111反常积分概念

1、,11.1,反常积分概念,积分区间,无限,被积函数,无界,?,?,?,反常积分,有限,有界,积分区间,被积函数,?,?,?,定积分,一、无穷限的反常积分,要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初,速度,v,0,至少要多大？,引例,1,(,第二宇宙速度）在地球表面垂直发射火箭,地球半径,其中重力加速度,/,81,.,9,(,2,s,m,g,?,.),10,371,.,6,6,m,R,?,?,定义,1,、,),),(,记,上可积,的任何闭子区间,在,设函数,b,a,a,x,f,?,),(,lim,),(,?,?,?,?,?,?,?,b,a,b,a,dx,x,f,dx,x,f,),),(,),(,?

2、,?,?,?,a,x,f,dx,x,f,a,在无穷区间,为,称,上的,反常积分。,.,),(,?,?,?,?,a,dx,x,f,J,?,?,?,?,b,a,b,J,dx,x,f,),(,lim,记作,的值,为反常积分,并称极限,),(,?,?,?,a,dx,x,f,J,?,?,?,a,dx,x,f,),(,否则称反常积分,发散,.,收敛，,?,?,?,a,dx,x,f,),(,则称反常积分,定义,2,、,),),(,若存在极限,上可积,的任何闭子区间,在,设函数,b,a,a,x,f,?,x,.,),(,lim,),(,?,?,?,?,?,?,?,b,a,b,a,dx,x,f,dx,x,f,x,

3、类似地，我们定义：,?,?,?,?,?,?,?,b,a,a,b,dx,x,f,dx,x,f,),(,lim,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,c,c,dx,x,f,dx,x,f,dx,x,f,),(,),(,),(,.,),(,lim,),(,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,A,A,A,dx,x,f,dx,x,f,注：,收敛,收敛,?,收敛,?,类似地，我们定义：,例,1,、,.,1,1,的敛散性,讨论反常积分,dx,x,p,?,?,?,?,?,?,?,?,?,a,a,x,F,dx,x,f,),(,),(,注：,无穷限积分的,N-L,公式,例,2,、讨论下列反

4、常积分的敛散性。,;,),(ln,1,),1,(,dx,x,x,e,p,?,?,?,;,1,2,2,1,),2,(,2,dx,x,x,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,1,2,.,),1,(,1,),3,(,dx,x,x,二、无界函数的反常积分,的,为函数,则称点,若,),(,),(,lim,x,f,b,x,f,b,x,?,?,?,?,瑕点,.,的,为函数,则称点,若,),(,),(,lim,x,f,a,x,f,a,x,?,?,?,?,瑕点,.,a,b,.,0,?,a,1,),(,x,x,f,?,如：,在,定义,3,、,上,的任一闭子区间,在,设,(,),(,b,a,b,a,x,f,

5、?,?,?,b,a,dx,x,f,x,f,a,为,称,的瑕点,是,可积,),(,.,),(,无界函数,),(,x,f,(,b,a,上的,反常积分,.,如：,.,1,1,0,dx,x,?,a,b,面积,=,？,定义,4,、,若存在极限,的瑕点,是,积,可,的任一闭子区间,在,设,.,),(,(,),(,x,f,a,b,a,b,a,x,f,?,?,?,?,?,?,?,b,a,I,dx,x,f,?,?,),(,lim,0,则称反常积分,?,b,a,dx,x,f,),(,收敛,。,?,?,b,a,dx,x,f,I,.,),(,记作,的值,为反常积分,并称,),(,?,b,a,dx,x,f,I,?,?,

6、?,?,?,?,b,a,b,a,dx,x,f,dx,x,f,?,?,.,),(,lim,),(,0,类似地，,?,?,?,?,?,?,?,?,b,a,b,a,dx,x,f,dx,x,f,;,),(,lim,),(,0,(1),为瑕点的反常积分,以,b,?,?,?,?,?,b,a,c,a,b,c,dx,x,f,dx,x,f,dx,x,f,;,),(,),(,),(,),),(,(,(2),b,a,c,c,?,其中,为瑕点的反常积分,以,收敛,收敛,?,收敛,?,),3,(,为瑕点的反常积分,以,b,a,?,?,?,?,?,b,a,c,a,b,c,dx,x,f,dx,x,f,dx,x,f,;,),(,),(,),(,a,b,c,?,b,c,?,c,a,收敛,收敛,?,收敛,?,例,3,、,求下列反常积分。,.,ln,(2),;,1,1,),1,(,1,0,1,0,2,?,?,?,xdx,dx,x,例,4,、,的敛散性,讨论反常积分,1,1,0,dx,x,q,?,).,0,(,?,q,例,5,、,.,1,