2.4正态分布(高中数学人教A版选修2-3)

1、2.4正态分布,高二数学 选修2-3,1,引入,正态分布在统计学中是很重要的分布。我们知道，离散型随机变量最多取可列个不同值，它等于某一特定实数的概率可能大于0，人们感兴趣的是它取某些特定值的概率，即感兴趣的是其分布列；连续型随机变量可能取某个区间上的任何值，它等于任何一个实数的概率都为0，所以通常感兴趣的是它落在某个区间的概率。离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，而连续型随机变量的概率分布规律用密度函数（曲线）描述,2,25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.39 25.42 25.47 25.35 25.41 25.43 25.44 25.48

2、25.45 25.43 25.46 25.40 25.51 25.45 25.40 25.39 25.41 25.36 25.38 25.31 25.56 25.43 25.40 25.38 25.37 25.44 25.33 25.46 25.40 25.49 25.34 25.42 25.50 25.37 25.35 25.32 25.45 25.40 25.27 25.43 25.54 25.39 25.45 25.43 25.40 25.43 25.44 25.41 25.53 25.37 25.38 25.24 25.44 25.40 25.36 25.42 25.39 25.46

3、25.38 25.35 25.31 25.34 25.40 25.36 25.41 25.32 25.38 25.42 25.40 25.33 25.37 25.41 25.49 25.35 25.47 25.34 25.30 25.39 25.36 25.46 25.29 25.40 25.37 25.33 25.40 25.35 25.41 25.37 25.47 25.39 25.42 25.47 25.38 25.39,某钢铁加工厂生产内径为25.40mm的钢管,为了检验产品的质量,从一批产品中任取100件检测,测得它们的实际尺寸如下,正态曲线的由来,3,列出频率分布表,4,100件产

4、品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,25.565,o,2,4,6,8,频率分布直方图,5,200件产品尺寸的频率分布直方图,25.235,25.295,25.355,25.415,25.475,25.535,产品内径尺寸/mm,25.265,25.325,25.385,25.445,25.505,o,2,4,6,8,6,产品内径尺寸/mm,o,2,4,6,8,样本容量增大时频率分布直方图,总体密度曲线,可以看出,当样本容量无限大,分组

5、的组距无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线-总体密度曲线,7,产品 尺寸 (mm,总体密度曲线,8,这个试验是英国科学家高尔顿设计的,具体如下:在一块木板上,订上n+1层钉子,第1层2个钉子,第2层3个钉子,第n+1层n+2个钉子,这些钉子所构成的图形跟杨辉三角形差不多.自上端放入一小球,任其自由下落,在下落过程中小球碰到钉子时,从左边落下的概率是p,从右边落下的概率是1-p,碰到下一排也是如此.最后落入底板中的某个格.下面我们来试验一下,9,10,以格子的编号为横坐标，小球落入各个格子内的频率值为纵坐标，则在各个格子内小球的分布情况大致可用下列频率分布直方图表示,知

6、识回放,11,总体密度曲线,0,y,x,12,知识总结,1 、正态曲线的定义,2、标准正态总体的函数表示式,13,附：正态总体的函数表示式,当= 0，=1时,标准正态总体的函数表示式,14,正态总体的函数表示式,15,3. 正态分布,总体的期望,标准差,16,m 的意义,产品 尺寸 (mm,总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,x3,x4,x=,17,总体平均数反映总体随机变量的,平均水平,总体标准差反映总体随机变量的,集中与分散的程度,s的意义,18,0.6826,0.9544,0.9974,3. 正态分布,19,在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布,在生产中，在正常生产条件下

7、各种产品的质量指标,在测量中，测量结果,在生物学中，同一群体的某一特征,在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位,总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位,20,4)正态曲线的性质,上方,1,越小,越大,21,正态曲线的性质,具有两头低、中间高、左右对称的基本特征,22,1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交,2）曲线是单峰的,它关于直线x=对称,正态曲线的性质,4）曲线与x轴之间的面积为1,3）曲线在x=处达到峰值(最高点,23,5、特殊区间的概率,若xn ,则对于任何实数a0,概率 为如图中的阴影部分的面积，

8、对于固定的 和 而言，该面积随着 的减少而变大。这说明 越小, 落在区间 的概率越大，即x集中在 周围概率越大,特别地有,24,我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有4.6，在 以外取值的概率只有0.3,由于这些概率值很小（一般不超过5 ），通常称这些情况发生为小概率事件,25,53原则：正态总体几乎取值于区间_之内，而在此区间以外取值的概率只有_，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,例如：在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布n(80,25)，现已知该班同学中成绩在7585分的同学有34人，则该班约有_个人,3,3,0.0026,50,26,例1、下列函数是正态密度函数

9、的是（ ） a. b. c. d,b,27,2.如图，曲线c1: f （x）= ，曲线,则 （,d,28,3已知随机变量服从正态分布n(0，2)，若p(2)0.023，则p(22)() a0.477 b0.625 c0.954 d0.977,解析：因为随机变量服从正态分布n(0，2)，所以正态曲线关于直线x0对称，又p(2)0.023，所以p(2)0.023，所以p(22)1p(2)p(2)120.0230.954，故选c. 答案：c,29,服从正态分布的概率计算,30,服从正态分布的概率计算,31,服从正态分布的概率计算,求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,只需借助于正态曲线的性质

10、，把所求问题转化为已知概率的三个区间上,32,0.0026,33,解:因为xn(5,1,又因为正态密度曲线关于直线 x=5 对称,2.若xn(5, 1), 求p(6x7,29,34,1)非负性:曲线 在轴的上方,与x轴不相交,2)定值性:曲线 与x轴围成的面积为1,3)对称性:正态曲线关于直线 x=对称,曲线成“钟形,4)单调性:在直线 x=的左边, 曲线是上升的;在直线 x=的右边, 曲线是下降的,1.正态曲线的性质,5)最值性:当 x=时, 取得最大值,6)几何性:参数和的统计意义: e(x)=,曲线的位置由决定; d(x)=2,曲线的形状由决定,课堂小结,35,1) 利用3原则,将随机变

11、量的取值转化到三个特殊区间中. 熟记 p(x) p(2x2), p (3x3)的值； (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1. 正态曲线关于直线x对称，从而在关于x对 称的区间上概率相等 p(xa)1p(xa)，p(x a)p(xa,2正态分布中的概率计算的常用方法,若随机变量x服从正态分布，则x在一点上的取值概率为0,即p(xa)0，而xa并不是不可能事件，所以概率为0的事件不一定是不可能事件，从而p(xa)(xa)是成立的，这与离散型随机变量不同,3服从正态分布的随机变量x的概率特点,36,37,方差相等、均数不等的正态分布图示,0.5,-1,0,1,若 固定, 随 值的变化而沿x轴平移, 故 称为位置参数,38,均数相等、方差不等的正态分布图示,1,0,若 固定, 大时, 曲线矮而胖；若 固定, 小时, 曲线瘦而高, 故称 为形状参数,39,6)当一定时，曲线的形状由确定 . 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中,5