高数上册知识点

1、高等数学上册知识点、函数与极限(一) 函数1、 函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)；2、反函数、复合函数、函数的运算；3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数；4、函数的连续性与间断点；函数 f(x)在 Xo连续lim f(x) f(x)X Xo第一类：左右极限均存在.间断点 可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在.无穷间断点、振荡间断点5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论.(二) 极限1、定义1) 数列极限lim xn a0, N , n N, xn an2) 函数极限

2、lim f (x) A0,0, x,当 0 x x0时，f (x) Ax X。左极限：f(x) lim f(x)x Xo右极限：f(Xo)lim f(x)X Xolim f (x) A 存在f (x0)f (x0)x Xo2、极限存在准则1) 夹逼准则：1) yn XnZn ( n n 厂lim xnan2) lim ynlim znann2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限.3、无穷小(大)量1) 定义：若lim0则称为无穷小量；若lim则称为无穷大量2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k阶无穷小Th1 0()；Th2,lim 存在，则lim lim (无穷小代换)4、

3、求极限的方法1) 单调有界准则；2) 夹逼准则；3) 极限运算准则及函数连续性;4) 两个重要极限：a)sin x limx 0丄b) Xim0(1 x)；lim (1 丄)x exX5) 无穷小代换：(x 0)a) x sin x tan x arcsinx arctanxb)1 cosx - x2c)ex 1 xX(a1xln a)d)ln(1 x)xxlOga(1X)厂In ae)(1 x)二、导数与微分（一）导数1、定义：f（X。）limXxo左导数:f（X。）f(x)X X。lim f(x) f(X。)X Xo右导数:f（X。）f（X。）x Xolim f(x) f(X。)X Xox

4、 Xo函数f （X）在Xo点可导f （x。） f （x。）几何意义：f（X。）为曲线y f （x）在点xo, f （xo）处的切线的斜率.可导与连续的关系: 求导的方法1）导数定义；2）基本公式；3）四则运算；4）复合函数求导（链式法则）；5）隐函数求导数；6）参数方程求导；7)对数求导法.5、高阶导数1) 定义：d2yddydx2dxdx2)Leib niz公式:uvn(n)Cku(k)v(n k)k01)微分1)定义：yf(X。x)f(X。)A x o( x)，其中A与x无关.2)可微与可导的关系：可微可导，且 dy f (x) x f (x)dx三、微分中值定理与导数的应用(一) 中值定

5、理1、Rolle定理：若函数f (x)满足：1)f(x) Ca,b ；2)f(x) D(a,b) ；3)f(a) f(b)；贝 q(a,b),使 f() 0.2、Lagrange中值定理：若函数f (x)满足：1) f(x) Ca,b ；2) f(x) D(a,b)；贝y(a,b),使f(b) f(a) f ( )(b a).3、Cauchy中值定理：若函数f (x), F (x)满足:1) f(x),F(x) Ca,b ； 2) f(x),F(x) D(a,b) ；3)F(x) 0,x (a,b)(a使g眾(二) 洛必达法则(三) Taylor公式(四) 单调性及极值1、 单调性判别法：f(

6、x) Ca,b，f(x) D(a,b)，则若 f (x) 0，则f(x)单调增加；则若f (x)0,则f (x)单调减少.2、极值及其判定定理：a) 必要条件：f (x)在X。可导，若X。为f (x)的极值点，贝S f (xo) 0.b) 第一充分条件：f(X)在xo的邻域内可导，且f(X。)0 ,则若当x xo 时，f(X)0，当X X。时，f(X)0，则X。为极大值点；若当X X。 时，f (x) 0，当x X。时，f (x) 0，则X。为极小值点；若在X。的 两侧f(X)不变号，则X。不是极值点.c) 第二充分条件：f (x)在X。处二阶可导，且f(X。)0 , f(X。)0，则 若f

7、(x。) 0，则X。为极大值点；若f (x。) 0，则X。为极小值点.3、凹凸性及其判断，拐点” x1 x2f(x1) f(x2)1 ) f(x)在区间I上连续，若 Xi,X2 I, f(2 -)- 2-，则称f(x)在区间I上的图形是凹的；若x-,X2 I,仁笃翌)f(X-)2f(X2)，则称f(x)在 区间I上的图形是凸的.2) 判定定理：f(x)在a,b上连续，在(a,b)上有一阶、二阶导数，则a) 若x (a,b), f (x) 0,则f (x)在a,b上的图形是凹的；b) 若x (a,b), f (x) 0,则f (x)在a,b上的图形是凸的.3) 拐点：设y f (x)在区间I上连

8、续，X。是f (x)的内点，如果曲线y f (x)经过点（X。，f（X。）时，曲线的凹凸性改变了，则称点（Xo, f（X。）为曲线的拐点.（五）不等式证明1、利用微分中值定理；2、利用函数单调性；3、利用极值（最值）.（六）方程根的讨论1、连续函数的介值定理；2、Rolle 定理；3、函数的单调性；4、极值、最值；5、凹凸性.（七）渐近线1、铅直渐近线:lim f (x)x a，则xa为一条铅直渐近线；2、水平渐近线:lim f (x)xb，则yb为一条水平渐近线；3、斜渐近线：lim他xxk limf(x)xkx b存在，则y kx b为一条斜渐近线（八）图形描绘四、不定积分（一）概念和性质

9、1、 原函数：在区间I上，若函数F（x）可导，且F （x） f（x），则F（x）称为 f （x）的一个原函数.f（X）在区2、不定积分：在区间I上，函数f （x）的带有任意常数的原函数称为 间I上的不定积分.3、基本积分表（P188 ,13个公式）；4、性质（线性性）.（二）换元积分法1、 第一类换元法（凑微分）：f （x） （x）dx f（u）du u （x）2、 第二类换元法（变量代换）：f（x）dx f （t） （t）dt t i（x）（三）分部积分法：udvuvvdu（四）有理函数积分1、“拆”；2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）五、定积分（一）概念与性质:1、 定义:bf

10、(x)dxaa,b，使2、 性质：（7条）bf(x)dxf(x)dxaf( )(b a)(平均值：f().b a性质7 （积分中值定理）函数f （x）在区间a,b上连续，则b1、变上限积分：设（x）a f(t)dt，则(x)f(x)d推广：八dx(x)(x)f dtf (x) (x) f(x) (x)2、N L公式：若F（x）为f （x）的一个原函数，贝ybf(x)dxa(三)换元法和分部积分1、b换元法：aaf (x)dxf (t) (t)dt2、分部积分法:budvabbuv avdua(四)反常积分1、无穷积分：微积分基本公式（N L公式）xtaatF(b)F(a)f(x)dxf(x)d

11、xf(x)dx瑕积分:f(x)dxf(x)dxlimlimtlimt alimt bf(x)dxf(x)dxf(x)dx obt f(x)dxf (x)dx（a为瑕点）taf(x)dx (b 为瑕点)两个重要的反常积分:, p 1 dx1 p1) a xpJ, p 1P 1(b a)1qb dxb dx2) a(x a)qa(b x)q六、定积分的应用（一）平面图形的面积ba1、直角坐标：Af2(x) h(x)dx1 2 22、极坐标：A 2 2( )1 ( )d（二）体积1、旋转体体积:b, x轴，绕x轴旋转而成的旋转体的体积:a)曲边梯形y f(x), x a,xb 2Vx a f (x)

12、dxb）曲边梯形yf （x）, x a,x b,x轴，绕y轴旋转而成的旋转体的体积:bVy a2xf(x)dx(柱壳法)b2、平行截面面积已知的立体：V aA（x）dxa（三）弧长1、直角坐标：s a J1f （x） 2dx2 22、参数方程：s (t)(t) dt2 23、极坐标：s x ( )( ) d七、微分方程（一）概念1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数2、解：使微分方程成为恒等式的函数.通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.（二）变量可分离的

13、方程g(y)dy f(x)dx，两边积分 g(y)dy f(x)dx（三）齐次型方程(-)，设 udxxdx或丁（兰），设vdyy ，ydy贝y duu xx，则dxdx ；xdxdv;，则 & v ydy（四）一阶线性微分方程dx P（x）y Q（x）用常数变易法或用公式:P(x)dxy eP(x)dxQ(x)e dx C（五）可降阶的高阶微分方程1、y（n） f （x），两边积分n次；2、yf （x, y）（不显含有 y），令 yp，则 yp ；dp3、yf （y,y）（不显含有 x），令 yp，则 yP&（六）线性微分方程解的结构1、yi, y2是齐次线性方程的解，则Ciyi C2 y2也是；2、yi, y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则 G% S?是方程的通解；3、y ci Cm y*为非齐次方程的通解，其中 w 为对应齐次方程的* 线性无关的解，y非齐次方程的特解.（七）常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性方程：y py qy 0特征方程:pr q 0，特征根：ri,D特征根实根rlri xr2yC1eC2ey (C