新课标高三数学人教版复习单元讲座 直线圆的方程

1、智愛學習 传扬爱心喜乐分享智慧泉源 新课标高三数学（人教版）复习单元讲座 第十三讲 直线、圆的方程 一课标要求： 1直线与方程 （1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式； （3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系； 2圆与方程 回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。 二命题走向 直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与

2、三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。 本讲的考察是： （1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向； （2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。 三要点精讲 ?。轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为 1倾斜角：一条直线L向上的方向与X,0?0090n当直线的倾斜角等于90;时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=ta2斜率：当直线的倾斜角不是时，直线的斜率不存在。 y?y?12?（若x的直线的斜率公式:k=tanx，则直线pp的斜率不存在，(过

3、两点px,y),p(x,y)(xx)211222121211 x?x120）。90 此时直线的倾斜角为4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。 名称 方程 说明 适用条件 斜截式 by=kx+, k斜率 b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式 点斜式) -xxy-y=k(00y)直线上 ，(x00斜率 已知点，k倾斜角为90的直线不能用此式 两点式y?yx?x11= y?yx?x1212(x，y)，(x，y)是直线上2112两个已知点 与两坐标轴平行的直线不能用此式 截距式 xy=1 +aba直线的横截距 b直线的

4、纵截距 过（0，0）及与两坐标轴 平行的直线不能用此式 一般式=0 AxC+By+ACC?分别为，BAB 斜率、横截距和纵截距 A、B不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。 5圆的方程 222a?b?0)0(r?x?a)?(yb)?r()(Ca,b时，圆。特殊地，当圆心为，半径为r的圆的标准方程为： 第 1 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 222ryx? 心在原点的圆的方程为：。ED2

5、2)?,(?0xF?y?Dx?Ey? 圆的一般方程，圆心为点， 2222?4?EDF22D?E?4F?0?r。半径，其中 22222xy?0Dx?Ey?Ax?BxyCyF?项的系数相项，表示圆的方程的充要条件是：、二元二次方程22A?C?0D?E?4AF?0。 ；、没有xy项，即B=0同且不为0，即；、 四典例解析 ：直线的倾斜角题型1 ） k，则（ 的斜率分别为l、l、lk、k、例1（1995全国，5）图中的直线313122 kkBkAkkk 1233 1 2kkkDkCkk 1 2332 1D 答案： 图均为、k0，直线l与l的倾斜角解析：直线l的倾斜角是钝角，故3121312 。，故应选

6、D0，因此kkkk锐角，且，所以k1223332 点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。y l两点，求、B分别交x轴、y轴的正半轴于AP例2过点（2，1）作直线B |PBPAl 的值最小时直线的方程。 ? ，解析：依题意作图，设BAO ，1） P（ 2 21 ?PB?PA， 则 ， ?cossinx O A 424 ?2?PAPB ， ?2sinsinsincoscos?|PBPA|?145sin2?l 时的值最小，此时直线，即，的倾斜角为 当1351?k?tan135? 。 斜率 l?2x?1?1?y0?y?3x?l 故直线，即的方程为。点评：求直线方程是解析几何的

7、基础，也是重要的题型。解这类题除用到有关概念和直线方程的五种形式外， 还要用到一些技巧。 ：斜率公式及应用题型20?y?2x?y?0?4?x?2y的最大值满足3（1）（05年江西高考）设实数x，y，则例? x?0?2y3? 。是_的图象交于x的一条直线与函数y=log24（2）（1997全国文，）已知过原点O8 C、D两点。y轴的平行线与函数ylogx的图象交于、A、B两点，分别过点AB作2 和原点O在同一条直线上。（1）证明点C、D A的坐标。x（2）当BC平行于轴时，求点0?yy?而，（包括边界）1 解析：（）如图，实数x，y满足的区域为图中阴影部分 xx?0 第 2 页 （共 10 页）

8、 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 y33?k，1的此时A点坐标为，所以，则直线表示点（x，y）与原点连线的斜率，AO的斜率最大，其中? OA?2x23 最大值是。 2yyk?kx?y点评：本题还可以设 ，则的最大值，但求解颇费周折。 ，斜率k的最大值即为 xx. ）gx，logx），B（xlo的横坐标分别为A、Bx，x，由题设知x1，x1，点A（x，（2）证明：设2821181221xloglogx?2188 O的直线上，所以，因为A、B在过点 xx21 ）gxgx），（x，lo又点C、D的坐标分别为（x，lo221212xlogxlo

9、g1828 x，由于logx，logx3log3logx28221812 2log2log88 OD的斜率分别为所以OC的斜率和xlog33logxxloglogx?k?,k21882122 。 ODOCxxxx2112 在同一条直线上。k，即O、C、D由此得kODOC3 ，解得 xx由BC平行于x轴，有logxlogx122182xlogxlog?32188. gx3x，得xlolo将其代入gx111818 xx213333. 的坐标为（，3x，xlog，于是点A）由于x1，知logx0，故x8111811点评：本小题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查运算

10、能力和分析 问题的能力。2?x2x?8sin1?cos?x0?)f(x 时，函数年全国高考）当）的最小值是（ 例4（05 2xsin24332 D C4 A2 B 5?3cos2x?x2，3cosBx?sin2?y的连线的斜率。，则y看作点A（解析：原式化简为 0，5）与点 ? x2?0?sinX?sin2x?0?x? 的轨迹是 因为点B? ?x23cosY?2?2Y ?2?Y?3X，1?X?0?31?即 94k?kX?5Y?的最小，由图象知k，代入上式，由相切（0A 过作直线）可求出 。4，故选C值是点评：也可用三角函数公式变换求最值或用求导的方法求最值等。但将问题转化为直线与 椭圆的位置关

11、系使问题解决的十分准确与清晰。 ：直线方程题型33?21?x?y? 5已知直线的点斜式方程为，求该直线另外三种特殊形式的方程。例 4 第 3 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 353?1?yy?x?x?2?）将1 移项、展开括号后合并，即得斜截式方程。 解析：（ 42435?2?xy?1? 、（0，）均满足方程，故它们为直线上的两点。 （2）因为点（2，1） 422?1xy?1x?2y? 即 由两点式方程得： 352?2?01? 22535?by?x 3）由知：直线在y轴上的截距 （ 24210yx?x0y?1? 故

12、直线的截距式方程 又令 ，得 5103 23点评：直线方程的四种特殊形式之间存在着内在的联系，它是直线在不同条件下的不同表现形式，要掌握好它 们之间的互化。在解具体问题时，要根据问题的条件、结论，灵活恰当地选用公式，使问题解得简捷、明了。ll 的方程。），且与两坐标轴围成的三角形面积为5直线，求直线经过点P（-5，-4例6yx1?l的方程为 解析：设所求直线 ， ba45?1ab?b?4a?5l，），。 直线-4，即过点P（-5 ba15?ab10?ab ，即又由已知有，25?4a?5b?aba?5?a? 2或 解方程组，得： ?2?b10ab? ?b?4?xyxy?1?l1?的方程为：故所求

13、直线 ，或 。 525?4? 20?20?02x?5y?10?8x5y 即，或l的方程，须先求截距a、b的值，而求截距的方法也有三种： 点评：要求 ?b，a00， （1）从点的坐标或中直接观察出来； （2）由斜截式或截距式方程确定截距； 0x?0y?y 得出得x轴上的截距b；令轴上的截距（3）在其他形式的直线方程中，令a。总之，在求直线方程时，设计合理的运算途径比训练提高运算能力更为重要。解题时善于观察，勤于思考，常 常能起到事半功倍的效果。 题型3：直线方程综合问题，=30+3yx三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2北京春理，例5（200312）在直角坐标系xOy中，已知AOB ） 则

14、AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ 答案：B D75 C88 B95 A 91 22x（0x15，xN）转化为求满足不等式y10x（0解析一：由y=10x15，xN）所有整数y的值. 33 个，9y分别有或x=3时，有个整数，x=1，y10个，x=2y然后再求其总数.令x=0，有11y15时，x=14或y个，类推：x=13时有2个，时，yx=4时，有8个，x=5或6y分别有7 。故选个整点.B分别有1个，共91 如图所示。=30所围成的三角形补成一个矩形.和2x+3yy解析二：将x=0，=0内部和AOB11=176.因此所求对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有1

15、6 图 第 4 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 6?176 边上的整点共有=91（个） 2点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探 索解题途径。 C在l上。，且与定直线l：x=1相切，点）已知动圆过定点例6（2003京春理，22P（1，0） （）求动圆圆心的轨迹M的方程；3 A相交于、（）设过点PB，且斜率为两点。的直线与曲线M ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；（i）问： 为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围。ABC（ii）

16、当2. =4xP为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y（）解法一，依题意，曲线M是以点 |，y），依题意有|MP|=|MN解法二：设M（x，22y?(x?1)2 。化简得：y。所以|x=4+1|=x3. ）（x1（）（i）由题意得，直线AB的方程为y=?),1xy?3(?2 x，10x+3=0由消y得3?2.xy?4? 图1 =3。，解得x=x21 33123, 2，），B点坐标为（A所以3点坐标为（，） 3316 x+2=。|AB|=x+21 3 |，即AC（1，y），使ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|=|ABC假设存在点 16?222()(3?1)?(y?23)? 3

17、? 1621?222 .y?)?(?1)(? ?333?43143232222y+=（） 解得y=由得4+（y+2。 （） ）， 393314 不符合，但y= 9 所以由，组成的方程组无解。 ABC是正三角形。l上不存在点C，使得因此，直线?),?13(xy?3 y，（ii）解法一：设C（1y）使ABC成钝角三角形，由=2，得?.1x?33 2。、C三点共线，故y，即当点C的坐标为（12）时，A、B日星期一月年2018319 页）10 页 第 5 （共 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 1y432328?2222 ，+（y+）=（1=y）又|AC| 33393322

18、22 y=28+4，）|BC|）=（3+1y+（y+22561622 。）|AB|=（ 93222|?|AC|BC?|AB| 。CAB为钝角时，cosA=|AC|，即即 93923 为钝角。时，CAB即y9256432822?y?43y?y?y?28222 ，BC|，即+|AB|当|AC| 939103 CBA为钝角。时，即y|，即+| 399244220)?y?0,(y3y? 即。 333 ACB不可能为钝角。该不等式无解，所以 ABC为钝角三角形时，因此，当32103)3y?(y?y?2或 。y的取值范围是点C的纵坐标 938253222为直径的圆的方程为（yx+）解法二：以=（）AB。

19、+）（ 3338523?, ，圆心（x=1的距离为）到直线l： 33332 ，。）所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（1 3为ACB、C三点不共线时，点不重合，且为直角，当C与GA、B点与当直线l上的CG重合时，ACB 不可能是钝角。ABC中，ACB锐角，即 或CBA为钝角。ABC因此，要使为钝角三角形，只可能是CAB2331?(x?)y。垂直的直线方程为 A过点且与AB 333 第 6 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 323?3 。（x令x=1得y+2=3B。过点且与AB垂直的直线方程为y） 39?),1y

20、?3(x?1033=得 y又由令xy解得=2， 1。 ?3.?1x?3 B、1，C2三点共线，不构成三角形。）时，A、的坐标为（所以，当点C ABC为钝角三角形时，因此，当310323y（y的取值范围是2点 39点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力。比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。 题型4：圆的方程 例7（1）已知ABC的三个项

21、点坐标分别是A（4，1），B（6，3），C（3，0），求ABC外接圆的方程。 222rb)?a)?(y?(x?，将三个顶点坐标分别代入，即可确定出三个独立参数a 分析：如果设圆的标准方程三边垂直平分线的交点，由此可求圆心坐标ABC外接圆的圆心是ABCb，r，写出圆的标准方程；如果注意到 和半径，也可以写出圆的标准方程。222r)?y?b(x?a)?( 解法一：设所求圆的方程是 0）都在圆上，3，B（6，3），C（，A因为（4，1） 所以它们的坐标都满足方程，于是222?a?1,?b)r(4?a)?(1?222b?3,?b)?r(6?a)?(?3 可解得?222225.?r.r?(0?b(?3?

22、a)?2225?(y?3)?(x?1) 。ABC的外接圆的方程是所以的BCBC的垂直平分线上，所以先求AB、解法二：因为ABC外接圆的圆心既在AB的垂直平分线上，也在 垂直平分线方程，求得的交点坐标就是圆心坐标。?3?10?(?3)133?2k?(,?)k?），线段BC，的中点为 ，的中点为（，线段AB5，1 ABBC224?3?6?6315)?1?(xy ， 的垂直平分线方程为AB 2 y33A)?3(xy? BC的垂直平分线方程CO 22x1,x? 解由联立的方程组可得 ?BE3.?y? ，3）ABC外接圆的圆心为（1， 225?3)1)(4?r?|AE|?(11 图4 半径。2225?3

23、)?1)?(y(x ABC外接圆的方程是故 ，解法二利用了圆的几何性质。点评：解法一用的是“待定系数法” 第 7 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 ）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。，0），C（3，1），B（6，3A（2）求过（4是相同的，在那里我们用了两种方法求圆的方程现在再尝试用圆的1分析：细心的同学已经发现，本题与上节例 ，可以比较一下哪种方法简捷。一般方程求解（解法三）220?F?Dx?xEy?y 解析：设圆的方程为 ）都在圆上，所以它们的坐标都是方程的解，将它们的坐标分03，），C（，1），B

24、（6，3因为三点A（4 的一个三元一次方程组：，F别代入方程，得到关于D，E22?2?D?0?1F?4D?4E?226E?0?F?3)?6D?3E6?( 。，解得 ?2215?F?0F?0?E?0?3D(?3)?22015?6y?y?2xx 。所以，圆的方程是1 225F?r?D4?E ，半径为，3）。圆心是坐标（12一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，“待定系数法”是求圆的方程的常用方法点评： 则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。422209y?16m?m?3)x?2(1?4m)x?y?2( 若方程。例8m ）当且仅当在什么范围内，该方程表示一个圆。 （1 m ）

25、当在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。 （2 42220?1?4m)y?16m?9x?y?2(m?3)x?2( ）由， 解析：（12222m?6m?7?x?(m?3)?y?(14m)?1 ， 2?07m?1?6m? 当且仅当时， 1?1m?m|? 即时，给定的方程表示一个圆。? 7?3m?x?1)y(x，m)1?m(?为参数） （2）设圆心坐标为。，则 （? 271?4my?20221?3)y?4(x(?x?4)?m1)?3y?4(?x?，为所求圆心轨迹方程。 消去参数 722?4DF?EED22),(?r0?xy?Dx?Ey?F，其中，半径点评：圆的一般方程，圆心为点 22222?4F?E

26、?D0。 题型5：圆的综合问题 a?b?0），试在（x轴正）a轴正半轴上两点A（0，），B（0，b2例9如图，在平面直角坐标系中，给定y半轴上求一点C，使ACB取得最大值。 第 8 页 （共 10 页） 2018年3月19日星期一 Wisdom&Love 智愛學習 传扬爱心喜乐 分享智慧泉源 b?a?ACBsin 。是x轴正半轴上一点，在ABC中由正弦定理，有 解析：设C R2 的外接圆的半径。R是ABC 其中 取得最小值时，ACB取得最大值。 可见，当RC是圆与x轴的切点时，半径最小。故切点 在过A、B两定点且与x轴正向有交点C的诸圆中，当且仅当点C 即为所求。 2ab?OC?OAOB 由切

27、割线定理，得：?0ab，abOC?取得最大所以 时， ，即点CACB的坐标为 值。它在解析几何及其它数学分支中都有圆是最简单的二次曲线，点评：广泛的应用。对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论 之间的关系，从而使问题得解，起到铺路搭桥的作用。2上=2p已知例10O过定点A(0，p)(p0)，圆心O在抛物线xy 。MO截x轴所得的弦，令|AM|=d，|AN|=d，AN=MN运动，为圆21 是否有变化？并证明你的结论；（1）当O点运动时，|MN|dd21 值。+的最大值，并求取得最大值的（2）求 dd12222)p?(y?x|=2py AO的半径|O(y0)，O的方程为解析：设O(x，y)，则x，000000022222222x p， ，|MN|=| xy=0，并把x=2py代入得x2xx+xxp=0，解得xx(x-)+(y-yx=xy+(-p)+p。令N0 000MN000000x |=2p为定值。M 0) ，N(x+p，（2）M(x-p0) 004224222222xp?(x?pp)?(x?p)p4 +2x=，dd，则d=，d=d，+d=4p 211022100022222)x(2p?x24p?22dddd?001212 =2+= 44ddx?4p