20170427初一北师下三角形全等辅助线添加方法

1、 重庆千才教育 中学1对1 全等三角形辅助线 辅助线1：截长补短+角平分线 1.已知：如图，在ABC 中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD 的周长AB=6cm，求DEBDEAB于E，若平分如图在2.ABC中C=90，AC=BC，ADCAB， 平分DMAM平分BAD，为B=90，ABCD，MBC边上的一点，且中，3.如图，四边形ABCD 求证：ADC AMDM；（1） BC的中点为（2）M ，交EADBFABC，于点，ABC如图，4.在中，BAC=90ADBCD的平分线交于点，AC于点F1 重庆千才教育 中学1对1 FHBC于点H，求证：AE=FH 求 O，CE 交于点 ，中，ABC=60

2、AD 平分BAC，CE 平分ACBAD已知：如图，在5.ABC OE=ODAC=AE+CD， 证： 求 E的延长线于点 BD CEABCBD AB=ACA=90中，在已知：6.如图，ABC ，平分，交BD 证：2CE=BD2 重庆千才教育 中学1对1 7.如图，在AOB的两边OA，OB上分别取OM=ON，OD=OE，DN和EM相交于点C 求证：点C在AOB的平分线上 8.如图，AP，CP分别是ABC外角MAC和NCA的平分线，它们交于点P求证：BP为MBN的平分线 3 重庆千才教育 中学1对1 面积法 1如图，在ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E

3、，F，CG是AB边上的高 （1）DE，DF，CG的长之间存在着怎样的等量关系？并加以证明； （2）若D在底边的延长线上，（1）中的结论还成立吗？若不成立，又存在怎样的关系？请说明理由 2.如图，ABC中，B=90，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，PEAB、PFBC、PDAC，垂足分别为E、F、D，求PD的长 4 重庆千才教育 中学1对1 3.如图，已知等边ABC和点P，设点P到ABC三边AB、AC、BC（或其延长线）的距离分别为h、1 h、h，ABC的高为h在图中，点P是边BC的中点，由S+S=S得，ABh+ACh=2ACP12ABC3ABP ，所以：h+h+h

4、=h=0，可得BChh+h=h又因为h321321 外ABC内、ABC上、图中，点P分别在线段MCMC延长线上、 之间的关系；（直接写出结论）、（1）请探究：图中，h、hh、h312 ）说明图所得结论为什么是正确的；（2 ）说明图所得结论为什么是正确的（3 辅助线2：倍长（类）中线: ABC中 AD是BC边中线 5 重庆千才教育 中学1对1 A BCD DE=AD，连接BE 延长方式1： AD到E使ADE E的延长线于连接BE 于F，作BEADAD方式2：间接倍长作CFA FCBDE CN ，连接，使DN=MDMD方式3：延长到NA MDCBN AC的取值范围AD=4，AB=6，求如图，1.A

5、BC中，中线 ) ( 中线,AC=5,AD=7，则AB边的取值范围是、在2ABC中9AB19、D 、 、 1AB29 A 、 B4AB24 C5AB19 6 重庆千才教育 中学1对1 3.已知：如图，AD是ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且 AE=EF，求证：AC=BF A E F BC D 4、已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EFAB交AD于点F，EF=AC。 求证：AD平分BAC 5、ABC中，AD是边BC上的中线，DAAC于点A，BAC=120， 求证：AB=2AC. A 7 CDB 重庆千才教育 中学1对1 6、如图，AB=AE，ABA

6、E，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM E D A BCM ?C=90M为AB的中点，P、Q分别在AC上，且PMQM已知，如图，在7.ABC中，于M，求证：AP+BQPQ。 求证：边的中线，是，如图，在8.中，.BDBDA?BAD?AEAEAB?ABC?CD2AC? 8 重庆千才教育 中学1对1 9.如图，在中，平分，为的中点，交延长线于. EADCABC?ABCBACGADEG/求证： ECBF? 延长线上，连接CB点E在，F为AD上一点，且CD=DF,D如图，10.ABC中，ADBC于，且AD=BD 。于GABEF交 ；）求证：BF=AC（1 EB=AF。EF）若点

7、G为中点，求证：（2A FGCEBD ，垂足CDCE=AC，EF是，垂足为，ABC中，ACB=90CDABD，ECB上一点，且11.如图，在 为F.AD=CF 1）求证：（GF. ，求证：、的中点，连接是）若（2GAEGDGFGD9 重庆千才教育 中学1对1 C EFGABD MC的关系与的中点.试说明线段ME，12.已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGFM点是线段DF ：半角模型辅助线3D=?B上的点，且、CDBCE=90，、，中，）如图，在四边形（1.1ABCDAB=ADF分别是边1BAD=EAF?EF=BE+FD 求证：. 210 11对 重庆千才教育 中学 DB?上的点，且、CD=

8、180，E、（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD, F分别是BC1BAD=?EAF，1）中的结论是否仍然成立？ （ 2o=180?B?ADC延长线上的点，AB=AD）如图，在四边形ABCD中，CDE，F分别是边BC、，（31BAD?EAF?，且）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数（1 2 量关系，并证明； AADFBCBCEE ACD?MCN的边长为2. 现有=120，已知ABD为等边2. 如图，点CABD外一点，满足CD=CA，且，使）C点旋转（0旋转角60MCNAB，其两边分别与DB、交于点M、N，连接MN将绕着60的周长是否发生变化？若没有变化，请A

9、B和边上试判断在这一过程中，BMN得M、N始终在边DB 求出其周长；若发生变化，请说明理由B MNADC ：手拉手模型辅助线4 AE与，证明：CDBCE1.在直线ABC的同一侧作两个等边三角形ABD和，连接 1（）ABEDBC AE=DC （2）。 AE3（）与的夹角为DC6011 重庆千才教育 中学1对1 （4）AGBDFB （5）EGBCFB （6）BH平分AHC （7）GFAC D EB ，证明：与CDABD和BCE，连接AE如果两个等边三角形2. DBC ABE（1）AE=DC ）2（。 的夹角为60与（3）AEDCAHC H,BHDCAE4（）与的交点设为平分12 重庆千才教育 中学

10、1对1 D CA 问 AG,CE,二者相交于H.3. 如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连接 是否成立？ADGCDE）（1 相等？AG是否与CE（2） 之间的夹角为多少度？与CE3（）AG ？是否平分AHE（4）HDC HGADE 问与CD.，连接ABD=CBE=aAEBCE4. 两个等腰三角形ABD与，其中AB=BD,CB=EB, DBC是否成立？）1ABE（ 相等？AE是否与CD2（） 之间的夹角为多少度？CD3（）AE与 AHCHB4（）是否平分？13 重庆千才教育 中学1对1 D EHC BCE都是等边三角形，C在同一直线上，ABD如图，点5A，B AE=CD；（1）求证： 的形状

11、，并证明你的结论CD的中点，试判断BMN分别是2）若M，NAE，（ 相交于OCEADE6如图，ABC和都是等边三角形，BD与 ；BD=CE（1）求证： BOEOA2（）平分吗？说明理由14 重庆千才教育 中学1对1 7如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，且B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN 求证：（1）BD=CE；（2）BM=CN；（3）MNBE 8如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正APC和正PBD （1）当APC与PBD的面积之和取最小值时，AP= ；（直接写结果） （2

12、）连接AD、BC，相交于点Q，设AQC=，那么的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由； 15 重庆千才教育 中学1对1 （3）如图2，若点P固定，将PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180），此时的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明） 16 重庆千才教育 中学1对1 全等三角形辅助线（答案） 辅助线1：截长补短+角平分线 1.已知：如图，在ABC 中，1=2，B=2C求证：AC=AB+BD AE=AB，连接DE【解答】方法一：在AC上截取DE ，连接E，使AE=AC 方法二：延长AB至 求 D，AD，CE 交于点 ABC=60，AD 平分BAC，CE 平分ACB，AB

13、C 2.已知：如图，在中， DE=DDAC=AE+CD， 证： ，（1）证明：ADC=120【解答】 ，ADC=180120=60ADE=DDC=180 ，如图，AF=AE，连接DF在AC上截取 ADF和中，在ADE ），ADEADF（SAS ，ADFADE= ，ADF=60 ，ADF=12060=60CDF=ADC 又CDD=60， CDD=CDF， CDF中，在CDD和 ， CDF（ASA），CDD CD=CF AF=AE又， ，AC=AF+CF=AE+CD AE+CD=AC即； ADFADE2（）证明：，CDDCDF，17 重庆千才教育 中学1对1 DE=DF，DF=DD， DE=DD

14、求 BD 的延长线于点 E平分ABC，CEBD 交 中，3.已知：如图，在ABC A=90，AB=AC，BD 2CE=BD证： 相交于点BAF【解答】解：延长CE、 ACF+F=90EBF+F=90， ACFEBF= 中ABD和ACF在 ACF（ASA）ABDBD=CF ，平分ABCBD FBE，CBE= 中在BCE和BFE ， ）（ASABCEBFECE=EF 2CE=BD : 辅助线：倍长（类）中线2 AD=4ABC如图，1.中，中线，ACAB=6，求的取值范围18 重庆千才教育 中学1对1 【解答】解：如图， 延长AD到E，使AD=DE，连结CE AD是ABC的中线， BD=CD 在AD

15、B和EDC中， ， ADBEDC（SAS）， AB=CE AECEACAE+CE， 2ADABAC2AD+AB AD=4，AB=6， 2AC14 ?C=90M为AB的中点，P、QABC中，分别在AC上，且PMQM于M，求证：2.已知，如图，在AP+BQPQ。 【解答】延长QM，使MH=QM，连接AH,PH.利用三角形三边关系。 3.如图，在中，是边的中线.求证： BDBDAAE?BAD?AEABCD?2ACABC? 【解答】延长AE至点F，使AE=EF,连接BF.证明AEDFEB,再证明ABFCDA. 19 重庆千才教育 中学1对1 4.如图，在ABC中，E为BC中点，AD平分BAC，EFAD

16、，EF与AC的延长线交于点F，与AB交于H，试说明：BH=CF ；CF的延长线于点G，交解：如图，过点B作BGEF【解答】 ， EF，AD平分BAC，AD BAD，BAD=AFH，AHF=BAD=CAD， AHF，AFH= AH=AF， FG=HB； BE=CE，而EFBG， CF=FG， BH=CF 延长线上，连接E在CB为AD=BD，FAD上一点，且CD=DF,点5.如图，ABC中，ADBC于D，且 于G。EF交AB BF=AC；（1）求证： EB=AF。2）若点G为EF中点，求证：（A FGCDEB ADC. 证明BDF【解答】(1) HFA为等腰Rt。EBG于点过 (2)F点作FHBC

17、交ABH,证明FHG,证 ，垂足为CDEFCE=ACCBEDABCDACB=90ABC如图，在6.中，垂足为，是上一点，且， F.AD=CF 1（）求证：20 重庆千才教育 中学1对1 （2）若G是AE的中点，连接GD、GF，求证：GDGF. C EFGABD ，CDAB（1）ACB=90，解：【解答】 ，CAD=90ACD+ACD+ECF=90， ，ECFCAD= 中，CFERtADC和Rt在 ，CFEADCRtRt AD=CF CG，（2）如图，连接 AC=CE，G为AE的中点，ACB=90， CG=AG=GE，ECG=45，CGAE，CAG= ，RtCFERtADC ，CAD=ECF ，

18、ECFCAD，ECG+GCF=CAG+GAD= GCF，GAD= GCF中，GAD和在 ，GADGCF ，AGD=CGF ，AECG AGC=90， CGF=90，AGF+ ，AGF+AGD=90 DGF=90，即 GDGF 3辅助线：半角模型21 中学1对1 重庆千才教育 D?B=?上的点，且CDBC、=90，E1.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，、F分别是边1BAD?EAF=?EF=BE+FD .求证： 2DB?上的点，且、CD=180，E（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD, 、F分别是BC1BAD?=?EAF，1）中的结论是否仍然成立？ （ 2o=180?B?ADC延

19、长线上的点，中，AB=AD，CD，F分别是边BC、，EABCD（3）如图，在四边形1BAD?EAF?，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数 2 量关系，并证明； AADDFFBCBCEE AGG【解答】证明：（1）延长EB到，使BG=DF，连接 ，ABG=ABC=D=90，AB=AD ABGADF 1=2AG=AF， 3=EAF=BAD1+3=2+ GAE=EAF ，又AE=AE AEFAEG EG=EF EG=BE+BGEF=BE+FD 仍然成立1）（2（）中的结论EF=BE+FD FDEF=BEEF=BE+FD3（）结论不成立，应当是 BG=DFBG上

20、截取BE证明：在，使AG，连接22 重庆千才教育 中学1对1 B+ADC=180，ADF+ADC=180， B=ADF AB=AD， ABGADF BAG=DAF，AG=AF BAG+EAD=DAF+EAD =EAF=BAD GAE=EAF AE=AE， AEGAEF EG=EF EG=BEBG EF=BEFD ?ACD=120，已知ABDCD=CA，且的边长为2. 现有MCN2. 如图，点C为等边ABD外一点，满足60，其两边分别与DB、AB交于点M、N，连接MN将MCN绕着C点旋转（0旋转角60），使得M、N始终在边DB和边AB上试判断在这一过程中，BMN的周长是否发生变化？若没有变化，请

21、求出其周长；若发生变化，请说明理由 B MNDAC AF=DM，连接CFF【解答】解析：延长BA至点，使 ，DC=ACMDC=又FAC=90 FAC，MDC MCD=，FCAMC=CFNCA MCD+FCA+NCA=FCN=MCN DCA= =60，23 重庆千才教育 中学1对1 FCN=MCN 在MCN和FCN中， ， FCN，MCN MN=NF DM+BA+AF=BA+BD=4BM+MN+BN=BM+NF+BN=BD 4BMN的周长不变，其周长为 4：手拉手模型辅助线 ，证明：与，连接AECD的同一侧作两个等边三角形ABD和BCE1.在直线ABC DBC （1）ABEAE=DC ）（2。 60与DC的夹角为（3）AEDFB ）AGB（4CFB EGB（5）AHC 平分）BH（6AC ）GF（7D EHFGCAB DBC（SAS）1【解答】（）A