2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程练习 理

1、2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程练习 理2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 曲线与方程练习 理基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.(2021石家庄质检)已知命题“曲线C 上的点的坐标是方程f (x ，y )0的解”是正确的，给出下列命题：满足方程f (x ，y )0的点都在曲线C 上；方程f (x ，y )0是曲线C 的方程；方程f (x ，y )0所表示的曲线不一定是C .则上述命题中正确的序号是_.解析 曲线C 可能只是方程f (x ，y )0所表示的曲线上的某一小段，因此只有正确. 答案 2.已知点A (1，0)，直

2、线l ：y 2x 4，点R 是直线l 上的一点，若RA AP ，则点P 的轨迹方程为_.解析 设P (x ，y )，R (x 1，y 1)，由RA AP 知，点A 是线段RP 的中点，?x x121， y y 120，即?x 12x ，y 1y .点R (x 1，y 1)在直线y 2x 4上， y 12x 14，y 2(2x )4，即y 2x . 答案 y 2x3.动点P (x ，y )到定点A (3，4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为_.解析 由题意知动点P 满足|PA |y |1，即（x 3）2（y 4）2|y |1，当y 0时，整理得x 26x 10y

3、240；当y 0时，整理得x 26x 6y 240，变形为(x 3)2156y ，此方程无轨迹. 答案 x 26x 10y 240(y 0)4.已知两定点A (2，0)，B (1，0)，如果动点P 满足PA 2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积为_.解析 设P (x ，y )，由PA PB ， 得（x 2）2y 22（x 1）2y 2， 3x 23y 212x 0，即x 2y 24x 0. P 的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆.即轨迹所包围的面积等于4. 答案 45.已知点F (0，1)，直线l ：y 1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF F

4、P FQ ，则动点P 的轨迹C 的方程为_. 解析 设点P (x ，y )，则Q (x ，1). 因为QP QF FP FQ ，所以(0，y 1)(x ，2)(x ，y 1)(x ，2)， 即2(y 1)x 22(y 1)，整理得x 24y . 答案 x 24y6.设点A 为圆(x 1)2y 21上的动点，PA 是圆的切线，且PA 1，则P 点的轨迹方程是_.解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1，0)，连接MA ，则MA PA ，且MA 1，又PA 1，PM MA 2PA 22， 即PM 22，(x 1)2y 22. 答案 (x 1)2y 227.在ABC 中，|BC |4，ABC

5、 的内切圆切BC 于D 点，且|BD |CD |22，则顶点A 的轨迹方程为_.解析 以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的坐标系，E 、F 分别为两个切点.则BE BD ，CD CF ，AE AF . AB AC 22BC 4，点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y 0)且a 2，c 2，b 2， 轨迹方程为x 22y 221(x 2).答案x 22y 221(x 2) 8.(2021南京模拟)P 是椭圆x 2a 2y 2b21(a b 0)上的任意一点，F 1，F 2 是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ PF 1PF 2，则动点Q 的轨迹方程是_. 解析 由于OQ

6、PF 1PF 2，又PF 1PF 2PM 2PO 2OP ，设Q (x ，y )，则OP 12OQ (x 2，y 2)，即P 点坐标为(x 2，y2)，又P 在椭圆上，则有（x2）2a 2（y2）2b21上， 即x 24a 2y 24b21. 答案 x 24a 2y 24b21二、解答题9.已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 24，动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解 如图所示，以O 1O 2的中点O 为原点，O 1O 2所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.由O 1O 24，得O 1(2，0)

7、、O 2(2，0).设动圆M 的半径为r ，则由动圆M 与圆O 1内切，有MO 1r 1；由动圆M 与圆O 2外切，有MO 2r 2. MO 2MO 13.点M 的轨迹是以O 1、O 2为焦点， 实轴长为3的双曲线的左支. a 32，c 2，b 2c 2a 274.点M 的轨迹方程为4x 29 4y 271(x 32).10.(2021烟台模拟)已知点C (1，0)，点A ，B 是O ：x 2y 29上任意两个不同的点，且满足AC BC 0，设P 为弦AB 的中点. (1)求点P 的轨迹T 的方程；(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x 1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求

8、出这样的点的坐标；若不存在，说明理由. 解 (1)连接CP ，OP ，由AC BC 0，知AC BC ， CP AP BP 12AB ，由垂径定理知OP 2AP 2OA 2，即OP 2CP 29，设点P (x ，y )，有(x 2y 2)(x 1)2y 29，化简，得x 2x y 24.(2)存在.根据抛物线的定义，到直线x 1的距离等于到点C (1，0)的距离的点都在抛物线y 22px (p 0)上，其中p21.p 2，故抛物线方程为y 24x ，由方程组?y 24x ，x 2x y 24得x 23x 40， 解得x 11，x 24，由x 0， 故取x 1，此时y 2.故满足条件的点存在，其

9、坐标为(1，2)和(1，2).能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.(2021合肥模拟)动点P 在直线x 1上运动，O 为坐标原点.以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是_.解析 设Q (x ，y )，P (1，y 0)，由题意知OP OQ ， 且OP OQ 0，?x 2y 21y 20， x y 0y 0， y 0x y 代入得x 2y 21? ?x y 2，化简即y 21，y 1，表示两条平行直线. 答案 两条平行直线12.(2021苏、锡、常、镇调研)坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P

10、的轨迹可能是：椭圆；双曲线；抛物线；圆；直线.试将正确的序号填在横线上：_. 解析 设A (a ，0)，B (a ，0)，P (x ，y )， 则yx a yx am ，即y 2m (x 2a 2).当m 1时，为圆；当m 0时，为双曲线；当m 0且m 1时为椭圆；当m 0时，为直线.故选. 答案 13.(2021天津津南一模)平面直角坐标系中，已知两点A (3，1)，B (1，3)，若点C 满足OC 1OA 2OB (O 为原点)，其中1，2R ，且121，则点C 的轨迹是_.解析 设C (x ，y )，因为OC 1OA 2OB ，所以(x ，y )1(3，1)2(1，3)，即?x 312，

11、y 132， 解得?1 y 3x10，23y x 10，又121，所以y 3x 103y x101，即x 2y 5 ，所以点C 的轨迹为直线. 答案 直线14.(2021广东卷)已知椭圆C ：x 2a 2y 2b 21(a b 0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.解 (1)由题意知c 5，又ca 53， a 3，b 2a 2c 24， 椭圆C 的标准方程为x 29y 241.(2)设两切线为l 1，l 2，当l 1x 轴或l 1x 轴时，对应l 2x 轴或l 2x 轴，可知P (3，2)；当l 1与x 轴不垂直且不平行时，x 03，设l 1的斜率为k ，则k 0，l 2的斜率为1k，l 1的方程为y y 0k (x x 0)，联立x 29y 241，消去y 整理，得(9k 24)x 218(y 0kx 0)kx9(y 0kx 0)2360，因为直线与椭圆相切，所以0，得9(y 0kx 0)2k 2(9k 24)(y 0kx 0)240， 36k 24(y 0kx 0)240， (x 209)k 22x 0y 0k y 2040，