计算方法 45 Newton cotes公式的精度

1、4.5,牛顿,-,柯特斯公式的精度,1,2020/4/5,4.5.1,截断误差,精度？,的程度，即求积公式的,求积公式近似到,?,b,a,dx,x,f,),(,),(,),(,),(,x,R,x,P,x,f,n,n,?,?,),(,)!,1,(,),(,),(,)!,1,(,),(,),(,),1,(,0,),1,(,x,n,f,x,x,n,f,x,R,n,n,i,i,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,Newton-cotes,公式的余项,的最小区间的一个点,为包含在,n,x,x,x,x,1,0,?,?,由多项式代替函数,),(,)!,1,(,),(,),)(,(,)!,

2、1,(,|,),(,|,1,1,0,1,x,n,M,x,x,x,x,x,x,n,M,x,R,n,n,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,上的最大值为,在,令,),(,),1,(,b,a,x,f,n,?,?,?,?,?,?,b,a,n,b,a,n,b,a,dx,x,R,dx,x,P,dx,x,f,),(,),(,),(,那么,dx,x,n,f,dx,x,R,f,R,n,b,a,b,a,n,),(,)!,1,(,),(,),(,),1,(,?,?,?,?,?,?,?,?,记,|,),(,|,max,),1,(,1,x,f,M,n,b,a,n,?,?,?,x,b,a,，并依赖于,

3、?,?,求积公式的余项,2020/4/5,2,?,?,?,?,b,a,n,dx,x,n,M,f,R,),(,)!,1,(,1,?,截断误差的上界估计,引进变换,th,a,x,?,?,，并注意到,ih,a,x,i,?,?,，有,hdt,h,i,t,n,f,f,R,n,n,i,n,n,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,0,),1,(,),(,)!,1,(,),(,?,dt,i,t,f,n,h,n,i,n,n,n,h,),(,),(,)!,1,(,0,0,),1,(,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,移项,合并,Newton-Cotes,求积公式的余项,2020/4/5,3,

4、定理,3,当,n,为偶数时，牛顿,-,柯特斯公式至少有,1,?,n,次代数精度,.,证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。,时，求积公式,即当,3,2,2,1,3,0,),(,a,x,a,x,a,x,a,x,f,?,?,?,?,仍精确成立。,),(,),2,(,4,),(,6,),(,),(,b,f,b,a,f,a,f,a,b,dx,x,f,b,a,?,?,?,?,?,?,4,2020/4/5,),(,),(,3,0,x,g,x,a,x,f,?,?,令,:,),(,),(,，辛普森公式是精确的,于,是二次多项式，因此对,由于,x,g,x,g,),(,),2,(,4,),(,6,),(,),(

5、,b,g,b,a,g,a,g,a,b,dx,x,g,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,b,a,b,a,dx,x,g,dx,x,a,dx,x,f,),(,),(,3,0,于是,5,2020/4/5,3,2,2,1,3,0,),(,a,x,a,x,a,x,a,x,f,?,?,?,?,分析,),(,4,1,4,),(,),2,(,4,6,),(,4,4,2,2,2,2,3,3,3,a,b,a,b,a,b,b,b,a,a,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,通过计算得到,6,2020/4/5,),2,(,4,6,),(,3,3,3,3,b,b,a,a,a,b,dx,x

6、,b,a,?,?,?,?,?,?,所以,由于,),(,4,1,4,1,4,4,4,3,a,b,x,dx,x,b,a,b,a,?,?,?,?,),(,6,1,),2,(,6,4,),(,6,1,),(,),(,6,1,),2,(,6,4,),(,6,1,),(,6,1,),2,(,6,4,6,1,),(,),(,),(,3,3,3,0,3,0,b,f,b,a,f,a,f,a,b,b,g,b,a,g,a,g,a,b,b,b,a,a,a,b,a,dx,x,g,dx,x,a,dx,x,f,b,a,b,a,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,7,202

7、0/4/5,于是,因此，辛普森公式的代数精度是,3,。,8,2020/4/5,4.5.2,Newton-Cotes,求积公式的截断误差分析,a,b,h,n,?,?,?,1,?,?,?,?,?,?,1,0,3,),1,(,),(,2,),(,dt,t,t,f,a,b,f,R,?,1.,梯形公式,dt,i,t,f,n,h,f,R,n,i,n,n,n,),(,),(,)!,1,(,0,0,),1,(,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,9,2020/4/5,),(,12,),1,(,),(,2,),(,3,1,0,3,b,a,f,h,dt,t,t,f,a,b,f,R,?,?,?,?,?,?,?,

8、?,?,?,?,?,?,?,，使得,存在,定理，必,内不变号，由积分中值,在区间,上连续以及,在,由于,且依赖于,其中,1,0,),1,(,),(,b,a,t,t,t,b,a,f,t,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,成立,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,0,1,0,),1,(,),(,),1,(,),(,dt,t,t,f,dt,t,t,f,?,?,则,即为梯形公式的截断误差估计,10,2020/4/5,2,?,n,2.,辛普森公式,dt,t,t,t,f,h,dx,b,x,b,a,x,a,x,f,f,R,b,a,),2,)(,1,(,),(,!,3,),)(,2,)(,(

9、,),(,!,3,1,2,0,),3,(,4,),3,(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,直接用公式求解,因为,t(t-1)(t-2),在区间,0,2,上不保持常号，所以中值,定理不能使用，因此需要,换一种方法,求解。,11,2020/4/5,),(,),2,)(,(,!,4,),(,),(,),(,2,),4,(,3,b,x,b,a,x,a,x,f,x,P,x,f,?,?,?,?,?,?,?,),2,(,),2,(,),2,(,),2,(,),(,),(,),(,),(,3,3,3,3,b,a,f,b,a,P,b,a,f,b,a,P,b,f,b,P,a,f,a,P,?,?,?

10、,?,?,?,?,?,?,?,b,a,?,?,由于辛普森公式对,3,次代数多项式精确，故可取插值条件,形成,f(x),的三次,Hermite,插值多项式,P,3,(x),，则有,12,2020/4/5,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,b,a,b,a,dx,b,x,b,a,x,a,x,f,dx,x,P,dx,x,f,f,R,),(,),2,)(,(,!,4,),(,),(,),(,2,),4,(,3,?,),(,90,),(,2880,),(,),(,),2,)(,(,!,4,),(,),4,(,5,2,),4,(,5,2,),4,(,?,?,?,f,h,f,a,b,dx,b,x

11、,b,a,x,a,x,f,f,R,a,b,h,b,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,令,理，可得,上连续，由积分中值定,在,于是当,，,时，,显然，当,),(,0,),(,),2,)(,(,),4,(,2,b,a,x,f,b,x,b,a,x,a,x,b,a,x,?,?,?,?,?,?,即为,Simpson,公式的截断误差估计,b,a,?,?,13,2020/4/5,),(,12,),(,),(,),(,12,1,1,3,2,1,3,k,k,k,n,k,k,n,N,x,x,f,h,f,f,f,h,f,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?

12、,?,?,?,?,?,?,?,3.,复合梯形公式,梯形公式的截断误差为,),(,12,),(,2,),(,3,3,?,?,f,h,f,a,b,f,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,对复合梯形公式，将上式应用于每个小区间，得,14,2020/4/5,),(,12,),(,),(,12,2,3,?,?,f,h,a,b,f,n,h,f,R,N,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，使,中存在一点,连续，则在,由于,?,),(,b,a,x,f,?,?,),(,),(,),(,1,),(,2,1,n,f,f,f,n,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,故,)

13、,(,),(,1,?,?,f,n,f,n,k,k,?,?,?,?,?,?,即,即为复合梯形公式的截断误差估计,15,2020/4/5,),(,90,),(,),(,),(,90,1,1,),4,(,5,),4,(,2,),4,(,1,),4,(,5,k,k,k,m,k,k,m,N,x,x,f,h,f,f,f,h,f,R,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,4.,复合辛普森公式,辛普森公式的截断误差为,),(,90,),(,2880,),(,),4,(,5,2,),4,(,5,?,?,f,h,f,a,b,f,R,a,b,h,?,?,?,?,?,?,?,令,对复合辛

14、普森公式，将上式应用于每个小区间，得,16,2020/4/5,?,?,?,?,m,k,k,f,m,f,b,a,1,),4,(,),4,(,),(,1,),(,?,?,?,，使,同理可找到一个,b,a,?,?,),(,),(,),4,(,1,),4,(,?,?,f,m,f,m,k,k,?,?,?,?,则,),(,2880,),(,),(,90,),4,(,4,5,2,),4,(,5,?,?,f,m,a,b,mf,h,f,R,m,a,b,h,N,?,?,?,?,?,?,?,?,令,即为复合辛普森公式的截断误差估计,17,2020/4/5,5.,复合柯特斯公式,柯特斯公式用的不多，只给出,Rf,的形

15、式,n,a,b,h,b,a,f,h,a,b,f,R,?,?,?,?,?,?,?,),(,),4,(,945,),(,2,),6,(,6,?,?,4,),(,945,8,),6,(,7,a,b,h,b,a,f,h,f,R,?,?,?,?,?,?,?,?,（,1,）柯特斯公式的截断误差,（,2,）复合柯特斯公式的截断误差,n,:,分割的（大）区间数,0,x,4,x,1,个子区间,a,b,n,x,4,共,n,个区间,4n+1,个节点,4n,个小区间,18,2020/4/5,4.5.3,事后估计误差的近似方法,估计误差的近似方法。,实际计算中都采用事后,。所以一般,上界，但有时却很困难,方法来估计截断

16、误差的,一个上界的,以通过给出高阶导数的,并不知道，虽然有时可,的值,，且,见，均要计算高阶导数,从以上的误差估计式可,?,度。,次计算值来判断计算精,逐次分半，比较连续两,将被积区间,的思路：计算积分时，,事后估计误差近似方法,19,2020/4/5,（,1,）对复合辛普森公式，假定,a,b,分成,n,个子区间,),(,),2,(,2880,),(,2,),4,(,4,2,?,f,n,a,b,a,b,S,I,N,?,?,?,?,),(,),(,2880,),(,1,),4,(,4,?,f,n,a,b,a,b,S,I,N,?,?,?,?,2n+1,个节点,2n,个小区间,b,a,1,2,?,n

17、,x,0,x,1,x,第,1,个子区间,n,x,2,2,x,1,?,k,x,k,x,2,?,k,x,2,2,?,n,x,第,n,个子区间,（,2,）假定,a,b,分成,2n,个子区间,b,a,1,4,?,n,x,0,x,1,x,第,1,个子区间,n,x,4,2,x,2,4,?,n,x,第,2n,个子区间,I,S,N,，其真实值记为,近似值为,由积分公式算出的积分,共,4n+1,个节点,4n,个小区间,4n,个子区间,N,S,2,得积分近似值为,）,（,于,的近似值，其误差近似,作为,此式说明，以,N,N,N,S,S,I,S,2,2,15,1,20,2020/4/5,),(,15,1,15,15

18、,16,15,16,16,),(,16,1,16,),2,1,(,),1,(,2,2,2,2,2,2,2,4,4,2,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,N,S,S,S,I,S,S,S,I,S,S,I,S,I,S,I,S,I,S,I,n,n,S,I,S,I,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，则,上变化不大，且设,在,设,),(,),(,),(,2,),4,(,1,),4,(,),4,(,?,?,f,f,b,a,x,f,?,若成立，则结束计算，认为,S,2N,为所求值,是否成立,）,（,即看,求，,来判定是否满足精度要,

19、小于给定精度,）是否,（,可以根据当前误差,所以，在计算过程中，,?,?,?,N,N,N,N,S,S,S,S,2,2,15,1,15,1,21,2020/4/5,?,?,?,）,（,判断,N,N,T,T,2,3,1,?,?,?,）,（,判断,N,N,C,C,2,63,1,若不成立，可将,a,b,继续对分下去,同理,对复合梯形公式,对复合柯特斯公式,复合辛普森公式最常用,和节点个数。,，试确定所需的步长,误差不超过,时要求,积分,应用复合梯形公式计算,例,h,dx,e,I,x,6,1,0,10,6,.,1,2,?,?,?,?,22,2020/4/5,?,?,12,),0,(,),1,(,),0,

20、(,max,),(,max,1,0,),(,1,0,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,f,f,f,x,f,x,f,x,上为单调函数，因此,在,由于复合梯形公式的截断误差为,1,0,),(,12,),(,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,f,h,a,b,f,R,N,，,，则,令,解,2,2,12,),(,6,),(,x,x,xe,x,f,e,x,f,?,?,?,?,?,0,),2,3,(,24,),(,),1,2,(,12,),(,2,2,2,2,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,x,xe,x,f,x,e,x,f,x,x,3,6,2,6,2,6,1,0,2,6,1,0,2,10,10,10,12,12,),0,1,(,10,),(,max,12,),(,10,),(,),(,max,12