三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f (x, y, z)dz，再做二重积分 F (x, y)d；，就是“投ZiD影法”也即“先一后二”。步骤为：找0及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y) “穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成“后二”这一步。III f (x, y, z)dv 二f (x, y, z)dzdcQD ziC2如果先做一重积分11 f (x, y, z)d；二再做定积分F (z)dz，就是“截面Dzq法”

2、也即“先二后一”。步骤为：确定。位于平面z = 与z=c2之间，即z C1,C2，过z作平行于xoy面的平面截门，截面Dz。区域Dz的边 界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分i if(x, y,z)d二，完成DzC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分.F(z)dz，完成“后CiC2一”这一步。h i f(x,y,z)dv = f (x, y,z)d；dzQCi Dz当被积函数f (z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积二容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平

3、 面)(1) D是X型或丫型，可选择直角坐标系计算(当门的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2 y2),fd)时,x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) 门是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2 y2 z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对-向其它坐标面投影或门不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1. 对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是门

4、在z处的截面，其边界曲线方 程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算Sdz。因而门中只要za,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2. 对坐标系的选取，当门为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含 z或zf(x2 y2)时，可考虑用 柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分I二 zdxdydz，其中门为平面x y 1与三个坐标面x =0, y =0,z =0围成的闭区域。解1 “投影法” 1画出门及在xoy面投影域D. 2.“穿线” O l-x-y*x+y+z=l0 _ x _1

5、: 0 _ y _ 1 - x0 _ z_1-x-y3计算11-x 11 11I in zdxdydz= jdx dy zdz = jdx -(1 - x - y)2dy 二一 (1 - x)2 y - (1 - x)y2- y30dx0 0 0 00 22 0311 _x1 _x-y3_, 1_x601313 2341(1 -x) dx x x x x 0 624124解2 “截面法” 1画出0。2. zw 0,1过点z作垂直于z轴的平面截0得DzT.Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x=1- z, y=1-z3计算1 1 1I = M zdxdydz = J JJzdxdydz = Jz

6、 JJdxdydz = JzSDzdzQ0 Dz0 Dz0二.z(1xy)dzz1(1-z)(1-z)dzW(z-2z2 z3)dz退 0 2 0 2 2 0 24补例2:计算h i x2 y2 dv，其中门是x2 y2 = z2和z=1围成的闭区域解1 “投影法”z = x2 + 2y21.画出。及在xoy面投影域D.由、z = 1消去z.得 x2 y2 = 1 即 D: x2 y2 空 12.“穿线” , x2 y2 乞 z 乞 1,1 Ex 兰1 ：.：1X2 乞 y 乞 1X222 .x y z _ 1in .x2 y2dv =Q11-x1dx dy . x2 y2dz =二 _12x

7、2 y21dxAI2y2(x2y2)dy JZ1 X20 Dzll x2 y2dv =Q-z3dz=-3 0注：可用柱坐标计算 解2 “截面法”1.画出1。2.0,1过点z作垂直于z轴的平面截得Dz : x2y2乞z2g兰日兰2兀Dz丿0兰r兰z0兰日乞2兀用柱坐标计算00兰r兰z、0兰z兰13计算_12兀 z122I 3 zy dxdydz 二r d门dz 二 2二-r 0dz =0 0 0 0 3补例3:化三重积分I = f (x,y,z)dxdydz为三次积分，其中门：Qz =x2 2y2及z=2-x2所围成的闭区域。解: 1.画出门及在xoy面上的投影域D.z =X2 2y2Z=2-x

8、2 消去 z,得 x + y2即 D: x2 y12. “穿线”x22y2汐乞2-x2一1兰x兰1X 型 D: .一訥一 X2 兰 y 兰 1 -x2一1兰x乞1：_x2 兰y 兰 Jl_x22 2 2x +2y 兰 z 兰2 x11_x22_x23. 计算 = f (x, y, z)dxdydz= jdx dy f(x,y,z)dzQ4 T口 Jy2注：当f (x, y, z)为已知的解析式时可用柱坐标计算。补例4:计算in zdv，其中门为z=6-x2-y2及z = x2 y2所围成的闭区域Q解1 “投影法”1.画出及在xoy面投影域D，用柱坐标计算2.解x = r cos由y = rsi

9、化0的边界曲面方程为：z=6-r2, z=r0兰日兰2兀0 Er 兰2Z = zz = 6 _ r26得r=2二D: r兰2即丿z = r0兰&兰2兀“穿线” rz6r2 二 0 :Or 兰2r Ez 兰 6 r2623.计算!：zdv = Q.D2 1 2zdzrdrd 二-d 二 rdr zdz = 2 r z2；* dr r00r022.r(6-r2)20- r2dr 口2(36r -13r2 r5)dr =092ji3解2 “截面法”1.画出i】。如图：11由z = 6 _ r2及z = r围成2. z 0,6鬥0,22,6 i -门 2由 z=r 与 z=2 围成； z 0,2 ,

10、Dz : r_z”0兰日兰2兀Q1 :* 0 兰 r 兰 z0 Wz 兰22 由 z=2 与 z=6-r2 围成； 2,6 , Dz : r、6 - z9兰日乞2兀02:0 兰 J6-z2兰z兰62 63.计算111 zdv= 111 zdv 亠 111 zdv 二 z丨丨 rdrd vdz 亠 i z 11 rdrd vdzQQQ0 Dz2 Dz2262626= zSD”dzzSDdzu z二(z2)dz 亠 i z二(、6 - z)2dz = z3dz 亠，i (6z-z2)dz 二020202注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换。92n3补例5：计算iii(x2 y2)dv，其中|由不等式0x2y2 zi A，z _ 0所确定Jx = Qcoss in解：用球坐标计算。由* y = Psinsin 得0的边界曲面的球坐标方程:Z = P cos$P 1，连结OP=t，其与z轴正向的夹角为 ,OP= ?P在xoy面的投影为P，连结OP，其与x轴正向的 夹角为二。3T.0： a兰P兰A，0兰兰二 0兰日兰2兀2(x2y2Q1)dv = .dd (sin2 ”2sin 小=2二.sin3 - :?5Ad 50 0aH2 - - _a5) .sin3 d = J(