[生活]第一讲定积分的数值计算

1、生活第一讲 定积分的数值计算第一讲定积分的数值计算【主要目的】围绕定积分的概念与数值计算方法这一大家非常熟悉的主题，突 出数值实验、几何观察、数值分析等实验特性，学生通过实验与理论的对照，加深 对数学思想和数学知识的理解和掌握，学习如何从实验角度创新知识、发现知识, 并上升到理论分析的角度。【主要内容】定积分的数值计算方法，包括：矩形法、梯形法与辛普森法；对误 差的了解:精度与收敛速度引言/（町巾丄為轲首先回忆一下函数在区间上的定积分概念的建立过程。考虑在区间内任意插入个分点的分法：討一1丁总=呵 5S-i把分割成个小区间，第个子区间的长度为臥W【S丙/匾）g （出二12M）任取数，做乘积，把

2、所有这些乘积相加得到和日=聽伽吒心如果无论区间怎样划分及分点怎样选取，当时，该和式都趋于同一常数，则 称函数在区间上可积，且称此常数为在区间 上的定积分，即川町仏切八）算慕”磁=龈。言心g0称和式为积分和或黎曼和。在定积分的概念中包含了两个任意性，即对区间的分割和点的选取都是任意 的。显然，对于区间的不同分割或者点的选取不同，得到的和式一般不同。定积分 的定&一0义中要求在对区间无限细分（）的条件下，所有这些和式都趋于同一数值。这一点初学者较难理解。我们将通过数值实验来加以理解。/（町和上/（刃切当在区间上连续，为在区间上的原函数时，我们可以用牛顿-莱布尼兹公式方便地求得。但是有些函数其原函数

3、不能用初等函数表示出来，这样对应的定 积分通常也不能用牛顿-莱布尼兹公式算出其精确值。而且，在自然科学与工程技 术中有许多问题，被积函数并不是用具体函数表达式解析表示的，而经常是通过实 验或测量方法用表格或图形给出的，这就导出了定积分的数值计算问题。我们将利 用“分割取近似，作和求极限”这一定积分思想方法，来构造一些数值计算方法, 并进行数值实验。实验一定积分概念的深化达布和设函数在区间上有界。考虑将将区间任意分割成个子区间Jt-J r（）的分法，设在子区间上的上、下确界分别上莎Jt二加尤-叫耳心1川力为，称为在子区间上的振幅，和式Fa二評 KO = 丫如/W/T分别称为关于该分割的达布（Da

4、rboux）大和与达布小和。由定义可知，函数对 应于同一分割的积分和有无穷多个，但达布大和与达布小和却都各只有一个。当 在区间上不连续时，达布和不一定是积分和，但它们都与积分和有着密切的联系,易知道对于同一分割，有NJt-L.可以证明在区间上可积的充分必要条件是宀“ lim S（r）-s（r）= lim Y 恋&, = 0 /（町忆切伸丸垃屮n现在假定在区间上非负连续，那么达布大和在几何上就表示在子区 珀円1见目心间上以为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积；达布小和表示在 子区间上以 为高所做的个小矩形构成的阶梯形的面积，它们的差珀円1 g 切二詁加八）以奶T 0就是这两个阶梯形面积之差。由于

5、函数在区间上可积，所以当，即当区间被 无限细分时，这两个阶梯形面积都趋于该曲边梯形的面积，从而这两个阶梯形面积之差为零，即当考虑对区间进行等分时，我们有相应地将、分别记作和.特别，如果在区间上单调增加，那么达布小和就是左和H亠1A - 0、 A e如=L如=少+上)，达布大和就是右和左 3)二 Eg竝 W)=斗上Gk i a/(刃巾上如果在区间上单调减少，那么达布大和就是左和，达布小和就是右和，即 =血.附)=殛俎=汽盟I丽阴数值实验1对区间上作等分，观察在上的达布大和与达布小和之差随增加时 的变化趋势。3)-&(对)閔Mathematica 程序(ch1-ex1.nb)实验过程:(1) 改变

6、分割次数，观察；(2)改变被积函数观察实验结果分析与理解：5璋寸一卫辰方总谕描从实验看出，对于函数，它在上的达布大和与达布小和之差随增加而趋于0.达布大和与达布小和分别趋于曲边三角形的面积。实验二定积分数值计算方法一一近似计算如果在区间上可积，那么我们已经知道用它的左和或右和来逼近它，我们称之为矩形求积公式。当越大，逼近的精度越高。根据上述求积公式I矽y仗）必馬筋（呵（/ （打当为增函数时，用g触（科） E（力必疙 砂炒/ （町当为减函数时，我们甚至知道什么时候左和及右和给出的是过剩的近似值还是不足的近似值。从上面的数值实验例子可以看到，当=2时，左和给出了一个相当差的不足近似 值,而右和也只

7、给出了一个相当差的过剩近似值。当然，当充分大时，它们都能给 出好的近似值。但是，在给定的条件下，我们如何修改计算求积公式，使本例中 左和与右和产生的不足与过剩相互抵消，提高计算的精度一个办法是根据单调函数的特点，使用中点值，得到如下中点求积公式/ R （町=S（虜 + （七+ -） - ） -*-02.赴n；另一办法是取左和与右和的平均值，得到如下梯形求积公式数值实验2在给定分割数的条件下，观察使用左求积公式（左和）、右求积公式和）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值的精度情况。Mathematica 程序(ch1-ex2.nb)实验过程:（1）改变分割次数，观察；（2）改变被积函数

8、观察实验结果分析与理解In tegrateValue= 2.66666666666666667lti nleftBigriT roflulit51 dPctint：, fom-ilaTropex arcrwlaintJ, Oaom J WOG DM15012,660C 050000030001. 6OOalCiOOnTiCljD2|挪盒4；如国0【卿 也|山S.amJootPiLKiO2.66S2.庁助沪鸽1汨巧于洋30ix aZ:L-4314Eli&14lT2H665?E53Z5aZ5925a Ex dS6丄miiSL 苗二 4792,箔：4労929?99闻9乏丁師厲颐03顽C已Z諾唸书切9

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12、）、中点求积公式、梯形求积公式近似计算定积分的值时，中点公式具最好的精度。随着的增加，它们的精度也相应提高。实验三 更高的精度要求与收敛速度一一对误差的了解当我们计算一个近似值时，总会涉及到误差，即准确的答案与近似值之差。我 们从来不知道准确的误差，假如知道，也就知道准确的答案了。因此，我们有必要 对误差有好子的了解。1= +扎 g I记，其中是定积分的积分和，它是定积分精确值的一个近似值,称为误差。显然，误差越小，近似值越接近精确值，这时，我们说精度越高。这里，我们通过实验来了解如何估计误差界限以及怎样使误差变小的方法。数值实验3使用左求积公式(左和)、右求积公式(右和)、中点求积公式、梯形

13、求积公式近似计算定积分，观察当分割数依次增加10倍或100倍时误差的变化情况。在观察过程中，注意各近似值中小数点后有几位相同。继续增大，直到我们希 望的增大按一位数停止变化，我们称之为稳定。最令人感兴趣的是误差不是随机的，而是随定规律变化。Mathematica程序(ch1-ex3. nb)实验过程:(1)改变分割次数的倍数，观察小数点后数字的变化；(2)改变被积函数观察实验结果卜0Vl t I9zm4-li crot 1黑 ahLb r沱sup =QKX IW IP4U Ecieu2. 3n333 33 31?3?S LjEBEnE 昂 EE 科nW. 3133 31T3i J3-IZ4-1

14、. ajj；H5:1 严 i二口RH 一.:1_4:.集3is3；J3歸?宜n -, ntie4S6用骷型型4 .。白葩勺狷*应？3nk-.冏角桁6StiSWiSa.B山订尸期耳29砒咛2店霉T?n?ri?2丿-，rii畅汩订REim岭1耶门.。茁巾机匚汕萄门和诵E一 託质Lva沖尸苟祜g=i -听耐般弼EE拄匸9FET；qT.=.T7Fn；E9 S-H，侗丐.i2)8J33i33?3J3337 -. D10tiK站匪遊fi .02065133 33f5$ ijyoTdiJ7ytLUh3 . -J ui；ULJJhiiui6?iii ,lilcdid LC n-_ JL-hFiLbCfUj G

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18、. 033313VTPTIJT.i*- S5tr-J； J -. M3tKK?1155 c. - 6 L. lic - 5tCtL U U r或k -5 Util asWd. JJ - ZtfJXjCCAtOxZ/l c L - iJjJ JjH jJ上U二=4 c 、对实验结果的观察，我们能得到如下事实(1) 左、右求积公式所致误差具有相反的符号，但在数值上近乎相等。这是因为，函0 = ；4厲2数在上单调增加，左和总是不足近似值，右和总是过剩近似值。而且，因为每个子区间长度很小时，连续函数在每个子区间上几乎是一条直线，那么左和与右和的误差几乎相等。(2) 中点求积公式与梯形求积公式能产生更好

19、的近似。因为它们较好地消除了左和与右和所致的不足误差与过剩误差。比如，梯形求积公式所致误差正好是左、右积公式所致误差的平均值。(3) 对左求积公式与右求积公式而言，每增加一个小数位的精度，大约需要增10倍，即大约需要增加10倍的工作量。对应地，增大10倍，使用中点求积公式和梯形求积公式大约能增加两个小数位的精度。因此，矩形求积公式的误大约正比于，中点求积公式和梯形求积公式大约正比于。从这种意义上,中点求积公式和梯形求积公式具有更快的收敛速度。P一般地，如果某求积公式给出定积分精确值的一个近似值，且存在正数，使1 打 严lim = U（非零常数）那么，称该求积公式是阶收敛的。特别，当时，称该求积

20、公式具有线性的收敛速卜=p = tc = 0度;当或时，称该求积公式具有超线性的收敛速度。一般认为，一个二阶收敛的求积公式具有快的收敛速度。可以证明矩形求积公式具有线性的收敛 速度，中点求积公式和梯形求积公式具有二阶收敛速度。定理设在区间上具有连续的二阶导数，那么梯形求积公式A r-TT -，人=（口十更助，上=型n是二阶收敛的。其中呼工Jt+ll证明在小区间上，梯形求积公式用连接两端点、 俎仁Z 九）Py = JS的直线段近似代替该小区间上的曲线弧。易知（鬧=血 + /sLf）、% jt+iH+l UF （盂）/（Xj称为的一阶拉格朗日插值多项式或线性插值函数。Rg = 叽）=勺粼力=/何-

21、Tg盹）记，称为插值余项，那么，并可设农=疋衣）仗-工血）.任取，作辅助函数，易知满足_.（%如）曲）二/G）-环）-Z訂* -抵）0 -陥）诩d帆A）=曾S二旗S）二0，反复应用罗尔定理可知，至少存在一点，使得，注意到 红巨（可- 0，他）=0，那么从而我们得到丘=丄畀-心瓷-)/W =+ 导（x-耳）0- %】）于是梯形求积公式的绝对误差可用给出，显然12 *-0进一步，由于在上连续，记，那么我们就得到了梯形求积公式的误差估计式世亢7；) V M3-小利用这一求积公式，我们得到如下几点认识n Toa(1)当时，梯形求积公式的误差，这说明梯形求积公式是数值稳定的。(2) 梯形求积公式的误差是

22、阶的，或者说梯形求积公式是二阶收敛的，这说明梯形求积公式有较快的收敛速度。(3) 利用该求积公式我们能确定适当的分割次数来满足给定的精度要求。误差依赖被积函数。从该求积公式可以看出，较小的产生较小的误差，说的二阶导数对梯形求积公式的误差有较大的影响。因为决定曲线的曲率，因此曲线越歪曲，梯形求积公式的误差越大，曲线越平坦，梯形求积公式的误差越 小。这在几何上是非常清晰的，因为梯形求积公式是使用直线段近似代替曲线段，当 曲线曲率较小时，在一个小区间上的一段曲线近乎直线。实验四辛普森求积公式及应用细心观察上面的实验，还可以看出梯形求积公式与中点求积公式的误差符号相 反，且前者约为后者的两倍。这样，我

23、们就会想到利用这两个公式的加权平均数将得到更小的误差。这一公式称为辛普森求积公式。 .2施日【程）+ Trap何助心）二F面我们从另一角度来阐述辛普森求积公式。我们知道，矩形公式、中点公式在每个子区间上用常数逼近，梯形公式在每个子区间上用线性函数逼近。如果我们 在每个子区间上用二次函数逼近，即用抛物线代替原曲线，就得到辛普森求积公 式。由于二次函数含三个参数，每段要用相邻两个小区间端点的三个函数值，因此 要将区间分成个子区间。在第段的两个小区间上用三个节点、眾（托）二4兀2 + 十G （叼如/如）|（巧烁；、作二次插值函数，那么有将各段相加，得到辛普森求积公式kH0醫严尹+ 乩+辽加心3F1J

24、 W可以证明，如果有连续的四阶导数，那么辛普森求积公式是四阶收敛的。所以 辛普森.求积公式有更高的精度和更快的收敛速度。数值实验4使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分，观察它们 的精度对照。Mathematica 程序(ch1-ex4.nb)实验过程实验结果nTrfipecium romulaSiapa cfi Fotmulai3.2.6666eS65e6SS6S522.*73.百託eeses甌瑶百132. 703703 703703-70372.65666566666566&542.eS752.6S666S6S6S6665S2.e0oaoooaooooocio2.6565g56S6

25、6eSfififi562.6759259259259262.e&e665666665666572. -734)69 30775510213百旺旺666隔笳空砧e2.715752G死在K6矗柘空6533,7073163300111543托箕算函6函馆前65LO2花6船阴対9羽眄册32.66666565666665数值实验5使用梯形求积公式和辛普森求积公式近似计算定积分，观察当分 割数增加5倍时误差的变化情况。Mathematica 程序(ch1-ex5.nb)实验过程 改变被积函数和积分区间，观察分割次数为2和20，10和100的精度变化实验结果nTrape Eium Fariaula Ecta

26、tSiinpsai Pb nuul aErnzor2.52375377699371856.0Q21540&77352 6712953,0 0C432 炳7；3434巾栄觀94.132554010S5p6339S.0001376265857 74366 S3E.0S49611101C16409SS.OOOOS6 522304739255.GSD 410 6 现43丄 343 eg.0 0CQS79%23i3 56756*7397.04340394S070eSLSe3.OOOOL47474SC79963677e.033241722501937425.86496150e6iSI42Se-59.ose

27、27a79T4SBe 阴 344.5 40302 04456 33 gr7X3 e 一 J10.0126eS9ie&97i5?9.3 54525 屯63 316 3952 C 511.OL7591D1577-3e973e-.2 421953265 e- 513,01478262307757.17203S14?42Sfl7Se-S13.0i29b720279ie2.124169 5ieO47C4640e- 514-010062062525955.923396716S7LS2656e- 6IS.0054eS454?S755115SS.70C7e&20575Ma291e-百.OOe3i6S17SSe

28、33IlS.5W557P55?33e- 17.007367454156571325.42400501634974673 5-613.005571750369557074.3 3799S 403能弼 SC01 e-百19.0053933162775546736.272Z742eiOe310932e-620-0053 23326Z5gOSS7 342.221776201695251739 6- E5 n,TraffjeBium FTorMUlaErtOESiBfison FtmuuiaErron10.0212S2S6S2f5G971599.35452544533165952 已-315.00945

29、2484S57561I3b&,7OD7603C373043291 e-620.032332 62580697342* 22177699529173? e- 62S.0034071331751746037.9C845272i3e5iS63 e- 7和曰驻刁茁M览阳Q&W阳1.4?Si46M0e3S5T U - 735.fl 017334240604512153*365099790Je7773e- 740,001330997S96&85I1S5.13064103790931973 5-74S.001D51661S55Cre3I123,865542557S21473S e- 3SO.t 000513

30、514307 569445S.567890179?2601362 a- SSS,000704012704972e53e.3e7S7E02555434445 e- 360.0005915683135713234.2736735164573902 e- 665.t 0050405 3Jeb77Qe445.19eB3733Q9?e&eS74e-070.0004346237533301433e.1478246S5E2S52&le- 87S.r)00373G0G24?5ei?.11210143724136 e-Sso.000332759872232-36672.&665351399391359 e-96

31、5-tJ 0023476 3425 6542926,.i679)?265477662141 C- 990.000239215ES35?e9eS5.5409107236154513 b 995.00023597447470935506,435750656420039 e- 9100.00021296711692420089.35501305595965394 e-9数值实验6将区间二十等分，并将在各分点处的函数值列成表，利用该数据表使用梯形求积公式和辛普森求积公式来计算定积分的值，并与精确值比较。Mathematica 程序(ch1-ex6.nb)实验结果HDh, o.n5。翼 0-00233-, (0.L, (LDU” 一