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文档简介
1、矩阵的基本性质矩阵A的第i第j列的元素为Aij。我们IN或(I)表NN的单位矩阵。1.矩阵的加减法(1)C=AB,对应元素相加减(2)矩阵加减法满足的运算法则a.交换律:A+B=B+Ab.结合律:A+B+B=A+(B+C)c. A+0=Ad. A-A=02.矩阵的数乘(1)B=A,各元素均乘以常数(2)矩阵数乘满足的运算法则a.数对矩阵的分配律:A+B=A+Bb.矩阵对数的分配律:+A=A+Ac.结合律: A=(A)d. 0A=03.矩阵的乘法(1)C=AlnBnm,左行右列对应元素相乘后求和为C的第l行第m列的元素(2)矩阵乘法满足的运算法则a.对于一般矩阵不满足交换律,只有两个方正满足且有
2、AI=IA=Ab.分配律:AB+C=AB+ACc.结合律: ABC=A(BC)d.数乘结合律:AB=A(B)4.矩阵的转置AT, (AT)ij=Aji(1)矩阵的幂:A1=A, A2=AA, Ak+1=A(Ak)(2)矩阵乘法满足的运算法则a. (AT)T=Ab. (A+B)T=AT+BTc. (A)T=(AT)d. (AB)T=ATBT5.对称矩阵:AT=A即aij=aji;反对称矩阵:AT=-A即aij=-aji(1)设A,B为(反)对称矩阵,则AB仍是(反)对称矩阵。(2)设A,B为对称矩阵,则AB或BA仍是对称矩阵的充要条件AB=BA。(3)设A为(反)对称矩阵,则AT,A也是(反)对
3、称矩阵。(4)对任意矩阵A,则H12A+AT,S12A+AT分别是对称矩阵和反对称矩阵且A=H+S.(5)(AT)T=A6. Hermite矩阵:AH=A即aij=aji;反Hermite矩阵,AH=-A即aij=-ajia.AH=(A)Tb. (A+B)H=AH+BHc. (A)H=(AH)d. (AB)H=AHBHe. (AT)T=Af. (AH)-1=(A-1)H(当A矩阵可逆时)7.正交矩阵:若ATA=AAT=E,则A,(B)Enn是正交矩阵(1)A-1=ATEnn(2)detA=1(3)AB, BAEnn8.酉矩阵:若AHA=AAH=E,则A,(B)Unn是酉矩阵(1)A-1=AHU
4、nn(2)detA=1(3)AB, BAUnn(4)ATUnn9.正规矩阵:若AHA=AAH,则A是正规矩阵;若ATA=AAT,则A是实正规矩阵10.矩阵的迹和行列式(1)trA=i=1naii=i=1ni为矩阵A的迹;A或det(A)为行列式(2)trAB=trBA;注:矩阵乘法不满足交换律(3)trABC=trCBA=trBCA(4)A=UBU, U为酉矩阵,则trA=trB(5)IM+ABT=IN+ATB(6)IM+abT=IN+aTb(7)AT=A(8)A=nA(9)AB=AB(10)det(I+AB)=det(I+BA)(11)A=i=1Mi(12)C=logdetIM+HQH*,
5、Q=NIN,则 C=i=1mlog1+Ni其中i为HH*奇异分解值的特征值11.矩阵的伴随矩阵A*(1)设A=aij由行列式A的代数余子式Aij所构成的矩阵(2)AA*=A*A=AI12.矩阵的逆(逆矩阵是唯一的)(1)A的逆矩阵记作A-1, AA-1=A-1A=I;(2)A0(A为非奇矩阵)时,A-1=1AA*(3)A0且0,则(A)-1=1A-1(4)由ABB-1A-1=I,得(AB)-1=A-1B-1(5)(AT)-1=(A-1)T(6)若A0,A-1=1A(7)若A是非奇上(下)三角矩阵,则A-1也上(下)三角矩阵(8)A-k=(A-1)k(9)(P-1+BTR-1B)-1BTR-1=PBT(BPBT+R)-1(10)(I+AB)-1A=B(I+BA)-1(11)Woodbury恒等式 :(A+BD-1C)-1=A-1-A-1B(D+CA-1B)-1CA-1(12)A-1=U-1UH12.对角矩阵,矩阵A为对称矩阵,Q正交矩阵,则Q-1AQ=diag(1,n)为对角矩阵或U-1AU=UHAU=diag1,n=,则A=UUH=i=1niuiuiT; A-1=U-1UH=i=1n1iuiuiT13.矩阵的导数(1)xAB=AxB+ABx(2)xA-1=-A-1AxA-1(3)xlnA=
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