大物流体力学第二章 流体的运动

1、第二章 流体的运动,流体：包括气体、液体,流体的基本特征：流动性，无固定形状,流体运动的学科称为流体动力学,理想流体：绝对不可压缩、完全没有粘滞性,2-1 理想流体 稳定流动,一、理想流体,实际流体,二、稳定流动,研究流体运动的方法有两种,拉格朗日法： 将流体分成许多无穷小的流体质元，跟踪并研究每一个流体质元的运动情况，求出它们各自的运动轨迹和流动速度。这实际上是沿用质点动力学的方法来讨论流体的运动。,欧拉法： 把注意力集中到各空间点，观察流体质元经过每个空间点的流速、压强、密度等物理量，寻求它的空间分布随时间的演化规律。,在流动过程中的任一瞬时，流体在所占据的空间每一点都具有一定的流速v(x

2、、y、z、t)，这个空间称为流体速度场，简称流场。,1、流线和流管,流速方向：流线上的切线方向 大小：与流线疏密有关，如A、B、C,流线： （与电力线和磁力线相似，假想线）,2、稳定流动 流线上任一点速度大小、方向都不随时间变化，即流线的形状保持不变 流线即流体质元的运动轨迹,3、性质 （1）流线不能相交 （2）在某一流管内，外面流线不能流进来，里面流线不能流出去,流管：在流体中作一微小的闭合曲线，通过其上各点的流线所围成的细管,三 、 流体的压强,压强是描述流体与容器之间及流体各部分之间的相 互作用的物理量,压力,对静止流体:,(1)同水平高度的各点的压强相等,(2)在密度为 的静止流体内,

3、高度差为 的两点压强 差为,2-2 连续性方程 伯努利方程,一、理想流体的连续性方程,在稳定流动中，假设一段细流管，且任一截面上的各物理量都可以看成均匀的，即（1、S1、v1）和（ 2、S2、v2）,经过t时间，通过截面S1流入流管质量为,经过t时间，通过截面S2流出流管质量为,根据质量守恒原则及稳定流动的特点有m1=m2，即,质量流量守恒定律,如果是不可压缩的流体，即有,体积流量守恒定律,说明： 1、条件：（1）理想流体 （2）稳定流动 2、单位时间内质量流量： Q= Sv（单位：kg/s） 3、单位时间内体积流量： V=Sv（单位：m3/s） 4、S与v成反比，S大v小，S小v大。,5、流

4、管有分支时：,二、伯努力方程,1、伯努力方程的推导,利用功能原理来进行推导,截取一段流体XY作研究对象,各物理量见图所示，经过t时间变为X和Y,F1=P1S1,F2=P2S2,故当流体从XY流到XY时外力所作功为：,而当流体从XY流到XY时的机械能增量为：,由功能原理有： W=E,最后整理得：,伯努力方程,（3）方程中三项都具有压强的量纲，注意各物理量的单位,（5）第一、二 项是与速度无关称为静压，第三项与速度有 关称为动压,（6）水平管：当h1=h2，有：,即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。,2、说明：,（1）成立条件：理想流体在流管中作稳定流动,（2）各项分别代表该点压强、单位体积

5、内的重力势能、动能,（4）伯努利方程也叫能量守恒方程,例2-1 设有流量为0.12m3 s-1 的水流过一管子，A点的压强为2105Pa，A点的截面积为100cm2，B点的截面积为60cm2，B点比A点高2 m。假设水的内摩察力可以忽略不计，求A、B点的流速和B点压强。,解：根据连续性方程有,又根据伯努力方程有,2-3 伯努利方程的应用,一、压强与流速的关系,即流速小的地方压强大，流速大的地方压强小。,水平管中作稳定流动时,1、空吸作用,图2-5 空吸作用,A处和C处的横截面积远大于B处的横截面积。在A处加一个外力使管中流体由A向B 处流动。B处的流速必远大于A处和C处的流速，B处的压强小。若

6、增加流管中流体的流速，可以使B 处的流速增到很大，而使B处的压强很小，于是D容器中的流体因受大气压强的作用被压缩到B处，而被水平管中的流体带走。这种作用叫空吸作用。,2、流速计（皮托管）,分析：皮托管是粗细均匀的水平管，a是一根直管，b是一根直角弯管，直管下端的管口截面与流线平行（c处），弯管下端的管口截面与流线垂直（d处），在d处形成速度为零的滞流区。,比较图c、d两处的压强可得,由上式求得的速度就是管中各点的流速，对于该装置只求出c、d两点的高度差，即可求得流速,图2-6 流速计原理,图2-7是一种皮托管的简单装置,测量时放在待测流速的流体中，2处流速为零，形成滞流区，1孔的孔面平行于流线

7、，流速不为零,两处的压强差可从U形管中液面的高度差测得，即,由上式可得,图2-7 皮托管,3、流量计,图2-8 文特利管,如图所示，在变截面的水平管的下方，装有U形管，内装水银，测量水平管内的流速时，可将流量计串联于管道中，根据水银面的高度差，即可求出流量或流速。,粗、细两处各物理量见图所示，根据伯努力方程有,由连续性方程有,由图可知,由以上3式，解得流量为,二、流速和高度的关系（小孔流速）,图2-9 小孔流速,大容器下部有一小孔，小孔的面积比容器内液体自由表面的小很多，液体可视为理想流体，根据连续性方程，小孔处流出液体时，容器自由表面高度h下降非常缓慢，可近似为自由表面的速度为零。实际上，随

8、着液面的下降，小孔处的流速也会逐渐下降，严格说来，并不是稳定流动。但因小孔径极小，若观测时间很短，液面高度没有明显变化，仍然可以看作稳定流动,对于任一流线，由伯努利方程得,由上式得,结果表明，小孔处流速和物体自高度h处自由下落得到的速度是相同的。这一关系是意大利物理学理学家、数学家托里斥利（(E.Torricelli)首先发现的，又称为托里斥利定理。它反映了压强不变时，理想流体稳定流动过程中，流体重力势能与动能之间的转换关系。,实际上水柱自小孔流出时截面有所收缩，用有效截面S代替S，则有,图2-9 小孔流速,三、压强与高度的关系（体位对血压的影响）,如果流体在等截面管中流动，其流速不变，由伯努

9、力方程可得,高处压强小，低处压强大,解释体位对血压的影响,可见测血压要注意体位,大学物理,22,开普勒第二定律,已知： v，r 求： L=？,开普勒第二定律 单位时间内行星绕恒星扫过的面积相等,大学物理,23,开普勒第二定律,掠面速率,大学物理,24,刚体转动动能,第二章 流体的运动,所需状态参量：,稳定流体所满足的状态方程：,例2-2 一开口水槽中的水深为H，如图例2-2所示。在水面下h深处开一小孔。问：（1）射出的水流在地板上的射程S是多大?（2）在水槽的其他深度处，能否再开一小孔，其射出的水流有相同的射程？（3）小孔开在水面下的深度h多大时，射程最远？射程多长？,图 例2-2,解：（1）

10、,P1=P2=P0，h1=H，h2=H-h,解得：,从小孔射出来的水流作平抛运动，射到地面时间为,其射程为,（2）假设在另一个开一小孔，其离液面高度为h，按上述计算方法可求得其射程为,若有相同射程，即有s=s,解得,h=H-h,（3）要使s最大，只要求s的极大值即可,最大射程为,求得,2-4 粘性流体的流动,一、粘性流体的运动,1、层流和湍流 层流：粘性液体的分层流动，相邻两层之间只作相对滑动，流层间没有横向滑动，机械能不守恒，轴线上速度最大，管壁最小。,图2-11 粘性流体的流动,2-4 粘性流体的流动,一、粘性流体的运动,湍流：当液体在管中流速很大时，液体的流动不再保持分层流动状态，而变成

11、无规则的 运动，这时流体的流动有垂直管轴的分速度，而且还会出现涡流，整个流动显得杂乱 而不稳定,图2-11 粘性流体的流动,2、牛顿粘滞定律,牛顿粘滞定律,说明：,（1）dv/dy表示速度梯度，S表示层与层的接触面积，为流体的粘滞系数 （2）粘滞系数的物理意义：速度梯度为1时，单位面积上的粘滞阻力 （3）粘滞系数的单位：Pa.s （4）粘滞系数的大小由流体的性质和温度决定 （5）牛顿流体和非牛顿流体：遵守牛顿粘滞定律的流体为牛顿流体，如水和血浆；不遵守牛顿粘滞定律的流体为非牛顿流体，如血液,3、雷诺数,雷诺数Re,（1）Re 1000时，流体作层流,（2）Re 1500时，流体作湍流,（3）1

12、000 Re 1500时，流体流动不稳定,例2-3 主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、粘滞系数、密度分别为0.25m/s 、0.003Pa.s、1050kg/m3 ，求雷诺数并判断血液以何种形态流动。(Re=875),结论：液体的粘滞系数愈小、密度愈大，愈容易发生湍流，细管不容易发生湍流；而弯曲的管子容易发生湍流。,说明：,二、 粘性流体的运动规律,结论：要使粘性流体匀速流动，两端必须有压强差,图2-13 粘性流体在水平管中的压强分布,几条竖立直管的液面说明，粘性流体在水平管作稳定流动时，液体的压强是逐渐减少的，在这里伯努力方程不再适用，因为流动过程中动能和势能都没有改变，而压强逐渐减少

13、，这种现象只能用粘性流体在流动过程中要克服粘滞阻力作功来解释。,如果没有能量损失水平高度应该相等,1、泊肃叶公式,式中R是管子的半径，是流体的粘度，L是管子的长度。,粘性流体在等截面水平细管作稳定流动时，如果雷诺数不大，则流动的形态是层流。,泊肃叶公式：,说明：,图2-14 泊肃叶公式的推导,泊肃叶公式又可写成如下形式,值得注意的是，流阻与管半径的四次方成反比，半径的微小变化就会对流阻造成很大的影响。血管可以收缩和舒张，其半径变化对血液流量的影响是很显著的。,式中,其物理意义是：当粘性流体流过一个水平均匀细管时，体积流量与管子两端的压强差成正比，而与流阻成反比。,称为流阻,流阻的单位：,流阻的

14、串并联,例2-4 成年人主动脉的半径为1.3cm。问在一段0.2m距离内的流阻和压强降落是多少？设血流量为 ，,解：,可见与平均动脉压13.3kPa相比，主动脉的血压降落是微不足道的,第二章 流体的运动,流体的特征,第二章 流体的运动,表面张力,5 液体的表面性质,一 、 表面张力,假想在液体表面上画一条直线, 直线两旁的液膜之间一定存在相互作用的拉力, 拉力的方向与所画的直线垂直, 液体表面出现的这种张力,称为表面张力,表面张力的大小用表面张力系数 来描述,增加的液膜表面积,外力所作的功,增加液体单位表面积所作的功,第二章 流体的运动,毛细现象,浸润/不浸润,二 、弯曲液面下的附加压强,附加压强:由于表面张力的存在,致使液面内与液面 外有一压强差,此即附加压强.,小液块受到三部分力的作用的:,(3)小液块的重力(小得可忽略),(2)由附加压强引起的,通过底面作用于小液块上的压力,其中外部媒质(如气体)通过球形液面对液块的压力已包括在附加压强作用中了.,(1)通过小液块的边线作用于液块 上的大致向下的表面张力,单位长度液体表面的张力(大小为 ),液体内外压强差(附加压强),球形液面半径,小液块所受压力的垂直分量为:,小液块边线所具有的总的张力的向下的分量为:,两部分力是一对平衡力, 所以:,球形液面的拉普拉斯公式,三 、液面与固体接触处