201x第六章随机信号分析

1、第六章 随机信号分析,本章学习要求：,1.掌握信号的幅值域分析方法 2.掌握信号相关分析方法 3.掌握信号的功率谱分析方法, 随机信号不能用确定的数学关系式来描述，也不能预测其未来任何瞬时值，任何一次观测值只代表在其变动范围中可能产生的结果之一，但其值的变动服从统计规律，可以用概率论和数理统计的方法来描述。, 对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录称为样本函数，记作xi(t)。样本函数在有限时间区间上的部分称为样本记录。在同一试验条件下，全部样本函数的集合（总体）就是随机过程，记作x(t)，即,非平稳随机信号：信号的特征参数随时间变化。,若一次长时间测量的时间平均值等于它的统计平均值（或

2、称集合平均值），则称这样的平稳随机信号是各态历经的。通常把工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。,随 机 信 号, 通常用统计的方法对随机信号进行以下三方面的数学描述：,1)幅值域描述：均值、均方值、方差和概率密度函数,2)时域描述：自相关函数和互相关函数,3)频域描述：自功率谱密度函数和互功率谱密度函数,第一节 幅值域分析,信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。,周期T，频率f=1/T,峰值P,双峰值Pp-p,信号波形图, 均值反映信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。,一、随机信号的均值 、均方值 和方差,1、均值, 实际测试

3、中，所得到的均值是对某个样本函数在足够长时间内的积分平均，称为均值估计。该估计值随所采样的样本记录的不同而有所差异，故它也是一个随机量。计算公式为,信号的均方值，也可称为平均功率，反映了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。,2、均方值,3、方差,方差反映了随机信号的波动程度。方差的正平方根称标准差 。,均值、均方值和方差的相互关系：,波形分析的应用：,超门限报警,案例：旅游索道钢缆检测,二、 概率密度函数P(x),随机信号的概率密度函数是表示信号幅值落在指定区间内的概率。x(t)值落在（x，x+x）区间内的时间为Tx,当样本函数的记录时间T趋于无穷大时，Tx/

4、T的比值就是幅值落在（x，x+x）区间的概率，即,概率分布函数又称之为累积概率，表示了落在某一区间的概率。,概率分布函数：信号幅值小于或等于某值R的概率，其定义为,实验图谱,以上四种对随机信号幅值的统计描述，显示了信号本身的一些特征，但作为对信号的一种整体描述是不充分和不精细的。例如，下图中的两个信号，其波形和周期都大不相同，但它们的描述参数 ， ， ，和 都相等。,第二节 相关分析,函数关系：函数关系是一种严格的依存关系，这种关系可以用y=f(x)的方程来表现。, 相关关系：相关关系是一种不完全确定的随机关系。, 统计学中用相关系数xy来描述变量x、y之间的线性关系程度和方向。如果变量x与y

5、间是函数关系，则xy=1或xy=-1；如果变量x与y间是统计关系，则-10，如果x、y变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，则称为负相关，xy0；而xy=0表示不相关，一般地：,|xy|0.95 存在显著性相关 |xy|0.8 高度相关 0.5|xy|0.8 中度相关 0.3|xy|0.5 低度相关 |xy|0.3关系极弱，认为不相关,一、相关系数,相关系数定义：,当数据点分布愈接近于一条直线时，|xy|愈接近1，x和y线性相关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈有意义。xy的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增加或减小。当xy接近于零，则认为x和y两变量之间完全无关，但仍可能存在着某种非

6、线性的相关关系；甚至函数关系。,柯西许瓦兹不等式,依据对信号的相关描述，对于各态历经随机信号及功率信号，其自相关函数的表达式可定义为：,二、信号的自相关函数,信号自相关的测试过程：,信号的自相关函数描述了信号x(t)本身在时刻t与时刻t+取值之间的相似关系。由于x(t)和x(t+)具有相同的均值和标准差，因此其自相关系数为：, 自相关函数的性质：,1) 当0，,若x(t)为随机信号，当时，x(t)和x(t+)之间不存在相似性，此时x0，Rx()x2,2) Rx()为偶函数，即Rx()=Rx(-),4) 周期信号的自相关函数必呈同周期性，且保留了原周期信号的幅值信息，丢失了相位信息。,【例6-1

7、】 求x(t)=x0sin(t+) 的自相关函数，其中初始相角为一随机量。,解：该函数是一个均值为零的各态历经随机信号，其各参数的平均值均可用一个周期内的平均值表示。,可见，正弦信号的自相关函数是一个同频的余弦信号，其幅值与原信号幅值有关，而丢失了原信号的相位信息。,原信号x(t)=x0sin(t+),自相关函数Rx()的性质见下图,性质1：当0，Rx()x2 当， Rx()x2,性质2：Rx()=Rx(-),性质4：周期信号的自相关函数必呈同周期性，且保留了原周期信号的幅值 信息，丢失了相位信息。,自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。例如，如果信号的自相关函数中有不衰减成分，且具有

8、周期性，根据性质4，该信号中必含有该周期成分。再如，对随机噪声来说，根据增大时，自相关函数衰减至零的快慢，就可判断噪声是宽带还是窄带。下图是典型信号的自相关函数。,变化迅速信号和变化缓慢信号的自相关函数,正弦波,正弦波加随机噪声,窄带随机信号,宽带随机信号,窄带网络带宽B中心频率f0窄带噪声噪声经过窄带网络输出的带通噪声, 对各态历经随机过程，两个信号x(t)和y(t)的互相关函数的定义为,三、信号的互相关函数, 根据相关系数和互相关函数的定义，可导出两者的关系：,它表征了一个信号y(t)的取值对另一信号x(t)取值的依赖程度(相关性)。,当足够大, 两信号互不相关, xy()0, 互相关函数

9、的性质：,1）两信号是同频率的周期信号，或包含有同频率的周期成分，才有互相关函数，即同频相关，不同频不相关。,2）两个相同周期的信号的互相关函数仍是周期函数，其周期与原信号的周期相同，并保留了原来两个信号的幅值和相位差信息。,3）两信号在相隔一个时间间隔t=0处，Rxy()可能有最大值，它反映了x(t)和y(t)之间主传输通道的滞后时间。,4）Rx()不是偶函数，即Rxy()Rxy(-),5）Rxy ()Ryx()，书写时要注意下标符号的顺序。,【例6-2】两个周期信号x(t)=x0sin(t+)，y(t)=y0sin(t+-)，求其互相关函数。,解：因为两信号为周期信号，可以用一个共同周期内

10、的平均值代替其整个历程的平均值。,可见，两个均值为零且具有相同频率的周期信号，其互相关函数中反映了各自的幅值信息和相位差信息；而在自相关函数中，只含有原信号的幅值信息，丢掉了相位信息。,【例6-3】两个频率不等的周期信号x(t)=x0sin(1t+)， y(t)=y0sin(2t+-)，12,解：,根据正（余）弦函数的正交性,注意，对两个周期不等的周期信号，其互相关函数的求取至少需要相当于这两个周期的最小公倍数那样的“时长”才足以反映Rxy()的全部特点。,四、相关函数的应用, 可以利用相关函数的性质，用相关的方法来区分和处理不同结构（即具有不同的复杂分量）的各类信号或测量系统的延时等。例如：

11、,1) 确定信号通过一给定系统所需的时间（输出滞后输入的时间）。若系统是线性的，则滞后时间可直接用输入、输出互相关图上峰值的位置来确定。,2) 利用互相关函数可识别提取含有噪声成分的信号。,频率保持特性,消除噪声干扰,1、测量运动物体的速度,互相关技术应用实例：, 系统组成：性能相同的两光源、光电元件、可调延时器件及相关分析仪., 测量原理：当飞行物通过两光电元件，光源被遮挡，光电元件产生电信号。当可调延时等于飞行物在两个测点之间经过所需的时间d时，互相关函数为最大值，则,2、测量深埋地下的输液管道裂损位置,3、查找振动源,原理：分别通过加速度传感器测出座位的振动信号和后轮的振动信号，将二者作

12、相关处理，可得出后轮振动对座位得影响。同理可测前轮或其他部位的振动对座位的影响。,4、地震位置测量,原理：依据性质3,性质4提取出回转误差等周期性的故障源。,5、机械加工表面粗糙度自相关分析,原理：依据性质3、性质4提取周期性转速成分。,6、自相关测转速,第三节 功率谱分析,相关分析是在时域中分析随机信号的方法，为在噪声背景下提取有用信息提供了途径。,功率谱分析则是从频域提供相关技术所提供的信息，它是在频域内研究平稳随机过程的重要方法。,一、信号自功率谱密度函数Sx(f),信号,有确定的时域波形和频谱，可用傅立叶变换分析,时域波形不确定，频谱也不确定,任务：工程中常需要了解随机噪声、随机振动大

13、致确定的频谱描述。,功率谱随机信号是不可积的，即能量是无限的，但它的功率却是有限的。换言之，它在不同时刻的取值虽不能确定，但在单位时间内所提供的能量（功率）却基本确定。由此引出功率谱这一概念。, 随机信号不满足傅立叶变换的前提条件绝对可积条件，但随机信号x(t)的自相关函数是随时差的增加而衰减的，即Rx()是收敛的，满足可积条件。,取随机信号自相关函数的傅立叶变换，并记作Sx(f)：,（617）,表征随机信号的频域特征, 此式表明：Sx(f)曲线下的积分(面积)与表征信号x(t)平均功率的均方值相当，故称Sx(f)为自功率谱密度函数，简称自功率谱。它与自相关函数是傅立叶变换对，两者是唯一对应的

14、，Sx(f)包含着Rx()的全部信息。,记,自功率谱密度函数Sx(f)或Gx(f)，除了用于描述随机信号的频谱结构，同样可用来描述确定性信号的总功率按频率分布的规律，即频率结构。Sx(f)与X(f)的关系如下：, Sx(f)和Gx(f)反映的是信号幅值的平方，所显示的主要频率成分更为明显。具有突出主要成分的优点。自功率谱和自相关函数一样，都失去了原信号的相位信息。,对于线性系统有:,显然， 与一般频谱 是等量纲的。, 互相关函数的傅氏变换称为互谱密度函数,简称互谱，记作,Sxy(f)它一般是复数，可写成,二、信号的互谱密度函数Sxy(f),其逆变换, 与自功率谱相比，互谱的最大特点是保留了原信号的幅值、频率和相位三个基本信息。,对于线性系统有, 互谱分析是在频域内清除噪声影响的重要方法。,相干函数常用来评价系统的输入信号和输出信号之间的因果性，也就是在输出信号的功率中有多少是输入量所引起的响应。,三、