《等比数列的前n项和》教学案例设计

1、等比数列的前 n 项和教学案例设计一、设计思想1、设计理念 本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全 体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”， 体现“人人学数学”，“不同 的人学不同的数学”的理念。教学中强调“培养学生情感、态度与价值观”的重 要性，注重引导学生主动地进行探索，从而帮助学生树立正确的数学观，但又与 教师的设计问题与活动的引导密切结合，强调“活动”的内化，即在头脑中实现 必要的重构或认知结构的重组，从而引起真正的数学思维，提高思维的效益。通 过联系学生的生活实际使其真正感到数学是有意义的，一方面培养学生的社会意 识，明确肯定“日常数学”的合理性等

2、，另一方面，再调动学生生活经验的同时， 又应努力帮助他们清楚地去熟悉生活经验并上升到“学校数学”的必要性。2、设计背景 传统的数学作业单调枯燥，脱离生活和学生实际，不利于学生个性和能力的发展。 在新课程标准的理念下，重新认识作业的意义和价值，突破传统，改变现状，树 立正确的作业观，创新作业方式，激发兴趣，发展学生数学素质，既注重基础知 识的巩固，更要注重学生思维和能力的发展，既要创新又要保证其科学有效，使 学生在做作业的过程中体验快乐、形成能力、学会合作、体验自主。3、教材的地位与作用 本节教材在学生学习过等比数列的概念与性质的基础上，学习等比数列 n 前项和 公式，能用等比数列的前 n 项和

3、公式解决相关求和问题。探索公式的推导、体会 错位相减法以及分类讨论的思想方法。本节内容基础知识和基本技能非常重要， 涉及的数学思想、方法较为丰富，因此是重点内容之一。本设计是第一课时的教 学内容。二、学习目标知识与技能掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 过程与方法通过等比数列的前 n 项和公式的推导过程，体会错位相减法以及分类讨论的思想 方法。情感、态度与价值观 通过对等比数列的学习，发展数学应用意识，逐步认识数学的科学价值、应用价 值，发展数学的理性思维。教学重点掌握等比数列的前 n 项和公式，能用等比数列的前 n 项和公式解决相关问题。 教学难点错

4、位相减法以及分类讨论的思想方法的掌握。三、教学设想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学 生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周 世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题 的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。 让学生在“活动”中学习，在“主动” 中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。设计思路如下：创设情境q观察实验1探寻特例深入思简单应用布霾激趣十建立模型”“提出3证明擂想卜总结评估+四、教学过程（一）创设问题情景课前给

5、出复习：等比数列的定义及性质课首给出引例：“ 一个穷人到富人那里去借钱，原以为富人不愿意，哪知富人一 口答应了下来，但提出了如下条件：在30天中，富人第一天借给穷人1万元，第二 天借给穷人2万元,以后每天所借的钱数都比上一天多 1万；但借钱第一天，穷人还 1分钱,第二天还2分钱,以后每天所还的钱数都是上一天的两倍，30天后互不相欠. 穷人听后觉得挺划算，本想定下来，但又想到此富人是吝啬出了名的，怕上当受骗， 所以很为难。”请在座的同学思考讨论一下，穷人能否向富人借钱？设计一个学生比较感爱好的实际问题，吸引学生注重力，使其马上进入到研究者 的角色中来！（二）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模

6、型。学生直觉认为穷人可以向富人借钱，教师引导学生自主探求，得出：穷人30天借到的钱：S30=2 30 = （1 30） 30 =465 （万元）2穷人需要还的钱：S30 =1 2 2229 =?直觉先行，思辨引路,在矛盾冲突中引发学生积极的思维!教师紧接着把如何求S30 =12 2 229二？的问题让学生探究，S30 =1 2 2 229若用公比2乘以上面等式的两边，得到2S30 =222 卷怦2 29 230 若式减去式，可以消去相同的项，得到：S30 = 230 -1 =1073741823 （分）1073（万元） 465 （万元）答案：穷人不能向富人借钱（三）引导学生用“特例到一般”的研

7、究方法，猜想数学规律。提出问题：如何推导等比数列前n项和公式？（学生很自然地模仿以上方法 推导）Sn pa&2叩心叩心qSn 二ae a2玄2“（2）(1) - (2)有(1 q)Sn 二引dqnn ai,q =1Sn =丿a,1-qn) ai -a.q1 -q1 q推导等比数列前n项和Sn的公式，教师引导讲完课本上的推导方法后, 教师：还有没有其他推导方法？（经过几分钟的思考，有学生举手发言）学生A：.a2 二a1asa2an二二二 qana2 + a3q 即a + a2-anjSn -a1ca1- a nq-1)qSn -(qSn -an1 - q。学生B：,n-2.nVSn=6a+ +

8、a1qag+q(a1+aQ+q(% aJ=q+qs 环qSn -qSn 二印-anq. s.二也空9（q =1）1 - q“特例一类比一猜想”是一种常用的科学的研究思路！教师让学生进行各种尝试，探寻公式的推导的方法，同时抓住机会或创设问题情 景调动了学生参与问题讨论的积极性，培养学生的探究能力，发挥了组织者、推 进者和指导者的作用，而学生却是实实在在的主体活动者、成为发现者、创造者! 让学生享受成功的喜悦！【基础知识形成性练习：】1、求下列等比数列的各项和：1 1 11（1）1，3, 9,，2187（2） 1,-丄，丄厂丄,-丄2485122、 根据下列条件求等比数列 式的前n项和Sn1 a1

9、=2,q=2 ,n=8 a/8, q=2, an：2（四）数学应用例1求等比数列1/2，1/4，1/8的（1）前8项的和；第四项到第八项的和11解：（1） 印=一，q = ，n = 82 21 12(1評 255256Ss 二 21 -23 -, n=51631256例2:在等比数列讪,(1)已知a1 - -4, q = 2,求Sn(2)已知a1 =1,ak = 243, q = 2 求 Sk例3:在等比数列d讪，S3 =7,S6二63求an2 2例1教师板演示范，强调解题的规范。例 2、例3学生分析解法，学生不会时要 分析出不会做的症结所在，然后再由学生板演出解题过程。【演练反馈巩固性练习：

10、】1）在等比数列中， 已知 ai = -1.5, a -96，求 q 和 Sn 已知a3 = 4, S3 =12,求q和a12）求数列1 a a2 a3 an （a =0）的前n项和。允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了 作业。然后老师给出评价（五）课堂小结等差数列等比数列求和公式推导方法公式应用由学生对照等差数列求和总结出本节课所学内容 （六）布置作业1、根据下列条件，求等比数列an 1的前n项和Sn：q = 3,q = 2, n = 6：a2 二 0.12,a 0.00096 n = 4C11：a1 = 8, q, an :2 2：“5a1 a 10,a4

11、 a6,42、在等比数列 an ；中， :已知a 2, S 26，求q和Sn :已知 S2 = 30, S 115，求 Sn3、在等比数列 an 中，已知Sn二48, S2n =60，求Qn4、 求和：Sn = 1 3x 5x2（2n - 1）xn（x = 0）作业要求：允许学生对不会做的题目可以不做，只要分析出不会做的症结所在,就算完成了作业。（七）板书设计等比数列的前n项和公式推导例题练习注：（七）课后反思本节课授课对象为实验班的学生，学习基础较好。同时，考虑到这是一节探究课， 授课前并没有告诉学生授课内容。教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计 问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相

12、结合的方法分成五个步骤层次分明（1）创设问题情景、布疑激趣（2）启发引导学生数学地观察问题，构建数学模 型（3）探寻特例、提出猜想（4）数学应用（5）知识评估。学生在未经预习不知 等比数列求和公式和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，一步步发现了公 式并推导了公式，感受到了创造的快乐，激发了学习数学的爱好，教学的知识目 标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。（一）、通过创设教学情境，激活了学生思维。从认知的角度看，情境可视为一 种信息载体，一种知识产生的背景。本节课数学情境的创设突出了以下两点： 1 从有利于学生主动探索设计数学情境。新课标指出：学生的数学学习内容应当 是现实的、有趣的和

13、富有挑战性的。从心理学的角度看，青少年有一种好奇的心 态、探究的心理。因此，本教案紧紧地抓住高一学生的这一特征， 利用“小故事” 这一探索性的材料，精心设计教学情境，使学生在观察、实验、猜想、验证、推 理等活动中，逐步形成创新意识。2.以问题为导向设计教学情境。“问题是数学的心脏”，本节课数学情境的设计 处处以问题为导向：“请在座的同学思考讨论一下 ，穷人能否向富人借钱？”、“如何推导等比数列前n项和公式？”、“还有没有其他推导方法？”促使学生去思考问题，去发现问题。（二）、创造性地使用了教材。数学教学的核心是学生的“再创造”，新课标提 倡教师创造性地使用教材。本节课从问题情境的创造到数学实验

14、的操作，再到证 实方法的发现，都对教材作了一定的调整和拓展，使其更符合学生的思维习惯和 认知水平，使学生在知识的形成过程、发展过程中展开思维，发展了学生的能力。（三）我在习题或作业布置时曾做过一个新尝试：允许学生对不会做的题目可以 不做，只要分析出不会做的症结所在，就算完成了作业。这种新策略有以下两个 优点：1、对学生而言，完成作业是成功，个别题目没有完成，但明确了哪儿卡壳也是成 功。在这宽松和谐的气愤中，他们将由苦学变为乐学，由被动变为主动学，大大 提高作业效率。如果说不会的作业可以不做是“量的减负”，那么分析不会的原 因则是“质的增效”，这是由于数学的概念体系以其逻辑严谨著称，而数学习题

15、的解决，要经历多次由此及彼的推理了或计算才能获得。那些基础扎实、推理能 力较强的学生，在做完一道题后，往往会产生一定的正确的自信。即便遇上一时 解不开的题，也能分析出只需解决了某步推理，或由题设完成某数据的计算，该 题即可或解。而某步推理或某数据的计算，恰恰是疑点，即所说的“症结”，能 够分析出“症结”，知道哪儿卡壳，是需要一定数学素养的，这对学生来说，需 要一个逐渐养成的过程。在这种宽松的气愤中，学生大都能静下心来，抱着研究 的心态，去分析症结所在，甚至在分析的过程中，使问题或解而得到意外的收获。2、由于学生对不会做的题不做变成一种“合法行为”，再也不会有人做抄袭的傻 事，还可以培养学生的求实精神，屏弃自欺欺人的不良学风，新策略实施后受到 学生的热烈