矩阵基本性质

1、矩阵的基本性质矩阵A的第i第j列的元素为Aij。我们IN或（I）表NN的单位矩阵。1.矩阵的加减法（1）C=AB,对应元素相加减（2）矩阵加减法满足的运算法则a.交换律：A+B=B+Ab.结合律：A+B+B=A+（B+C）c. A+0=Ad. A-A=02.矩阵的数乘（1）B=A，各元素均乘以常数（2）矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律：A+B=A+Bb.矩阵对数的分配律：+A=A+Ac.结合律： A=(A)d. 0A=03.矩阵的乘法（1）C=AlnBnm，左行右列对应元素相乘后求和为C的第l行第m列的元素（2）矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律，只有两个方正满足且有

2、AI=IA=Ab.分配律：AB+C=AB+ACc.结合律： ABC=A(BC)d.数乘结合律：AB=A(B)4.矩阵的转置AT, (AT)ij=Aji（1）矩阵的幂：A1=A, A2=AA, Ak+1=A(Ak)（2）矩阵乘法满足的运算法则a. (AT)T=Ab. (A+B)T=AT+BTc. (A)T=(AT)d. (AB)T=ATBT5.对称矩阵：AT=A即aij=aji；反对称矩阵：AT=-A即aij=-aji（1）设A,B为（反）对称矩阵，则AB仍是（反）对称矩阵。（2）设A,B为对称矩阵，则AB或BA仍是对称矩阵的充要条件AB=BA。（3）设A为（反）对称矩阵，则AT，A也是（反）对

3、称矩阵。（4）对任意矩阵A，则H12A+AT,S12A+AT分别是对称矩阵和反对称矩阵且A=H+S.（5）(AT)T=A6. Hermite矩阵：AH=A即aij=aji；反Hermite矩阵，AH=-A即aij=-ajia.AH=(A)Tb. (A+B)H=AH+BHc. (A)H=(AH)d. (AB)H=AHBHe. (AT)T=Af. (AH)-1=(A-1)H（当A矩阵可逆时）7.正交矩阵：若ATA=AAT=E,则A,(B)Enn是正交矩阵（1）A-1=ATEnn（2）detA=1（3）AB, BAEnn8.酉矩阵：若AHA=AAH=E,则A,(B)Unn是酉矩阵（1）A-1=AHU

4、nn（2）detA=1（3）AB, BAUnn（4）ATUnn9.正规矩阵：若AHA=AAH,则A是正规矩阵；若ATA=AAT,则A是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式（1）trA=i=1naii=i=1ni为矩阵A的迹；A或det(A)为行列式（2）trAB=trBA；注：矩阵乘法不满足交换律（3）trABC=trCBA=trBCA（4）A=UBU, U为酉矩阵，则trA=trB（5）IM+ABT=IN+ATB（6）IM+abT=IN+aTb（7）AT=A（8）A=nA（9）AB=AB（10）det(I+AB)=det(I+BA)（11）A=i=1Mi（12）C=logdetIM+HQH*,

5、Q=NIN，则 C=i=1mlog1+Ni其中i为HH*奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵A*（1）设A=aij由行列式A的代数余子式Aij所构成的矩阵（2）AA*=A*A=AI12.矩阵的逆（逆矩阵是唯一的）（1）A的逆矩阵记作A-1, AA-1=A-1A=I;（2）A0（A为非奇矩阵）时，A-1=1AA*（3）A0且0，则(A)-1=1A-1（4）由ABB-1A-1=I，得(AB)-1=A-1B-1（5）(AT)-1=(A-1)T（6）若A0，A-1=1A（7）若A是非奇上（下）三角矩阵，则A-1也上（下）三角矩阵（8）A-k=(A-1)k（9）(P-1+BTR-1B)-1BTR-1=PBT(BPBT+R)-1（10）(I+AB)-1A=B(I+BA)-1（11）Woodbury恒等式 :(A+BD-1C)-1=A-1-A-1B(D+CA-1B)-1CA-1（12）A-1=U-1UH12.对角矩阵，矩阵A为对称矩阵，Q正交矩阵，则Q-1AQ=diag(1,n)为对角矩阵或U-1AU=UHAU=diag1,n=，则A=UUH=i=1niuiuiT; A-1=U-1UH=i=1n1iuiuiT13.矩阵的导数（1）xAB=AxB+ABx（2）xA-1=-A-1AxA-1（3）xlnA=