可逆矩阵判定典型例题_第1页
可逆矩阵判定典型例题_第2页
可逆矩阵判定典型例题_第3页
可逆矩阵判定典型例题_第4页
可逆矩阵判定典型例题_第5页
已阅读5页，还剩1页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

1、典型例题（二）方阵可逆的判定 例1 设A是n阶方阵, 试证下列各式： （1）若, 则； （2）若A、B都是n阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是AT的逆矩阵. 即 （2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A、B均可逆, 所以(AB)也可逆, 对上式两端右乘可得 （3）设n阶方阵A为于是可得A的伴随矩阵为注意到A的转置矩阵为可推出的伴随矩阵为比较与可知 （4）因为, 故A可逆, A的逆矩阵

2、为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且 （5）对于（3）给出的矩阵A, 有即的代数余子式为故 （6）因为, 故A可逆, 并且l个l个 （7）对于（3）给出的矩阵A, 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A是n阶非零矩阵, 并且A的伴随矩阵满足, 证明A是可逆矩阵. 证 根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6） 设矩阵A为由式（2-6）可知 比较上式两边矩阵对角线上的元素有故因此有A = O, 与A是n阶非零矩阵矛盾, 故A是可逆矩阵.例3 设A、B都是n阶可逆矩阵, 证明：的充要

3、条件是 证 必要性：因为因此即 充分性：因为, 故. 例4 设A是一个n阶方阵, n为奇数, 且, 证明不可逆. 证 因为, 故因此有 所以故是不可逆矩阵.例5 设A是n阶方阵且对某个正整数k满足, 证明是可逆矩阵, 并求. 证 由于故对于方阵A的多项式, 仍有注意到, 故有因此可逆, 并且 例6 设A是阶方阵, 是A的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明： （1）； （2）. 证 （1）利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A可逆, , 故, 于是有若A不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有 （2）对两边取行列式, 有若A可逆, 所以, 从而有, 于是可知若A不可逆, 则例7 设A、B是同阶方阵, 已知B是可逆矩阵, 且满足, 证明A和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵. 证 因为, 由于 所以, 因而有 可逆. 由可知 由可知.例8 设A、B均是n阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且 证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且 例9 设n阶矩阵A、B和均可逆, 证明： （1）也可逆, 且 （2） 证 （

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 课件下载

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论