出uuurruuurruuurruuurrrOA?a,OB?b,AC?bOC?a?(?b)，如图由图可知，一个向量减去另一个向量等于，则加上这个向量的相反向量 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 要点五：数

7、乘向量 1.向量数乘的定义 ?r ?的积是一个向量，记作：与向量实数与向量的积：实数aarr?(1)|a|a|?|； ?aa0?的方向与当时，(2)的方向相同； ?aa0?的方向与时当.的方向相反； ?0?a?0. 当时，2向量数乘的几何意义 ?r?aa可以由的几何意义是：a同向或反向伸由实数与向量积的定义知，实数与向量的积r?1|?|?0a0?）上伸长为缩得到当的有向线段在原方向（）或反方向（时，表示向量?r?|?|10a?时，表示向量；当a|?0）或反方向的有向线段在原方向（倍得到原来的?rrr?aaa?1?=-；当时，=aa|a?0?1互）上缩短为原来的，与；当（倍得到时，r?0的作法

8、=aa0?实数与向量的积得几何意义也是求作向量为相反向量；当时，3.向量数乘的运算律 ?为实数 设、rr? ；结合律：a(a)?()? ，b?aa(?b)?()?分配律：aaa要点六：向量共线的条件 1向量共线的条件 rrrra?0ab共线1 ）当向量与任一向量时，（rrrrr?ab?0a?b，那么由实数与向量的时，对于向量，使2（）当向量如果有一个实数rrba共线 积的定义知与 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 rrrrrr?0a?aabb倍，即（）共线且向量与的长度的反之，已知向量的长度是向量rrrrrrrrrr?|a?b|?ab?a?b?aabb同向时，反向时，；当 ，那么当

9、与与2向量共线的判定定理 rrr?a?a?bb与非零向量，使共线，则向量是一个非零向量，若存在一个实数 a3向量共线的性质定理 rrr?a?bb与非零向量共线，则存在一个实数 ，使若向量a要点诠释： rr?00共线的情况； 与（1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括arrrrrrrrrr?a?b0?0ba?0a?ab；使）（2时，虽然，共线但不存在是必要条件，否则与 rr?ab?，使）有且只有一个实数 （3rrrrrr?b(ba?0)a/b?是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关）（4系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 【典型例题】 类型一：向量加法的几何运

10、算 例1如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量： ruruuuuuruuuuuuruuruuuruFEOCBC?OA?FEOA? （1）；（3）；（2）uuuruuuruuur OB?OCOA为平行四边形，1）由图知，OABC【解析】（uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurBC?FE?AO?OD?ADAO?OD?FEBC?）由图知， 2（uuuruuuruuuruuuruuuruuurOD?FEOA?FE?OA?OD，（3） uuuruuuruuuruuuruuuruuurrOA?DOOA?FE?DO?OD?0又 ，【总结升华】利用向量加法的平行四

11、边形法则或三角形法则求两个向量的和向量，注意当两个向量共线时，三角形法则仍适用，而平行四边形法则不适用 举一反三： 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档的延AEE是线段OD的中点，ABCD中，AC与BD【变式交于点1O】在平行四边形，ruuuruuuruuua?ACb?BD ），则若，（ 长线与CD交于点F?AF21211111 C DA Bbaab?a?bb?a?33324423B 【答案】 类型二：向量减法的几何运算 如图，解答下列各题：例2rrurrrruruuuuuceadb 表示表示；（2）用（1）用；，DBDBrrurrrruuuruuuECECcdabe 4）用（3）用

12、表示，表示；（rrururrrrrrre?a?bdd?e?a?c (3)【答案】（1） （4）c?b）2（rurruuruuuuurruuurruuurruueEA?cDE?d?AB?aBCbCD? 【解析】 ，ruurrruuuruuuruuuruuad?eDB?DE?EA?AB? ）（1ruurrruuuruuuuruuuruuuc?b?BC?CD?DB?CB?CD （2）rrrruuuruuuuruuuruueb?BC?a?EAEC?AB? 3）（ruuurruuruuururuuuu （4）d?cCD?DE)?EC?CE?(uuurruuuEC这两个向量的表示并不唯一在解决这类问【总结

13、升华】在本题中，我们看到，DB题时，要注意向量加法、减法和共线（相等）向量的应用当运用三角形法则时，要注意两 向量首尾相接，当两个向量起点相同时，可以考虑用减法 举一反三： 1】【向量的线性运算 395568 例ruuuuruuruuurrbOB?,aOA? ）等于（为正六边形【变式1】的中心，设，则DEABCDEFOrrrrrrrrb?baa?b?a （）（）（） ba?（） 【答案】 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档ruruuaAB?，的交点，设 O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD【变式2】如图所示，rurruuuuurruurrurbDA?OAa?c?bc?OC ，求

14、证：ruruuuuruuuuruuuruuurruurruuruuuruuuruurruuurrOB?OC?CB?DA?OC?b?c【解析】 aOA?c?bOB?a?OA?AB?OA，ruuurrrOA?ab?c 即 类型三：与向量的模有关的问题rrrrrrrrba |+的值|=4，求bbaa满足，例3 已知非零向量，且，|1|b?7|17?a|?rurrruuuuurrruuubOB?OA?a 【解析】 如图，则，|a?bBA?|rruruu|ba?|OC|?| ，则以OA与OB为邻边作平行四边形OACB 222 4(7?1)7?(?1)?由于ruuuuuuruuru222|?|OA|?|O

15、B|BA 故， 是矩形OBOA，所以OACB所以OAB是AOB为90的直角三角形，从而Yrrruuruuuub +|=4a4?|BA|OC|，即根据矩形的对角线相等有rrrrb+baa的几何意义在证明、运算中具有重要的应用对于）向量，（【总结升华】 1 平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线具有的性质要熟悉并会应用）关于向量的加减法运算除掌握法则外，还应注意一些特殊情况，如零向量、共线向（2量等要注意到向量的加法和求模运算的次序不能交换，即两个向量和的模不一定等于这两个向量的模的和因为向量的加法实施的对象是向量，而模是数量，模的加法是数量的加 法 举一反三：ruuuuuurruuu|?9BC|A

16、B|4|AC|? ，则1】若，的取值范围是多少？【变式ruuu 13|BC|?5?【答案】ruruuuuuruuuAB?ACBC? 【解析】 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 rruuuuuuruuuuururuuuruuuACAC反向时，；， 同向时，当当5|?|BC|?|9?413|?|9?4|BC|?ABABruuuruuuruuuAC不共线时， 当，13?|BC|5AB类型四：向量的数乘运算 例4（2016 河北承德月考）计算： r（1）； a4(?3)?rrrrr（2）； a?a?b)3(a?b)?2(rrrrrr（3）； )c2b?c)?(3a?(2a?3brrrrrr

17、221(a?b)?(2a?4b)?(2a?13b)） （4 5315rrrrrr?a?5b?2c0a5b?12；（2） ；（；（3）【答案】（1）4）rr ）1【解析】（a12a?(?3)?4rrrrrr ）2（b5a?a?b)?3(a?b)?2(rrrrrrrrrrrrrrr c?2a?5ba?2b?c?c(3a?2b?c)?2a?3b?3?(2a?3b?c)）（3rrrrrr2642224 ba?b?a?b?a）原式4（ 55331515rrrrrrr2644222?a?b?0?a?0?b?0?0?0 ? 53155315?0【总结升华】数乘向量与数乘数不同，前者结果是一个向量，后者结果是

18、一个数，rrrrrrr?a；故=0?aaaaaa一定共线应用实时，时，与反向；同向；与0时，=0与数与向量的积的运算律时，应联想数与数乘积运算的有关知识，加深对数乘向量运算律的理解 举一反三： 【变式1】计算： rrrrab)；+)+9(2 ba2）16(3（rrrrrrr132?77?1?(3a?2b)?a?b?a?b?a；（2） ? 237662? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档rrrrrrrrcacac 4()2(+)+)+2bba2（3）6(rrrrrbb3+9=aab =181218【解析】 （1）原式rrrrrrr12737?1? aa?b?2b)?a?b?(3a?

19、）2（?262376?rrrrrrr271311? b?a?a?2b?ba?3a?263272?rrrr3177? b?a?a?b?6723?rrrrr11770?b?ab?a 2626rrrrrrrracb +6+4+8cacab24=664（3）原式rrrrrrrrcaab) +4=(6)+(6)+(8ccab2644rrba+2=6 ABCDM 如图所示，5.的两条对角线相交于点例，且ruuuuuruuuururuuurruuurrruuuru.,MDb,a,MA,MB,MCAB?a,AD?b 用表示【思路点拨】利用三角形法则和数乘运算，用向量法讨论几何ruuruurruuLLAC,DB

20、,a,b. ，由它可以“生”成问题，关键是选取适当的基向量表示其他向量，本题的基底就是ABCD 【解析】在 中rrruuuuruuuuuuruurrruuuruuur,?bAB?AD?a?QAC?AB?AD?a?b,DBrrrruuuuurruuruuuruu 111111bDB?a?AC?a?b,MB?MA?222222ruruuurruurruuuuuuurruuuur111111.b?a?MBa?b,MD?DB?MC?AC 222222【总结升华】用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量加、减法、数乘向量外，还应充分利用平面几何的一些定理，因此在求向量时要尽可能转化到

21、平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解，既充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用加法三角形、平行四边形法则，运用减法三角形法则，充分利用三角形的中位线，相似三角形对应边成比例的平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关. 系的向量来求解 举一反三：ruruuuurrub?OA?aOB为邻边【变式1】如图，四边形，OADB是以向量 rr11aCD?BMBCCN?，试用向量，b表示的平行四边形，又、33 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档ruuuruuuuruuuuOMMNON ，rruuuruuuru

22、uuurruuuruuu1111)?bOB)?(aBM?BC?BA?(OA? 【解析】， 6663rrrurrruruuuruuuuuu5111ba?a?b?OM?OB?BM?b? ，6666ruuuuruuuuru11OD?CDCN? ，63rruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur22211)b(a?OD?(OA?OB)ON?OC?CN?OD?OD? ，33263rrrrrruuuurruuuuruuu11215b?b?a?b)?a?MN?ON?OM?(a 62366 类型五：共线向量与三点共线问题ruuruuurrubaAB?AD?的中，M为例6.（2015 广

23、东模拟）如图，在平行四边形ABCD，AB，ruuuuuurNBDN?t 在DB上，且点，点N 、C三点共线；=2时，证明：M、N（1）当t t的值、N、C三点共线，求实数2（）若M=2 ）t【答案】（1）略；（2ruuuuuruNB?2DN 时，且，【解析】证明：（1）当t=2rrrruuuuruuuruuuuu111)a?(b?(NB?DB?AB?AD) ，有333ruuruuuuuuruuMB?MN?NB 又，rrrrruuruuuruuuuru1111a?b?(b?a)NBMN?MB?b ；3236rrruurrruuruuuruuruuuuuru221a?)?a?bAB?2NB?b?(

24、b?NCDC?DN? ，333ruuuuuuurruuuuuuruMN2NC?MNNC 有公共点，N与则， 、C三点共线；于是M、NruuuuuruNB?tDN ）由，（2rrruuuuuurtt?aNBbDB?)(得 ，1t?t?1ruuurruuur11)a(?DB?b?NB ，1t?t1? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除精品文档 uuuruuuruuurrrrrrtt1NC?DC?DN?b?(b?a)?b?a， 1?1t?1tt?rrrrrruruuuruuuuuu1111t?a?a)?bMB?NB?b?(b?MN? ， 1?t?1)t2t?12(ruruuuuuu?MN?NC 由

25、M、N、C三点共线，得，rrrr?1)?(1ttaa?b?b?， 1?1)t?1t?12(tt?t1)t1?(? ，且得， 1)?t?12(t11t?t? 1（舍去）；解得t=2或t= t=2ruuuuruuuruu?，且三点共线，O为直线外一点，则【总结升华】若A、B、POB?OAOP?，反之也成立，这是三点共线在向量中最常用的证明方法和性质，大家一定要熟练1? 掌握 举一反三：ruuuuururuuruuururuurur ，4e?2eAB?3e?2e，?BCee是两个不共线的非零向量，若向量】设和【变式1211212ruururuuue4?2e?CD. 三点共线A、C、D，试证明：21r

26、ururuuruururuuruuuuuuruuur,e?2e?2e?4e)?eAC?AB?BC?3?2e?( 证明：221211rruuuruuuruuuuurur,4e?,CD?2e?CA?e?2e 又 2121ruuuuuru,2CACD? ruuuruuuCDCA 与共线，. 三点共线A、C、D ruruurruruuruuuruuuruuuee?3?AB2e?keCB?ee，】设2是两个不共线的向量，【变式211212ruuuuururee?CD?2 的值B、D三点共线，求k，若A、21ruuuuruuurruuuururruuuuuu1=k共线，则三点共线，则，AB，【解析】D与2，若BDABeCBCDBD?e421 ，(4)k=8 类型六：向量在证明平面几何问题中的应用 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 、7E分别是 例、如图，已知任意平面四边形ADA