第十章计数原理概率随机变量及其分布10 6

1、进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,必考部分,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,必考部分,第十章,第十章,计数原理、概率、随机变量及其分布,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,第六节,几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,课堂实效,检测,课,时,作,业,主干知识,整合,热点命题,突破,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,主干知识整合,01,要点梳理,追根求源,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,1,定义：,如果每个事件发生的概率只与构成该事件区,域的,(,或,),成比例，,则称这样的概率模型,为几

2、何概率模型，简称为,长度,几何概型,面积,体积,几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,2,几何概型的特点,(1),无限性：试验中所有可能出现的结果,(,基本事件,),有,个,(2),等可能性：每个基本事件出现的可能性,无限多,相等,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,几何概型和古典概型有什么区别？,提示：,几何概型和古典概型中基本事件发生的可能性都,是相等的，,但古典概型的基本事件有有限个，,而几何概型的,基本事件则有无限个,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,1,判一判,(1),在一个正方形区域内任取一点的概率是零,(,),

3、(2),几何概型中，,每一个基本事件就是从某个特定的几何,区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相,等,(,),(3),在几何概型定义中的区域可以是线段、,平面图形、,立,体图形,(,),(4),随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率,(,),答案：,(1),(2),(3),(4),第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,P,(,A,),构成事件,A,的区域长度,?,面积或体积,?,试验的全部结果所构成的区域长度,?,面积或体积,?,.,几何概型的概率公式,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,2,某路公共汽车每,5,分钟发车一次，,某乘客到乘车点,

4、的时刻是随机的，则他候车时间不超过,2,分钟的概率是,(,),A.,3,5,B.,4,5,C.,2,5,D.,1,5,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,试验的全部结果构成的区域长度为,5,，所求事件,的区域长度为,2,，故所求概率为,P,2,5,.,答案：,C,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,3,分别以正方形,ABCD,的四条边为直径画半圆，重叠,部分如图中阴影区域所示，,若向该正方形内随机投一点，,则,该点落在阴影区域的概率为,(,),第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,A.,4,2,B.,2,2,C.,4,4,D.,

5、2,4,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,设正方形边长为,2,，阴影区域的面积的一半等于,半径为,1,的圆减去圆内接正方形的面积，即为,2,，则阴,影区域的面积为,2,4,，所以所求概率为,P,2,4,4,2,2,.,答案：,B,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,4,有一杯,2,升的水，其中含一个细菌，用一个小杯从,水,中,取,0.1,升水，则此小杯中含有这个细菌的概率是,_,解析：,试验的全部结果构成的区域体积为,2,升，所求事,件的区域体积为,0.1,升，故,P,0.05.,答案：,0.05,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,

6、数学,理,1,对于几何概型的概率公式中的,“,测度,”,要有正确的,认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，,要掌握,“,测度,”,为长度、面积、体积、角度等常见的几何概,型的求解方法,2,对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系,将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(1),一般地，一个连续变量可建立与长度有关的几何概,型，只需把这个变量放在坐标轴上即可；,(2),若一个随机事件需要用两个变量来描述，,则可用这两,个变量的有序实数对来表示它的基本事件，,然后利用平面直,角坐标系就能顺利地建立与面积有关的几何概型；

7、,(3),若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，,则可用,这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，,利用空间直角,坐标系建立与体积有关的几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,热点命题,突破,02,考点突破,解码命题,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【例,1,】,(1),在区间,2,4,上随机地取一个数,x,，若,x,满足,|,x,|,m,的概率为,5,6,，则,m,_.,与长度、角度有关的几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(2),如图，在,ABC,中，,B,60,，,C,45,，高,AD,3,，,在,BAC,

8、内作射线,AM,交,BC,于点,M,，,则,BM,1,的概率,为,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【解析】,(1),由题意知,m,0,，,当,m,2,时，满足,|,x,|,m,的概率为,m,?,m,?,4,?,2,?,2,m,6,5,6,，,解得,m,5,2,(,舍去,),当,2,m,4,时，所求概率为,m,2,6,5,6,，,m,3.,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(2),B,60,，,C,45,，,BAC,75,，,在,Rt,ADB,中，,AD,3,，,B,60,，,BD,AD,tan60,1,，,BAD,30,.,记事件,N,为,“,

9、在,BAC,内作射线,AM,交,BC,于点,M,，,使,BM,1,”,，则可得,BAM,BAD,时事件,N,发生,由几何概型的概率公式得,P,(,N,),30,75,2,5,.,【答案】,(1)3,(2),2,5,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解答几何概型问题的关键在于弄清题中,的考察对象和对象的活动范围,当考察对象为点，,点的活动,范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，,一般用角度比计算，,即当半径一定时，,由于弧长之比等于其,所对应的圆心角的度数之比，,所以角度之比实际上是所对的,弧长,(,曲线长,),之比,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教

10、版,数学,理,(1),设,P,在,0,5,上随机地取值，则关于,x,的方程,x,2,px,1,0,有实数根的概率为,(,),A.,1,5,B.,2,5,C.,3,5,D.,4,5,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(2),如图，,四边形,ABCD,为矩形，,AB,3,，,BC,1,，,以,A,为圆心，,1,为半径作四分之一个圆弧,DE,，在,DAB,内任作,射线,AP,，,则射线,AP,与线段,BC,有公共点的概率为,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,(1),方程有实根，,则,p,2,4,0,，,解得,p,2,或,p,2(,舍去,),所以

11、所求概率为,5,2,5,0,3,5,.,(2),因为在,DAB,内任作射线,AP,，则等可能基本事件为,“,DAB,内作射线,AP,”,，所以它的所有等可能事件所在的,区域,H,是,DAB,，当射线,AP,与线段,BC,有公共点时，射线,AP,落在,CAB,内，区域,h,为,CAB,，所以射线,AP,与线段,BC,有公共点的概率为,CAB,DAB,30,90,1,3,.,答案：,(1)C,(2),1,3,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【例,2,】,(2014,湖北卷,),由不等式组,?,?,?,?,?,x,0,，,y,0,，,y,x,2,0,确定的平面区域记为,1,，

12、,不等式组,?,?,?,?,?,x,y,1,，,x,y,2,确定的平,面区域记为,2,，在,1,中随机取一点，则该点恰好在,2,内的概率为,(,),A.,1,8,B.,1,4,C.,3,4,D.,7,8,与面积有关的几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【解析】,如图，由题意知平面区域,1,的面积,S,1,S,AOM,1,2,2,2,2.,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,1,与,2,的公共区域为阴影部分，,面积,S,阴,S,1,S,ABC,2,1,2,1,1,2,7,4,.,由几何概型得该点恰好落在,2,内的概率,P,S,阴,S,1,7,4,

13、2,7,8,.,故选,D.,【答案】,D,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,求解与面积有关的几何概型的注意点,求解与面积有关的几何概型时，,关键是弄清某事件对应,的面积，以求概率，必要时可根据题意构造两个变量，把变,量看成点的坐标，,找到试验全部结果构成的平面图形，,以便,求解,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(1),已知一个三角形的三边长分别是,5,5,6,，一只蚂蚁在,其内部爬行，,若不考虑蚂蚁的大小，,则某时刻该蚂蚁距离三,角形的三个顶点的距离均超过,2,的概率是,(,),A,2,3,B,1,6,C,2,2,D,1,12,第十章,第六节,进入

14、导航,高三总复习,人教版,数学,理,(2),已知平面区域,U,(,x,，,y,)|,x,y,6,，,x,0,，,y,0,，,A,(,x,，,y,)|,x,4,，,y,0,，,x,2,y,0,，若向区域,U,内随机投一,点,P,，则点,P,落入区域,A,的概率为,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,(1),如图，,当蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均,超过,2,时，,蚂蚁要在图中的空白区域内，,ABC,为等腰三角,形，假设,AB,AC,5,，易知,AD,4,，,ABC,的面积是,12,，,由于三角形内角和等于,，图中的三个扇形的面积之和等于,一个半径为,2,的圆的面

15、积的一半，,即三个扇形的面积之和等,于,2,，,故空白区域的面积是,12,2,，,所求的概率为,12,2,12,1,6,.,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,(2),依题意可在平面直角坐标系中作出集合,U,与,A,所表,示的平面区域,(,如图,),，由图可知,S,U,18,，,S,A,4,，则点,P,落,入区域,A,的概率为,P,S,A,S,U,2,9,.,答案：,(1)B,(2),2,9,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【例,3,】,一只蜜蜂在一个棱长为,30,的正方体玻璃,容器内随机飞行若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方,体玻璃容器的,6,个表面

16、的距离均大于,10,，则飞行是安全,的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一个位置的,可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率为,(,),A.,1,8,B.,1,16,C.,1,27,D.,3,8,与体积有关的几何概型,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,计算出蜜蜂的安全飞行空间，再求概率,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【解析】,由题意，可知当蜜蜂在棱长为,10,的正方体,区域内飞行时才是安全的，所以由几何概型的概率计算公,式，知蜜蜂飞行是安全的概率为,10,3,30,3,1,27,.,【答案】,C,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,

17、理,对于以体积为度量的几何概型，,要根据空,间几何体的体积计算方法，,把概率计算转化为空间几何体的,体积计算,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,在棱长为,2,的正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,中，,点,O,为底面,ABCD,的中心，,在正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,内随机取一点,P,，,则点,P,到点,O,的距离大于,1,的概率为,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,记,“,点,P,到点,O,的距离大于,1,”,为事件,A,，则事,件,A,发生时，点,P,位于以,O,为球心，以,1,为半径的半球外,又,

18、V,正方体,ABCD,A,1,B,1,C,1,D,1,2,3,8,，,V,半球,1,2,4,3,1,3,2,3,.,所求事件概率,P,(,A,),8,2,3,8,1,12,.,答案：,1,12,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,热点微专题之应用创新系列,(,十,),几何概型与定积分的交汇,1,几何概型常常与构成该事件区域的长度、面积、体,积或角度等有关，,在高考中经常涉及面积区域的问题，,而面,积的解决又与定积分有关因此，高考命题常常在此交汇,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,2,面积问题常常涉及一些与定积分有关的问题，应用,时一定要注意几何图形的分

19、割及所对应的函数式，,注意定积,分的上、下限等,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【典例】,(2014,辽宁卷,),正方形的四个顶点,A,(,1,，,1),，,B,(1,，,1),，,C,(1,1),，,D,(,1,1),分别在抛物线,y,x,2,和,y,x,2,上，,如图所示，,若将一个质点随机投入正方形,ABCD,中，,则质点落在图中阴影区域的概率是,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,【规范解答】,由题意可知空白区域的面积为,?,?,1,1,x,2,(,x,2,)d,x,2,3,x,31,1,4,3,.,又正方形的面积为,4,，阴影部分的,面

20、积为,4,4,3,8,3,，所求概率为,8,3,4,2,3,.,【规范解答】,2,3,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,名师点评,1.,本题有以下创新点：,(1),考查方式的创新：,由常规方式转换为以定积分为载体,考查几何概型的计算；,(2),考查内容的创新：,本题将几何概型与定积分求面积完,美结合起来，角度独特，形式新颖，又不失综合性,2,解决本题的关键点,解决本题的关键是利用定积分求出阴影部分的面积，,再,利用几何概型概率公式求解,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,1,如图，已知抛物线,y,x,2,1,的顶点为,A,，与,x,轴,正半轴的交点为,

21、B,，,设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域,为,M,，随机往,M,内投一点,P,，则点,P,落在,AOB,内的概率,是,(,),第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,A.,5,6,B.,4,5,C.,3,4,D.,2,3,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,设抛物线,y,x,2,1,与,x,轴正半轴及,y,轴的正半,轴所围成的区域的面积为,S,，,则,S,?,?,?,?,0,1,(,x,2,1)d,x,?,?,?,?,?,?,1,3,x,3,x,?,?,?,?,1,0,2,3,，,S,AOB,1,2,1,1,1,2,，故点,P,落在,AOB,内的概

22、率,是,S,AOB,S,3,4,.,答案：,C,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,2.(2014,福建卷,),如下图，在边长为,e(e,为自然对数的底,数,),的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率,为,_,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,根据题意,y,e,x,与,y,ln,x,互为反函数，图象关于,y,x,对称，所以两个阴影部分的面积相等联立,y,e,与,y,e,x,得,x,1,，所以阴影部分的面积,S,2,?,?,?,?,0,1,(e,e,x,)d,x,2(e,x,e,x,),?,?,?,?,1,0,2(e,e),(0,1),

23、2,，由几何概型可知所求概率为,2,e,2,.,故答案为,2,e,2,.,答案：,2,e,2,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,课堂实效,检测,03,当堂检验,小试牛刀,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,1,“抖空竹”是中国的传统杂技，表演者在两根直径,约,8,12,毫米的杆上系一根长度为,1 m,的绳子，,并在绳子上,放一空竹，则空竹与两端距离都大于,0.2 m,的概率为,(,),A.,1,2,B.,3,5,C.,2,5,D.,2,3,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,与两端都大于,0.2 m,即空竹的运行范围为,(1

24、,0.2,0.2) m,0.6 m,，记,“,空竹与两端距离都大于,0.2 m,”,为事,件,A,，则所求概率满足几何概型，即,P,(,A,),1,0.2,0.2,1,3,5,.,答案：,B,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,2,如图，矩形长为,6,，宽为,4,，在矩形内随机地撒,300,颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为,96,，则以此实验数据,为依据可以估算出椭圆的面积约为,(,),A,7.68,B,16.32,C,17.32,D,8.68,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,根据几何概型的概率公式得黄豆落在椭圆内的概,率,P,S,椭圆,S,

25、矩形,，而,P,300,96,300,0.68,，,S,矩形,24,，,故,S,椭圆,P,S,矩形,0.68,24,16.32.,答案：,B,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,3,已知点,A,在坐标原点，,点,B,在直线,y,1,上，,点,C,(3,4),，,若,AB,10,，则,ABC,的面积大于,5,的概率是,(,),A.,19,24,B.,1,3,C.,5,24,D.,5,27,第十章,第六节,进入导航,高三总复习,人教版,数学,理,解析：,设,B,(,x,1),，根据题意知点,D,(,3,4,，,1),，,若,ABC,的面积小于或等于,5,，则,1,2,DB,4,5,，即,DB,5,2,