整式的乘法与因式分解

1、. ；. 整式的乘法与因式分解整式的乘法与因式分解 知识点的回顾知识点的回顾 1、单项式：单项式：都是数与字母的乘积的代数式叫做单项式（单独的一个数或一个字 母也是单项式） 。 2、多项式：多项式：几个单项式的和叫做多项式。 3、整式：整式：单项式和多项式统称整式。 4、一个单项式中，所有字母的指数和和叫做这个单项式的次数次数；一个多项式中， 次数最高的项的次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。 （单独一个非零数的次数是 0） 5、整式的加减运算法则加减运算法则： 整式的加减 合并同类项法则 去括号法则 练一练练一练： 1、下列代数式中，单项式共有 个，多项式共有 个。 , 5, 2， ab

2、， , , a , , 2 3 1 a 22 4 3 ba )( 1 yx a )( 2 1 ba 7 1 2 x yx 2、 （1）单项式的系数是 ，次数是 ； 2 32 zyx （2） 的次数是 。 （3）是单项式 的和，次数最高的项是 ，223 22 abbacab 它是 次 项式，二次项是 ，常数项是 3、一个多项式加上-2x3+4x2y+5y3后，得 x3-x2y+3y3，求这个多项式，并求当 x=-，y= 2 1 时，这个多项式的值。 2 1 . ；. 第一讲第一讲. 整式的乘法整式的乘法 1 1、同底数幂的乘法同底数幂的乘法 同底数幂的乘法，底数不变，指数相加。即：同底数幂的乘法

3、，底数不变，指数相加。即：， （, ,都是正整都是正整 nmnm aaa mn 数）数） 。 例 1 （1） （2） 6 5 33 12mm bb 32 )()(3(yyy 提示： 三个或三个以上的同底数幂相乘，法则也适用，即， pnmpnm aaaa （都是正整数） ；pnm, 不要忽视指数为一的因数； 底数不一定是一个数或者一个字母，也可以是单项式或多项式； 注意法则的逆用，即 nmnm aaa 2 2、幂的乘方、幂的乘方 幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：， （, ,都是正整数）都是正整数） 。 mn n m aamn 例 2 （1） （2） 2 3 2

4、 5 5 b （3） （4）(x 3xm)3= 3 12n x . ；. 3 3、积的乘方积的乘方 积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：积的乘方等于每一个因数乘方的积。即：， （是正整数）是正整数） nn n baabn 积的乘方法则可以进行逆运算即： anbn=（ab）n（n 为正整数） anbn=()a aaA AA A AA n个a ()b bbA AA A AA n个b =() ()()a ba ba b A A A A AA A AA A n个(ab) =（ab）n 同指数幂相乘，底数相乘，指数不变同指数幂相乘，底数相乘，指数不变 例 3 （1） （2） 2 3x 3 2b （3）

5、（4） 4 2 1 xy 2 3 2 （5）2m4m()m= 8 1 4 4、整式的乘法、整式的乘法： （1 1）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同）单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同 它的指数不变，作为积的因式。它的指数不变，作为积的因式。 例 4 xyzxy 3 1 2 2 单项式乘以单项式注意几点 各单项式的系数相乘； . ；. 相同字母的幂按同底数的幂相乘; 单独字母连同它的指数照抄。 注意：单项式乘以单项式的结果仍是单项式. （2 2）单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积）单项式与多项式相乘，就是

6、用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积 相加。相加。 单项式与多项式相乘公式：单项式与多项式相乘公式： 例 5 baabab 22 324) 1 ( （3 3）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积相加。再把所得的积相加。 (a+b)(m+n) =a(m+n)+b(m+n) =am+an+bm+bn 例 6 yxyx22 练习练习 1.下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？ （1）b5 b5= 2b5 （ ） （2）b5 + b5 = b10 （ ） （3）x5 x5 = x25 (

7、 ) （4）y5 y5 = 2y10 ( ) （5）c c3 = c3 ( ) mcmbmacbam ) 13)(4x2)( 2 x . ；. 2.若（x2）m=x8，则 m=_若（x3）m2=x12，则 m=_ 若 xmx2m=2，求 x9m= 若 a2n=3，求（a3n）4= 3.已知 am=2,an=3,求 a2m+3n的值. 4.计算 2(x3)2x3-(3x3)3+(5x)2x7 (-2x3)3(x2)2 2 1 (3xy2)2+(-4xy3)(-xy) (-x2y)3+7(x2)2(-x)2(-y)3 (0.125)788 (0.25)8410 (-n)3p(-n)p5 5已知 1

8、0m=5,10n=6,求 102m+3n的值 6已知,xm= 1/2 ,xn=3.求下列各式的值: （1）xmn; (2) x2mx2n; (3) x 3m2n 7.直接写出答案 (1) 3x25x3 = (2) 4y (-2xy2) = (3)(-3x2y)(-4x) = (4)(1.2103) (5102)= (5)3y(-2x2y2) = (6)3a3b(-ab3c2) = (7)-5a3b2c3a2b= (8)a3b(-4a3b)= (9)(-4x2y)(-xy)= (10)2a3b4(-3ab3c2)= . ；. 8.(1)若(-5am+1b2n-1)(2anbm)=-10a4b4，

9、则 m-n 的值为_ (2)(a3b)2(a2b)3 (3)(3a2b)2+(-2ab)(-4a3b) （4）(x+y)m-1(x+y)m1(x+y)m-3 （5）(x-y)3+(y-x)2. 9. )yxy-y)(x(x y)-8y)(x-(x 2)1)(x(3x 22 10.先化简，再求值：(a-3b)2+(3a+b)2-(a+5b)2+(a-5b)2，其中 a=-8,b=-6 11.化简求值： ，其中 x=)32)(12() 1)(1(3)3)(2(xxxxxx 5 4 （y2） （y26y9）y（y22y15） ，其中 y=2。 12.一块长 m 米，宽 n 米的玻璃，长宽各裁掉 a

10、米后恰好能铺盖一张办公桌台面 (玻璃与台面一样大小)，问台面面积是多少? . ；. 第二讲第二讲. .（一）乘法公式（一）乘法公式 1.1.平方差公式平方差公式 两数和与这两数差的积，等于它们的平方差两数和与这两数差的积，等于它们的平方差 符号语言：（符号语言：（a+ba+b） （a-ba-b）=a=a2 2-b-b2 2 例 1 （1） （3x+2） （3x-2） （2） （b+2a） （2a-b） （3） （-x+2y） （-x-2y） （4）10298 （5） （y+2） （y-2）-（y-1） （y+5） 2.2.两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的两数和（或差

11、）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的 2 2 倍倍 即：即：，。 22 2 2bababa 22 2 2bababa 例 2（1） （4m+n）2 （2） （y-）2 1 2 （3） （-a-b）2 （4） （b-a）2 3.3.添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果添括号法则：如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；如果 括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号。 例 3 ； 1xacba 练习练习 1.下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？ )32)(32(baba)32)(32(baba . ；

12、. )32)(32(baba)32)(32(baba )(cbacba)(cbacba 2.计算 )2)(2(xyyx)25)(52(xx )25 . 0 )(5 . 0)(5 . 0( 2 xxx 22 )6()6(xx （4m+n）2 （y-）2 1 2 （-a-b）2 （b-a）2 2 )4(yx 222 )43(cabba ）2= x5( 42 10yxy =)3)(3(baba 3.3.运运用完全平方公式计算： （1）1022 （2）992 （3）50.012 （4）49.92 4.在下列多项式中，哪些是由完全平方公式得来的？ 44 2 xx 2 161a1 2 x 22 yxyx

13、22 4 1 39yxyx . ；. 3.（1）证明：两个连续奇数的积加上 1 一定是一个偶数的平方 （2）求证：一定是 24 的倍数 22 )7()5(mm 4.计算阴影的面积：大正方形的边长是 a+b. 小正方形的边长是 a-b,空白长方 形的宽是 ab,求阴影的面积 （二）整式的除法（二）整式的除法 1.1. 同底数幂的除法同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减。同底数幂相除，底数不变，指数相减。 即：即：（） ， nmnm aaa nmnma都是正整数，且, 0 提示：同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算； 当三项或者三项以上的同底数幂相除时，法则同样适用。 例 4 （1

14、） （2） 47 aa 36 xx （3） xyxy 4 2.2. 零指数幂的性质零指数幂的性质 零次幂：任何一个不为零的数的零次幂等于零次幂：任何一个不为零的数的零次幂等于 1 1。 . ；. 即：即：, 1 0 a)0(a 3 3、整式的除法：整式的除法： （1 1）单项式相除，把系数同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除）单项式相除，把系数同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除 式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 例 5 （1） bacba 334 510 （2） xyyx 23 3 （2 2）多项式除

15、以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得 的商相的商相 例 6bbba21018 22 练习练习 1计算： （1） （2） abab 4 133 nm yy （3） （4） 2 2 5 2 25 . 0 4 1 xx 2 46 55mnmn . ；. （5） （6） （3x2n+2yn）3（x3y）2 yxxyyx 48 n (7)(6ab+8b)(2b) (8)(27a315a2+6a)(3a)； (9)(9x2y6xy2)(3xy)； (10)(3x2yxy2+xy)(xy). 2比较 2100与 375的大

16、小。 3光的速度约为每秒 3105千米，若地球与太阳的距离为 1.5108千米，那 么太阳光射到地球上需要多少时间？） 第三讲第三讲. 因式分解因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也 叫把这个多项式分解因式叫把这个多项式分解因式因式分解是整式乘法的相反方向的变形 因式分解与整式乘法的关系表示为： . ；. 因式分解 a2-b2=（a+b）（a-b） 整式乘法 说明：说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从 右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化

17、成和差形式（多项式）。 因式分解与整式乘法互为逆运算，两者的区别和联系是: (1)整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式； (2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘。 火眼金睛看一看：火眼金睛看一看： 下列代数式变形中，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？ (1)x2-3x+1=x(x-3)+1 ； (2)(mn)(ab)(mn)(xy)(mn)(abxy)； (3)2m(m-n)=2m2-2mn； (4)4x2-4x+1=(2x-1)2； (5)3a2+6a=3a（a+2）； (6)x2-4+3x=（x-2）（x+2）+3x； 一、提取公因式法一、提取公因式法 1. 定义：一般地，如果一

18、个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取 出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 表示：ma + mb = m（a+b） 方法步骤：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式 2. 提示: . ；. (1)因式分解的最后结果应当是“积”; (2)公因式可能是单项式,也可能是多项式; (3)提公因式法的理论依据是乘法分配律的逆运用,即: )(cbammcmbma 3. 易错点点评: (1)注意项的符号与幂指数是否搞错; (2)公因式是否提“干净”; (3)多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉. 例 1.因式分解：（1）3pq3+15p3q （2）ab2a 课堂练习课堂练习

19、 1把下列各式分解因式 （1） （2）)2(3)2(2yxbyxa)2(4)2(3)2(2yxcxybyxa （3） （4） 32 )2()2(2xybyxa 32 )3(25)3(15abbab . ；. （5） （6） 432 3mmm nmnm xbxaxbxa)()()()( 11 二、公式法二、公式法 1. 定义：如果把乘法公式反过来,就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解 因式的方法叫做运用公式法. 2. 主要公式: (1)平方差公式: )( 22 bababa (2)完全平方公式: 222 )(2bababa 222 )(2bababa 3. 易错点点评: 因式分解要分解到底.

20、如就没有分解到底.)( 222244 yxyxyx 例 2 填一填： (1)若 a=101,b=99,则 a2-b2=_； (2)若 a=99,b=-1,则 a2-2ab+b2=_； 例 3 求值：（1） （1） （1）（1） （1） 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 1 9 2 1 10 . ；. 三、十字相乘法三、十字相乘法 1.对于二次三项式,将 a 和 c 分别分解成两个因数的乘积, , cbxax 2 21 aaa , 且满足,往往写成 c2 a2 c1a1 的形式,将二次三项式 21 ccc 1221 cacab 进行分解. 如: )( 2211 2 cxacxacbxax

21、2. 二次三项式的分解:qpxx 2 abqbap)( 2 bxaxqpxx 3. 小提示: (1)理解:把分解因式时,如果常数项 q 是正数,那么把它分解成qpxx 2 两个同号因数,它们的符号与一次项系数 p 的符号相同. (2)如果常数项 q 是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大 的因数与一次项系数 p 的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的 和是不是等于一次项系数 p. 4. 易错点点评: (1)十字相乘法在对系数分解时易出错; (2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是 否正确. 例题讲解例题讲解 例 1 如果二次三项式可分解为，则的值为（ 2 1xax2xxbab ） b a 1 1 . ；. A1 B1 C2 D2 例 2 把下列各式分解因式： (1)； (2)152 2 xx 22 65yxyx 例 3 把下列各式分解因式： (1)； (2)352 2 xx383 2 xx 练习练习 1利用分解因式计算 （1） （2） 5 . 12346 . 4 5 . 1234 7 . 11 5 . 1234