单位化正交向量问题

1、第5章 相似矩阵与二次型,5.1 向量的内积、正交化方法,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.3 相似矩阵,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.5 二次型及其矩阵表示,5.6 二次型的标准形,5.7 正定二次型,5.1 向量的内积、正交化方法,5.1.1向量的内积,定义1 设有 维向量,称为向量 与 的内积,向量的内积具有下列性质,令,5.1.2向量的长度,定义2 设,令,称为向量 的长度（或范数,向量的长度具有下列性质,性质1 非负性:当,时,当,时,性质2 齐次性,为实数,性质3 三角不等式,则,当,时,可以证明,称为,维向量,与,的夹角,当,时,称向量,与,显然,零向量与任何向量都正交,正

2、交,5.3.3正交向量组,定义3 一组两两正交的非零向量组,称为正交向量组,两两正交的单位向量组,称为单位正交向量组, 记作,正交向量组有下列性质,性质1 若,是正交向量组,则,无关,性质2 设,为单位正交向量组,为同维数的任一,若存在数,使,则,线性,向量,例1 已知两个3维向量,正交,求一个非零向量,使,两两正交,解: 记,则,应满足齐次线性方程组,即,因为,所以同解方程组为,通解为,一基础解系为,取,即可,5.1.4正交化方法(施密特（Schimidt）正交化过程,设,为一线性无关向量组,1）正交化,取,依次类推,一般的,有,可以证明,两两正交,且与,等价,2）单位化,令,则,为单位正交

3、向量组,且,等价,例2 已知,求一组非零向量,使,两两正交,解,应该满足,即,其同解方程组为,它的通解为,一基础解系为,把基础解系正交化，即为所求取,于是得,即为所求,阶矩阵,5.1.5 正交矩阵,定义4 如果,满足,那么称,为正交矩阵，简称正交阵,例如,都是正交矩阵,为正交阵，那么,正交矩阵有下列性质,性质1 若,是可逆阵,且,或,为正交阵，那么,性质2 若,是正交阵,为正交阵,性质3,性质4 若,为同阶正交矩阵,则,也是正交矩阵,的特征值，非零列向量 称为方阵,5.2 方阵的特征值与特征向量,5.2.1 方阵的特征值与特征向量,定义5 设,是一个 阶方阵,如果存在数 及,维非零列向量,使得

4、,那么,这样的数,称为方阵,对应于(或属于) 特征值的特征向量,的,是方阵 的特征值, 是对应的特征向量,此为 个未知数 个方程的齐次线性方程组,是方阵 的特征值,是对应于 的特征向量,是齐次线性方程组,的非零解,右式称为 的特征多项式,记 为,称为特征方程,设,5.2.2 求方阵的特征值与特征向量的步骤,第一步：计算 的特征多项式,为对应于 的全部特征向量,不全为零,则,第二步：求出特征方程的所有根（重根按重数计算,第三步：对每个特征值 ,求出相应的齐次线性方程组的一个基础解系,例3 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,的特征值为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为

5、,所以对应于,的全部特征向量为,对于特征值,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,所以对应于,的全部特征向量为,例4 求矩阵,的特征值与特征向量,解,所以,有2重特征值,有单特征值,对于特征值,解方程,得同解方程组,故得通解,所以,对应于特征值,由,的全部特征向量为,对于特征值,解方程,得同解方程组,故得通解,对应于特征值,的全部特征向量为,重特征值算作,阶方阵,是可逆方阵,5.2.2 特征值的性质,性质1 若,的全部特征值为,个特征值）则,性质2 设,的一个特征值,为对应的特征,是,的一个特征值,为对应,向量, 且,则,向量,特征,是方阵,性质3 设,的一个特征值,为对应的特征,是

6、,的一个特征值,为对应特征向量,向量,则,是一个正整数,是方阵,性质4 设,的一个特征值,为对应的特征,是,的一个特征值,为对应特征向量,向量, 若,则,的特征值都不为零，知,可逆，故,例5 设3阶矩阵 的特征值为 ,求,解: 因为,而,所以,把上式记作,则,故,的特征值为,于是,例6：设,是三阶方阵，且,求,解，由题知,是,的特征值，于是,由于,故,的特征值,故,的特征值分别为,所以,由于,的互不相同的特征值,5.2.3 特征向量的性质,是方阵,性质1 设,的一个特征值,为对应的特征,向量,若又有数,则,性质2 设,是方阵,是对应于,的特征向量,则向量组,即对应于互不相同特征值的特征向量线性

7、无关,线性无关,的相似矩阵，或称方阵,5.3 相似矩阵,定义6 设,都是,阶方阵，若有可逆矩阵,使,则称,是,与,相似，记作,有,从而,即,如,5.3.1 相似矩阵的概念,的对应于,与,的某个特征值,若,是,5.3.2 相似矩阵的性质,性质1,因为,性质2 若,则,性质3 若,则,性质4 相似矩阵有相同的特征多项式,从而所有的特征 值都相同,性质5 设,是,是,的特征向量，则,的对,的特征向量,应于,例7 若矩阵,与,相似，求,解,由于,所以,比较上式两端,的同次幂系数，得,3）可以证明，对应于 的每一个 重特征值 若正好有 个线性无关的特征向量,即 则 必有 个线性无关的特征向量，从而一定可

8、以 对角化,定理1 阶方阵 与对角矩阵相似（即 能对角化）的充 分必要条件是 有 个线性无关的特征向量,推论 （ 能对角化的充分条件）如果 阶方阵的 个特征值互不相等，则 与对角矩阵相似,注意 （1）推论的逆命题未必成立,2）当 有重特征值时，就不一定有线性无关的 特征向量，从而 不一定能对角化,5.3.3 矩阵的相似对角化,的特征多项式为,例8 判断下列矩阵是否可以对角化？若可以对角化,求可逆矩阵使之对角化,解: （1,的特征值为1，3，是两个不同的特征值，所以 可以对角化,对,解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,令,则,因

9、此, 的特征值为1，1，3,的特征多项式为,2,对,解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,对,解方程,由于,同解方程组为,通解为,一基础解系为,有三个线性无关的特征向量，所以 可以对角化,令,则,是,5.4 实对称矩阵的相似矩阵,5.4.1实对称矩阵的性质,性质1 实对称矩阵的特征值都是实数，特征向量为实 向量,性质2 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互 正交,性质3 设,阶实对称矩阵,是,的,则齐次线性方程组,重特征根,的系数矩阵的,从而,的对应于特征值,性无关的特征向量恰有,的线,个,秩,个特征值,是,定理2 设,阶实对称矩阵,则存在正交矩阵,使,其中,为对角矩阵,且,元

10、素是矩阵,对角线上的,的,5.4.2 实对称矩阵的相似对角形,根据上述定理，任何一个实对称矩阵都与对角阵正交相似,寻找正交矩阵,使,成为对角阵的步骤如下,1根据特征方程,求出矩阵,的特征值,的所有不同,及它们的重数,2对每一个特征值,解齐次线性方程组,求得它的一个基础解系,3利用施密特正交化方法，把向量组,正交单位化得单位正交向量组,从而得到,个两两正交的单位特征向量组,的,个,4令,则,为正交矩阵,且,为对角矩阵，且,对角线上的元素含,恰好是矩阵,个特征值.其中,的主对角元素,的重数为,顺序与,并且排列,排列顺序相对应,中正交向量组的,例9 设,求一个正交矩阵,使,为对角矩阵,解：由,得,的

11、特征值为,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,单位化得,对应于,解方程,由,得同解方程组,通解为,一基础解系为,取,单位化,得,令,则有,注意： 上例中若令,可逆,则,例10 设,求,解,为实对称矩阵所以,可以对角化,即存在可逆矩阵,使,为对角矩阵.于是,从而,由,得,的特征值为,于是,对于,得,由,对于,由,得,令,再求出,于是,一般地,为正整数,合同,5.5 二次型及其矩阵表示,5.5.1合同矩阵,定义7 设有两个,阶矩阵,如果存在一个可逆矩阵,使得,则称矩阵,与,合同关系是矩阵之间的又一重要关系，它是研究二 次型的主要工具合同关系具有以下性质,性质1,与,自身合同,性

12、质2 若,合同,则,与,合同,与,性质3 若,合同,与,合同,则,与,合同,与,个变量的二次齐次函数,5.5.2二次型及其矩阵表示,定义8 含有,称为二次型,取,则,实二次型可以写成,则二次型可记作,记,任给一个二次型，就惟一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可惟一确定一个二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应关系因此，我们把对称矩阵 叫做二次型 的矩阵，也把 叫做对称矩阵 的二次型对称矩阵 的秩就叫做二次型 的秩,例如,可表示为,可逆变换,正交变换.经可逆变换 二次型的矩阵 变为与 合同的矩阵 且二次型的秩不变,研究矩阵的合同与实二次型理论的关系在将实二次型变化的过程中，

13、我们常常需要作变换，这种变换可以用如下关系描述,称为由变量 到变量 线性变换,矩阵形式为,5.6 二次型的标准形,定义9 如果二次型 通过可逆,标准形所对应的矩阵为对角矩阵,5.6.1二次型的标准形的定义,线性变换化成二次型 且仅含平方,式为二次型的标准形一般的，二次型的标 准形不惟一,项.即,则称上,即,其中 是矩阵的特征值，正交矩阵 的 个列向量 是对应于 的 特征向量,定理3 任给一个二次型 总存在正 交变换 使 化为标准形,5.6.2用正交变换法化二次型为标准形,用正交变换化二次型为标准型的关键试找到一个正,使二次型的矩阵,化成对角矩阵,具体步骤如下,1. 写出二次型的矩阵,3. 对重

14、特征值(如果有的话)对应的线性无关特征向量正,的特征值与线性无关的特征向量,4. 构造正交矩阵,令,则,交矩阵,2. 求出矩阵,交化,再将所有的线性无关的特征向量单位化,设为,例11 求一个正交变换 化二次型 为标准形,解： 二次型的矩阵,所以， 的特征值为：,对于 解方程,单位化得,一基础解系为,同解方程组,由于,对于 解方程,由于,同解方程组,一基础解系为,单位化得,将 正交化，得,令,则作正交变换 二次型可化为标准形,5.6.3用配方法化二次型为标准形,用正交变换化二次型成标准形，具有保持几何形状不变的优点如果不限于正交变换，那么还可以有多个可逆的线性变换把二次型化成标准形其中最常 用的

15、方法是拉格朗日配方法,例12 用配方法化二次型 化为标准形，并求所用的变换矩阵,解:先将含有 的项配方,再将后三项中含有,的项配方,令,则,经过可逆变换,可将二次型化为标准形,定理4 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化 为标准形（证明略,定理5 (惯性定理)设二次型 它的秩为 ,有两 个可逆线性变换,使,则 中正数的个数 中正数个数相等,5.6.4 惯性定理与二次型的规范形,另外，我们还有如下结论： （1）标准形所含项数 等于二次型对应的矩阵的非零,特征值的个数（重特征值按重数计算,2）标准形中正系数个数等于正特征值的个数（重特征 值按重数计算,3）标准形中负系数个数等于负特征值的个数（重

16、 特征值按重数计算），也等于项数 减去正特征值的 个数,二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数,定义10 如果二次型 通过 可逆线性变换可以化为,则称之为该二次型的规范形,定理6 任给一个二次型 总存在可逆变换 ,使 化为规范形,可以证明，规范形是惟一的规范形中取+1的个数等于正特征值的个数，也等于正惯性指数 ；取1的个数等于负特征值的个数，也等于负惯性指数 ；其中 为非零特征值的个数，等于二次型的秩,例如，若二次型 的矩阵 的特征值为,的规范型为,推论 两个实对称合同的充分必要条件是它们所对应,则,的实二次型具有相同的正惯性指数和秩,5.7 正定二次型,定义11 设实二次型,定理7 可逆变换不改变二次型的正定性,定理8 二次型 正定的充分必要条件,推论1 二次型 正定的充分必要条件 是它的规范型为,是它的正惯性指数等于,则称 为正定二次型，并称对称矩阵 是正定的,如果对任意 都有 （显然,推论2 实对