三角函数的周期性ppt课件

1、1,序 曲,三角函数知多少 正弦函数作代表 三角函数讲周期 周期当中挑最小,三角函数的周期性,2,三角函数的周期性,一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题,三角函数的周期性,3,一、正弦函数的周期,三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数.,幂函数 y = x 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性.,周期性是三

2、角函数独有的特性.,三角函数的周期性,4,1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期,在单位圆中，设任意角的正弦线为有向线段MP.,正弦函数的周期性,动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.,同时还看到，当P的旋转量不到一周时，正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.,因此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2.,5,2. y=sin(x) 的最小正周期,设0，y =sin(x)的最小正周期设为L .,正弦函数的周期性,按定义 y = sin (x+L) = sin(x+ L) = sin x .,令x = x 则有 sin (x + L) = sin x,因为sinx最小

3、正周期是2，所以有,例如 sin 2x的最小正周期为,sin 的最小正周期为,6,3. 正弦函数 y=sin(x+ ) 的周期性,对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式,正弦函数的周期性,y = sin(x+ ),如 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是,它的最小正周期与 y = sin x 的最小正周期相同，都是,于是，余弦函数 的最小正周期与sinx的最小正周期相同，都是2.,7,二、复合函数的周期性,将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x x，sinx sinx,三角函数的单调性,而在以下的各种变换中，如,后者周期变为,(1)初相变换 sin x sin(

4、x+)；,(2)振幅变换 sin( x +) Asin( x+)；,(3)纵移变换 Asin( x +) Asin( x+)+m；,后者周期都不变，亦即 Asin( x +) +m与sin(x)的周期相同，都是,而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.,8,1. 复合函数 f(sinx) 的周期性,复合函数的周期性,【例题】 研究以下函数的周期性：,【解答】 (1) 2 sinx 的定义域为R，值域为 ，作图可知，它是最小正周期为2的周期函数.,(1) 2 sinx ； (2),(2) 的定义域为2k，2k+，值域为0，1，作图可知， 它是最小正周期为2的周期函数.,【说明】

5、从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，还可确定，loga x，sinx， ，sin(sinx)都是最小正周期2的周期函数.,9,2. y= sin3 x 的周期性,复合函数的周期性,对于y = sin3x =(sinx)3，L=2肯定是它的周期，但它是否还有更小的周期呢？,我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.,图上看到，y = sin3x 没有比2更小的周期，故最小正周期为2.,10,3. y= sin2 x 的周期性,复合函数的周期性,对于y = sin2x =(sinx)2，L=2肯定是它的周期，但它的最小正周期是否为2？,可以通过作图判定，分别列表作图如下.,图上看到，y

6、= sin2x 的最小正周期为，不是2 .,11,4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性,复合函数的周期性,y = sin2x 的最小正周期为，还可通过另外一种复合方式得到.,因为 cos2x 的周期是，故 sin2x 的周期也是.,因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x的最小正周期为；m = 2n 1时，sin m x 的最小正周期是2 .,sin2x 的周期，由cosx 的2变为sin2x的.就是因为符号法“负负得正”所致.,12,5. 幂复合函数举例,复合函数的周期性,【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.,【解答】

7、最小正周期为.,【例2】 求 的最小正周期.,【解答】 最小正周期为2.,【例2】 求 的最小正周期.,【解答】 最小正周期为.,【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 当 q 为奇数时，周期为2；q 为偶数时，周期为.,13,三、周期函数的和函数,两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？,和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.,对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情况将会如何？,三角函数的周期性,14,1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性,周

8、期函数的和函数,sin x 的最小正周期为2，sin2x的最小正周期是，它们之间谁依赖谁，或依赖一个第三者？,列表如下.,表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2.,15,1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性,周期函数的和函数,依据上表，作sinx+sin2x 的图象如右. 从图上看到，函数的最小正周期为2. 由sinx，sin2x 的最小正周期中的大者决定，因为前者是后者的2倍. 从图上看到， sinx+sin2x 仍然是个“振动函数”，但振幅已经不是常数了.,16,2. 函数 sinx+sin x 的周期性,周期函数的和函数,sin x 的最小正周期为2，sin x的最小正

9、周期是3. 它们之间的和sinx+sin x的最小正周期也由“较大的”决定吗？即“和函数”的周期为3吗？,因此3不是sinx + sin x的最小正周期.,通过作图、直观看到，sinx+sin x 的最小正周期为6，即sin x和 sin x最小正周期的最小倍数.,17,四、周期函数在高考中,三角函数是高考命题的重要板块之一，小题考，大题也考，比分约占高考总分的七分之一，与立体几何相当. 与立几不同的是，它还与函数、方程、不等式、数列、向量等内容综合.,正弦函数是三角函数的代表，而周期性又是正弦函数的特性.,关系到正弦函数的试题，有2种形式.,一、直接考，求正弦函数的最小正周期.,二、间接考，

10、考周期在正弦函数性质中的应用. 求单调区间，求最值，简单方程的通解等.,三角函数的周期性,18,1. 求正弦函数的周期,周期函数在高考中,【例1】 函数 y =| sin |的最小正周期为 （A） （B） （C）2 （D）4,【解答】,最小正周期是 最小正周期的一半，即2. 答案为（C）,【说明】 图象法判定最简便，|sin x|的图象是将sinx的图象在 x 轴下方部分折到x轴上方去.,倍角法判定最麻烦,19,【解答】 （1）y = 2cos2x + 1的最小正周期由cos2x决定，,故答案为.,1. 求正弦函数的周期,（2）,【说明】 都可看作sinx的幂函数的复合函数.,周期函数在高考中

11、,故答案为.,20,【解答】,【例题】 f (x)是R上的偶函数，且是最小正周期为的周期函数.,2. 函数周期性应用于求值,【说明】 周期性应用于区域转化. 将“无解析式”的区域函数转化到“有解析式”的区间上求值.,若 时 f (x) = sinx 试求 的值.,周期函数在高考中,21,【解答】,3. 函数周期性应用于求单调区间,【说明】 先求包含零点的增区间，再用最小正周期求单调增区间的集合.,【例题】 xR，求函数 y =sin2x + sinx cosx+2cos2x 的单调增区间.,函数的最小正周期为.,令,得,因为函数周期为，故函数的单调增区间为,周期函数在高考中,22,4. 周期性

12、应用于求函数零点,【说明】 先求绝对值最小的解，再利用最小正周期求“通解”.,【例题】 已知函数,得,【解答】,令,故交点横坐标的值的集合为,周期函数在高考中,23,五、高考史上的周期大难题,高考史上第一次“周期大难题”出现在恢复高考后的第3年，即1980年的理科数学卷上.,本题排在该卷的第六大题上. 在有十个大题的试卷上，这是个中间位置，然而，从当年的得分情况来看，本题的难度超过了包括压轴题和附加题在内的所有题目. 这点为命题人事先未能预料.,后来分析，该题的难点有三 .,一、函数抽象，导致周期中含有参数；二、求参数范围，与解不等式综合；三、求最小正整数解，连命题人自拟的“标答”都含糊不清.

13、 20多年来数学界质疑不断.,三角函数的周期性,24,2006年的周期大难题,高考史上的周期大难题,1写出 f (x)极大值M、极小值m与最小正周期; 2试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数 f (x)至少有一个值是M与一个值是m.,【考题】设三角函数 ，其中k0.,【解答】 1. M=1，m = -1，,2. f (x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m . 而任意两个整数间的距离都 1因此要使任意两个整数间函数 f(x)至少有一个值是M与一个值是m，必须且只须使 f (x)的周期1即： k=32就是这样的最小正整数.,25,六、高考史

14、上的周期大错题,中学教材上的周期函数，一般都是简单和具体的函数. 关于最小正周期的求法，也是一些感性的结果；没有系统和完整“最小正周期”的系统研究.,然而，随着“抽象函数”的不断升温，对周期函数周期的考点要求越来越高.,2005年福建理数卷出现的“周期大错题”正是这种盲目拔高的必然结果.,三角函数的周期性,26,2005年的周期大错题,【考题】 f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且 f(2)=0，则方程 f (x) = 0在区间（0，6）内解的个数的最小值是 A.2 B.3 C.4 D.5,高考史上的周期大错题,【说明】 这是2005年福建卷（理）第12题，命题组提供的答案是D，即答

15、案为5. 答案D从何而来？以下，就是“D”的一种解法.,【解答】 f (x)周期为3，由 f (2)=0，得 f (5) = f (2)=0，得 f (-1)= f (2-3) = f (2)=0，得 f (-4) = f (2-6) = f (2)=0 f (x)为奇函数，得 f (1) = - f (-1) =0 f (4)= - f (-4)=0，得 f (-0)= - f (0)，得 f (0)=0 f (3)= f (3+0)= f (0)=0 于是，求得 f (x)=0的解为：1、2、3、4、5. 共5个解，答案为D.,27,高考史上的周期大错题,【讨论】 除了上述解法得 f (x

16、)=0的5个解外，还有如下的解. 根据方程 f (x)=0的定义， x = 1.5 和 x =4.5 也是方程的解，证明如下： 由 f (x)的周期性，知 f (-1.5)= f (1.5) （1） 由 f (x)的奇偶性，知 f (-1.5) = - f (1.5) （2） 从而有 f (1.5)=0，f (4.5) = f (1.5)=0. 所以，1.5和4.5也是方程 f (x)=0的解.于是，方程的解共有7个：即是1、1.5、2、3、4、4.5、5.,【思考】 按上面讨论的结果，方程 f (x) = 0的解至少有7个. 而原题的四个选项支中均没有这个答案. 命题人给定的答案D是错的.,28,高考史上的周期大错题,这7个解即是1，1.5，2，3，4，4.5，5.,【实验检验】 f (x)同时满足4个条件：（1）定义在R上；（2）奇函数；（3）周期为3；（4）f (2) =0. 据此，我们找到 f (x)的一个具体例子：,并在区间（0，6）上找到 f (x)=0的7个解，列表如下：,29,高考史上的周期大错题,【反思】 命题人的错误