预讲练结四步教学法高中数学 142正切函数的图象与性质讲新人教A版必修4

1、1.4.3正切函数的图象与性质(精讲) 【教材分析】 正切函数的图象和性质， 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方?,? 22）法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间（，这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘

2、图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。 【教学目标】 正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合

3、的思想理解和处理问题。 2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。 3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。 【教学重点难点】 教学重点：正切函数的图象及其主要性质。 ?k k?Z2是y=tanxx=，的渐近教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线线的理解，对单调性这个性质的理解。 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，而对正弦函数的研究又再一次做了一个模板，所以学生已经具备了一定的绘图技能，类比推

4、理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。但在画正切函数图象时，还有许多需要注意的地方，这又提升了学生分析问题的能力及严密认真的态度。 心理特征：高一学生已经初步形成了是非观，具备了分辨是非的能力及语言表达能力。能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生很容易“想当然”用事，考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1学案导学：见后面的学案。 2新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑情境导入、展示目标合作探究、精讲点拨反思总结、当堂检测发导学案、布置预习 【课前准备】 - 1 - 1学生的学习准备：预习“正切函数的图像与性质”，初步把握作图的方法与性质的推导。

5、 2教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标 问题1：就我们前面所学的内容中，正切函数与正余弦函数的有何区别？ y=tanx y=cosx y=sinx 三角函RR定义域 R1,11,1值域 奇偶奇 R? 大家怎么知道正切函数的值域是 通过单位圆中的正切线可以得到。 那请同学们回忆正切线在每一个象限的画法。（设计意图：通过此问题确定本节课的一个基调：类比学习；通过此问题来复习我们已经研究过的正切函数的性质；通过比较让学生了解

6、正切与正弦的区别，在画图像的时候注意区别；因为在作图时必须用正切线的知识，所以在此做一个相应的复习和准备工作，顺 应学生的思维在知识链接处提问） ：我们用什么样的方式得到正余弦函数的图像的？问题2内的图象，再利用周期性得到在定义域内2 0，利用单位圆内的正弦线，得到在一个周期，即 的图象。 3：请同学们根据所学知识设计一个研究正切函数图像与性质的方案。问题 方案：第一步：画出正切函数的在一个周期内的图象； 第二步：将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 第三步：根据图象总结性质。 三、合作探究、精讲点拨 在一个周期内的简图。请同学们解决方案的第一步，先画出y=tanx给学生充足的时间与空间

7、，发挥学生的主动性，这样不仅提高了学生的动手实践能力，还培 养了学生对数学的兴趣。?）的图象，教师暂注：有的学生可能会想到利用函数的奇偶性来画图，很多学生会画出（0. 时不予评价，等待学生形成图象。教师用投影仪展示作图结果，学生之间相互评价，指出优点和不足之处，并鼓励学生阐述?,? ?22?的）的图象与0自己的观点。教师直接在投影仪上纠正学生错误的图像；并将（， 图像进行比较来说明只是周期的选择不同，拓展到整个定义域上也是一致的。通过学生之间的点评与总结，引出渐近线，并请同学们总结出：要画出一个周期内的图象， 首先，选择哪段区间较好，其次，在画图象的过程中应该注意什么？ 投影仪展示完整图像。目

8、的是规范作图，理顺思路的作用，并画出在定义域上的图象。（设计意图：在做好整体知识方法的铺垫后，学生完全有能力自己得到图象，并且通过交流发现自己的问题，所以整体做了一个这样的处理。而根据知识的发生发展和获得结论这个过- 2 - 程，在最后给学生展示标准的图象以留下正确和深刻的印象） 总结正切函数的性质。分小组根据正切函数图象去验证正切函数已有的性质，并找出其它的性质（主要就指单调性，若学生提及对称性就一起分析，若学生不提也不加以讨论，因为高考要求没有对对称性的涉及）。一组总结后，其它各小组补充或改正。培养学生之间的团结协作能力及勇于探索的精神。 有部分学生会得到正切函数在定义域上是单调增函数的结

9、论，所以为了突破这个难点，另外又设计了三道判断题让学生小组讨论形成结果。 判断下列语句是否正确： (1) y=tanx在定义域上是单调增函数； （2）y=tanx在第一象限是单调增函数； ?7?7?tan?tan 168816）是单调增函数，（3 ，而y=tanx 在整体形成应该如何理解正切函数的单调性的基础上，再完成两个比大小的问题。 不求值，判断下列各式的大小 ?313 5）（ tan （ ） tan1380 tan1430， tan 4引导学生从数和形两个角度来完成，可以直接看图象，可以转化到同一个单调区间，也可以利用三角函数线来比大小。 （设计意图：根据原来的教学经验，学生在后续使用这

10、个性质的时候经常会认为正切在定义? 2，所以准备这些辨析题就是让学生0域上是单调增函数，或者对第一象限的认识就认为是缩短这个反复讲解的过程，留下正确的印象，而比较大小是检验能否认识三角单调性的一个很好的工具，诱导公式的使用又将前后内容联系起来） 四、例题分析 ?y?tanx? 4?讨论函数 例1 的性质 ? 4单位得到 分析：考察正切函数图像，该图像可通过正切函数图像向左平移?,k?x?kzxx|?R且? 4?解：定义域：奇偶性：非奇非偶函数 值域：R ?3?k?k,? 44?单调性：在上是增函数 点评：本题考察了图像的平移变换，培养学生的作图能力与通过图像观察性质的能力 变式训练1. 求函数

11、ytan2x的定义域、值域和周期 ? 2，tan2xy解：要使函数有意义，必须且只须2xZ - 3 - ?kk? 2424，ZR，x x，Z 函数ytan2x的定义域为x即?k? 2242（）设2x，由，xZ知Z ytan的值域为（，）即ytan2x的值域为（，） ? 22tan2x 的周期为）tan2x （xy）tan（2x（3）由tan22 tanx1的定义域y 例2 求函数解析：通过图像解三角不等式 ? 224，k且xkk，Z，得xkZ 解：tanx1且xk? 24，k且xkx| xR且xkZ 则定义域为点评：通过本题培养学生数形结合的能力 tanx1 2. y变式训练? 24，k，得k

12、Z xk解：tanx10，即tanx1? 24，kx| kZ xk则定义域为2?10? 77的大小与 3 比较 tantan例解析：通过诱导公式把角度化为同一单调区间，利用正切函数单调性比较大小 10?3?2?3? 227777)上单调递增，tanx在(0 又 解： tanytan 02?3?2?10? 7777 tantantantan，则点评：注意诱导公式的准确应用 6?13? 55) tan (与变式训练3. tan6?13?13?3? 55555 tantan tan ，tan ( )解：tan ?3? 55 又ytan x在(0，)0上单调递增 ?3?6?13? 5555) ，则ta

13、ntan (tantan由学生分析，得到结论，其他学生帮助补充、纠正完成。 五、反思总结，当堂检测。 教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 课堂小结： - 4 - 1、数学知识：正切函数的定义与图像，定义域、值域和周期性、奇偶性、单调性。 2、数学思想方法：数形结合。 达标检测： ?)?3xy?2tan( 4的周期是 1. 函数 ( ) ?2 6332 (D) (C) (A) (B) ?x)y?tan( 4的定义域为 ( 2.) 函数?R,xx|x?,x?Rx|x? 44 (B)(A) ?3?,x?R,k?x|x?k?Z,x?Z?k?Rx|x?k, 44 (C) (D) ?

14、?2为周期,(3)是奇函数的是 ( ,(2)以2 3.下列函数中,同时满足(1)在 (0, ) )上递增y?tanx1y?tanxtanxy?xcosy? (C) (D) (B) (A) 24.tan1,tan2,tan3的大小关系是_. 5.给出下列命题: (1)函数y=sin|x|不是周期函数; (2)函数y=|cos2x+1/2|的周期是/2; (3)函数y=tanx在定义域内是增函数; (4)函数y=sin(5/2+x)是偶函数; (5)函数y=tan(2x+/6)图象的一个对称中心为(/6,0) 其中正确命题的序号是_(注:把你认为正确命题的序号全填上) 6.求函数y=lg(1-ta

15、nx)的定义域 参考答案：1.C 2.D 3.C 4. tan2tan3tan1 5.(1)(4)(5) ? ,k?kx?kZ?x? 24?6. 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。 六、发导学案、布置预习。 ?,那y=|tanx|变成了什么？ （1）y=|sinx|的周期变成了2（2）在书本P34有正切、余切的由来，请同学们仔细阅读，并想想为什么直阴影是余切，反阴影是正切？ 七、板书设计 正切函数的图象及性质 一、正切函数图像 例1 1画出正切函数的在一个周期内的图象； 例2 2将图象向左、向右平移拓展到整个定义域上去； 例3 - 5 - 二、正切函数的性质 根据图象总结性质