难做概率论与数理统计去年试卷分析

1、20102011 学年 秋冬 学期 概率论与数理统计试卷注：x n (0,1),(x)p xx:(1)0.84,(1.645)0.95,(1.96)0.975,(2) 0.98t ( n),2 (n), f (n1, n2 ) 分别表示服从具有相应自由度的t 分布，2 分布和 f 分布的上22.70,2(9)3.32,2(9)16.92,219.02 ，分位点：0.975 (9)0.950.050.025 (9)t 0.05 (9)1.83, t 0.025(9)2.26 ， f0.05 (2,9)4.26, f0.05 (9,2)19.4 。一、填空题 ( 每小格 3 分，共 42 分，每个

2、分布均要写出参数 )1设 a, b 为两随机事件，已知 p( a)0.6,p( b)0.5,p( ab)0.3，则p( ab)_ ， p( a ab)_。一批产品的寿命x(小时)具有概率密度f ( x)a2 ,x800a_，2x，则0,x800随机取一件产品，其寿命大于1000 小时的概率为 _；若随机独立抽取6 件产品，则至少有两件寿命大于1000 小时的概率为 _ _；若随机独立抽取 100件产品，则多于76 件产品的寿命大于1000 小时的概率近似值为 _ _。3设随机变量 ( x ,y) n ( 1,2 ,12 ,22 ,) ，已知 x n (0,1),y n (1,4)，0.5 。设

3、 z13xy, z27 x4y ，则 z1服从 _分布 , z1与 z2 的相关系数 z z_ _ ， z1与z2 独立吗？为什么？答：。124设总体 x n (,2 ),( 0) 是未知参数， x1 , x10 为来自 x 的简单随机样本，记 x 与s2 为样本均值和样本方差，则x 2是 2的无偏估计吗？答： _；若2b20.95，则 b_；22_；的置信度为p s_p s_95的单侧置信下限为 _；对于假设 h 0 :21, h1 :21的显著性水平为5的拒绝域为 _。二（ 12 分）某路段在长度为 t （以分计）的时间段内，在天气好时发生交通事故数 x1(t) (泊松分布 )，天气不好时

4、事故数 x2 ( t ) 。设在不重叠时480120间段发生交通事故的次数相互独立。（ 1）若 6:00-10:00 天气是好的，求这一时段该路段没有发生交通事故的概率；（ 2）设明天 6:00-10:00 天气好的概率为70，求这一时段该路段至少发生一次交通事故的概率；（ 3）若 6:00-10:00 天气是好的，求该路段在 6:00-10:00 至少发生一次交通事故的条件下， 6:00-8:00 没有发生交通事故的概率。三（ 12 分）设二维随机变量(x , y) 的联合概率密度x, 0x 1, 0 y3xf ( x, y)其它0,（ 1）问 x 与 y 是否独立？说明理由；（2）求条件概

5、率密度 fy x ( y x) ；（ 3）设z x y ，求 z 的概率密度 fz (z) 。四（ 12 分）某车站（春节前）规定 1 人最多可买 3 张票，今有甲乙丙 3 人结伴买票，他们先各自排队，让先排到者买这 3 人的票，其余 2 人退出排队。设每个队等待时间独立，且都服从均值为 20 分钟的指数分布，记买到 3 张票的等待时间为 y 分钟。（ 1）求甲排队时间超过 20 分钟的概率；（ 2）求 y 大于 20 的概率；（ 3）求 y 的概率密度。五（ 12 分）设某商品一个月市场需求量x 在 a, 上均匀分布， a(0) 已知， ( a) 未知。现有以往的数据 (看成来自 x 的简单

6、随机样本 )： x1, xn 。求的矩估计值和极大似然估计值。六（ 10 分）一公司对新研发的某一化工产品进行中期试验，在 3 种不同的加热温度（其它条件不变） a1, a2 , a3 下观察其得率（），得数据如下：a1( x1)a2 ( x 2 )a3 ( x 3 )58637160504859414560525034计算得 t657,xij236769 。设 xi n ( i ,2 ), i1,2,3 ，且 x1 , x 2 , x3 相i 1j1互独立。请将方差分析表移到答题本上，并将表内空格填满。方差来源 平方和 自由度 均方 f 比因素误差总和在显著性水平=0.05 下，检验假设 h

7、 0 : 1 23 , h1 : 1 , 2 , 3不全相同 。试卷解答一填空题1(1) 0.9(2)6/72. (3) 800(4)4/5(5)624/625=0.9984(6)0.843(7) n(-1,19)(8)0(9)4. (10)不是无偏估计(11) 1.88(13)xs t0.05 (9) x0.5787 s10二（ 1） p1 e 0.50.6065（2） p20.7(1e 0.5 ) 0.3(1 e 2 )（3） p3e 0.25 (1e 0.25 )0.43781e0.5三（ 1）3 x3x2,0 x1fx ( x)xdy0, f y ( y)0,其它f ( x, y)f

8、x ( x) fy ( y),x与 y不独立。独立，因为 z1与z2 不相关(12) 0(14) 9s202.95 (9), 即 s2 0.36890.53481y2 ) 18, 0 y 3xdx (9y/30,其它（ 2） fy x ( y x)1 ,0 y3x3x0,其它xdx15z2,0z1z32z/ 4（ 3） fz ( z)f (x, zx)dxxdx16 z21z4,1z/ 4320,其它四记甲乙丙排队时间分别为x1, x2 , x 3 分钟，1 exe 1（ 1） p x1 2020 dx0.36792020ymin x1 , x 2 , x3 （ 2）20p x1 20, x

9、220, x 320 p x1 20 3e 30.0498p yy0, fy ( y)0（ 3）0, fy ( y)1 p x1 y 31e 3 yy3 y3 e 20 ,y0fy ( y)200,y0五矩估计： e( x )a令 e( x )x,? 2x a,2极大似然估计：1, amin x ,max x ,? max x l( )( a) niii六方差来源平方和自由度均方f 比因素418.52209.254.959误差379.75942.194总和798.2511因为 f0.05 (2,9)4.26f比，所以拒绝原假设。20102011 学年春夏学期概率论与数理统计试卷(0.17)0.

10、57,(0.91)0.82,(1.645)0.95,(1.96)0.975,注： t 0.05 (8)1.86, t 0.025(8)2.31,02.05(5)11.07,02.05(4)9.49,2(8)2.18,2(8)2.73,2(8)15.51,2(8)17.53.0.9750.950.050.025一填空题（每小格3 分，共 42 分）：1. 某人在外兼职，设一次的劳务收入 x （以元计）在区间（ 22，32）上均匀分布，且各次收入独立，则x 的分布函数f (x)；4 次兼职_中至少有 2 次收入不少于 30 元的概率为 _，4 次兼职的平均收入为 _元 .2. 一批产品的寿命服从均

11、值为 1 的指数分布，今从中随机独立取两件，分别用x1 , x 2记其寿命，设 wk1,x kk ,0,x kk 1,2 则 w1 的概率分布律为k .；记 yww ,ymax(w , w )，则 y 的概率分布律为1122121_， y2的概率分布律为._3. 某煤矿一天的产煤量 x （以吨计）的均值为 1.5 吨，标准差为 0.2 吨，设各天产煤量相互独立， y 表示一个月（按 30 天计）的产煤量 . 用切比雪夫不等式估计 p y452_；用中心极限定理计算p y46 近似等于 _.4 设总体 x n (, 2 ) ， x1 , , x 9为来自 x 的简单随机样本， x19xi ，9

12、i1s21 9( xix )2，则 2x1 x 服从 _分布（要求写出参数）；8 i 19( x)2 服从 _分布（要求写出参数）；对于假设2h 0 :2, h1 :2 的显著水平为 0.05 的拒绝域为 _；x12 x2与 x1x 2 的相关系数为 _5为测量一山脉离开海平面的高度，共测了9 次，得 9 次的平均高度 x 3863米，标准差 s 25.8 米 . 假设样本来自总体 n ( ,2 ), , 2 均未知，则置信度为95的的置信区间为 _，2 的置信区间为_。二 (8分)小李每天坐公交车上班，设他可能的等车时间为x 分钟，其分布律为 p( x5)p(x10) p( x 20) 1/

13、 3 ，（ 1）求等车时间不超过 10 分钟的概率；（ 2）记 ymax( x ,10) ，求 y 的分布函数。三（ 12 分）设 x1与 x 2 为两随机变量，它们的取值均为0,1,2 ，已知p x1 i1/ 3, i0,1,2,p x 2j x10.4,ij,i, j 0,1,2 求iij0.3,1.（ 1）p x 22 x10；（ ）p x 22 ；（ 3） x1与x 2 的协方差2四（ 12 分）设某一路段每天特定时间段内发生的交通事故数 x 的观察数据统计如下：次数 x012345频数10182524149试在显著性水平5%下，检验假设 h 0: x 服从均值为 2.5 的泊松分布。

14、五（ 14 分） 设总体 x n (1, 2 ),2 未知， x1, , xn为来自 x 的简单随机样本，（1）求2 的矩估计量，并判断其是否为2 的相合估计；（ 2）求2 的极大似然估计量，并判断其是否为2 的无偏估计六 （ 12 分）设二元随机变量( x ,y ) 具有概率密度函数f ( x, y)6 y,0 yx1,，求： (1)求 x 的边际概率密度 f x (x) ；(2)求0,其他.条件概率密度fy x ( y 32 ) ；(3)设 z xy ，求 z 的概率密度 f z ( z) 试卷解答0,x22,一 1. f ( x)x22 ,22x32,， 113/625=0.1808,1

15、08101,x322.0101011e1e1 ,1e3e3 ,(1e1)(1e2) 1(1 e1)(1 e2)3.0.7,0.824.n (,112 ),2 (1),s21.365,105.310(386319.866),(303.77,2442.72)二(1)p( x10)2 /30,y10,(2)fy ( y)p(max( x ,10)y)2/ 3,10y20,1,y20.三(1)p( x 22 x10)1 p( x 20 x10)p( x 21 x10)0.3,(2)p( x 22)p( x10)p( x 22 x10)p( x11)p( x 22 x11)p( x12)p( x 22

16、x12)1/ 3,x1x 2012p04 /303/ 303/ 301/ 3(3)13/ 304 /303/ 301/ 323/ 303/ 304 /301/ 3p1/ 31/ 31/ 31e( x1 )e( x 2 )1,e( x1 x 2 )16 /15,cov( x1, x 2 )e( x1 x 2 )e( x1 )e( x 2 )1/15.四次数 x012345频数10182524149pi0.0820.2050.2570.2140.1340.108npi8.220.525.721.413.410.825ni2n 1.36,02.05 (5) 11.07i0npi202.05 (5),接受 h 0 .五 (1)方法一：pe( x 2 )2 1, 令 e( x 2 ) a2 ,?2a2 1, ?22 ,是相合估计，方法二：2 , 令 d (x ) b2 ,?2b2 , ?2pd ( x )2 ,是相合估计 ;（ 2）n1)2l( 2 )n2 )n( xi(2 )2 (2 expi122n( xi1)22 )n ln(2n ln2ln l()i 12222n1)2