中考数学专题复习专题三新定义探究测试题

1、专题三新定义探究一、基本运算新定义1. （2013?河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有 a b=a（a b） +1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：25=2（ 2 5） +1=2（ 3） +1= 6+1=（ 1）求（ 2） 3 的值；（ 2）若 3 x 的值小于 13，求 x 的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来解：（ 1） a b=a（a b） +1，（ 2） 3= 2（ 2 3）+1=10+1=11；（ 2） 3x 13， 3（ 3x） +1 13， 9 3x+1 13， 3x 3，x 1在数轴上表示如下：2.（1） 23 ( 2+3)(2 3)+23 ( 2+3)

2、1 ( 5)+ 23 1 5+6 1（2）因为 a b ( a+b)( a b)+2 b( a+b)= a 2 b 2 +2 ab +2 b2 =ab 2 ；b ab ab a)+2a b+ab2222(+ )()= a+2 ab +2 a =a b所以 a b ba二、几何图形新定义1（2015?台州）定义：如图1，点 m，n 把线段 ab 分割成 am， mn和 bn，若以 am， mn， bn为边的三角形是一个直角三角形，则称点m，n 是线段 ab的勾股分割点（ 1）已知点 m， n 是线段 ab的勾股分割点，若 am=2， mn=3，求 bn的长；（ 2）如图 2，在 abc中， fg

3、是中位线，点 d，e 是线段 bc的勾股分割点，且 ecdebd，连接 ad， ae 分别交 fg于点 m， n，求证：点m， n 是线段 fg的勾股分割点；（3）已知点c 是线段 ab 上的一定点，其位置如图3 所示，请在bc上画一点d，使点 c， d是线段 ab的勾股分割点（要求尺规作图，保留作图痕迹，画一种情形即可）；1 / 6（ 4）如图 4，已知点 m， n 是线段 ab的勾股分割点， mnambn， amc， mnd 和 nbe 均为等边三角形， ae分别交 cm，dm，dn于点 f，g，h，若 h 是 dn的中点，试探究 samf，sben和 s 四边形 mnhg的数量关系，并说

4、明理由（1）解：当mn为最大线段时，点m、 n 是线段 ab的勾股分割点，bn=；当 bn为最大线段时， 点 m、n 是线段 ab的勾股分割点， bn=，综上所述： bn=或；（2）证明： fg 是 abc的中位线， fg bc，=1，点 m、n 分别是 ad、ae的中点， bd=2fm， de=2mn， ec=2ng，22222点 d、 e是线段 bc的勾股分割点，且ecdebd， ec =bd+de，（ 2ng） =（ 2fm） +2222（2mn） ， ng=fm+mn，点 m、 n是线段 fg的勾股分割点；（ 3）解：作法：在 ab上截取 ce=ca；作 ae的垂直平分线，并截取 cf

5、=ca；连接 bf，并作 bf 的垂直平分线，交 ab于 d；点 d 即为所求；如图所示： （ 4）解： s 四边形 mnhg=samf+sben，理由如下：设 am=a， bn=b，mn=c，h是 dn的中点， dh=hn=c， mnd、 bne 均为等边三角形， d=dne=60，在 dgh和 neh中， dgh neh（ asa），dg=en=b， mg=c b， gmen， agm aen，c2=2ab ac+bc ，点 m、 n是线段 ab的勾股分割点，2222，c=a +b ，（ a b） =（ b a）c，又 bac， a=b，在 dgh和 caf中， dgh caf（ asa）

6、，sdgh=scaf，c2=a2+b2，c2=a2+b2，sdmn=sacm+senb，sdmn=sdgh+s四边形 mnhg，sacm=scaf+samf，s四边形 mnhg=samf+sben2 / 62（2015?嘉兴）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1）概念理解：如图 1，在四边形 abcd中，添加一个条件使得四边形 abcd是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件（ 2）问题探究：小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形，她的猜想正确吗？请说明理由如图 2，小红画了一个 rtabc，其中 abc=90， ab=2， bc=1，并将

7、 rtabc沿 abc的平分线bb方向平移得到 abc，连结aa， bc，小红要使平移后的四边形abca是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段bb的长）？（3）拓展应用：如图 3，“等邻边四边形” abcd 中，ab=ad，bad+bcd=90， ac，bd为对角线， ac= ab，试探究 bc， cd， bd的数量关系解：（ 1）ab=bc或 bc=cd或 cd=ad或 ad=ab（任写一个即可） ；（ 2）正确，理由为：四边形的对角线互相平分， 这个四边形是平行四边形，四边形是“等邻边四边形”，这个四边形有一组邻边相等，这个“等邻边四边形”是菱形； abc=90， ab=2，bc=1，

8、ac=，将 rtabc平移得到 abc， bb=aa，ab ab，ab=ab=2，bc=bc=1，ac=ac=，（ i ）如图 1，当 aa=ab 时，bb=aa=ab=2；（ ii ）如图2，当 aa=ac时， bb=aa=ac=；（ iii）当ac=bc= 时，如图 3，延长 cb交 ab于点 d，则 cb ab， bb平分 abc， abb=abc=45， bbd= abb=45bd=b，设 bd=bd=x，则cd=x+1，bb=2x，在 rtbcd 中， bd+（cd）22222=（bc） x+（ x+1） =（） ，解得： x=1， x 2（不合题意，舍去） ， bb=x=12=（）

9、当 bc=ab=2 时，如图 4，与（）方法一同理可得：222bd+（cd）=（bc） ，设bd=bd=x，则 x2+（ x+1） 2=22，解得： x1=， x2=（不合题意，舍去） ， bb= x=；（3）bc，cd， bd的数量关系为：222bc+cd=2bd，如图 5， ab=ad，将 adc 绕点 a 旋转到abf，连接 cf， abf adc， abf=adc，baf=dac，af=ac，fb=cd， bad=caf， = =1， acf abd，= =，bd， bad+adc+bcd+abc=360， abc+adc360（ bad+bcd）=360 90=270， abc+ab

10、f=270，22=222222 cbf=90， bc +fb cf=（bd） =2bd， bc +cd=2bd3 / 63（2015?杭州）如图 1，o的半径为 r（ r 0），若点 p在射线 op上，满足 op?op=r2，则称点 p是点 p 关于o 的“反演点” 如图 2，o的半径为 4，点 b 在o上，boa=60， oa=8，若点 a， b分别是点a， b 关于o 的反演点，求ab的长解：设 oa交o于 c，连结 bc，如图 2，oa?oa=42，而 r=4 ，oa=8，oa=2，ob?ob=42，ob=4，即点 b 和 b重合， boa=60， ob=oc， obc为等边三角形，而点

11、 a为 oc的中点， ba oc，在 rtoab中， sin aob=， ab=4sin60 =2三、函数新定义1（2015?扬州）平面直角坐标系中，点p（ x，y）的横坐标x 的绝对值表示为|x| ，纵坐标y 的绝对值表示为|y| ，我们把点 p（ x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点p（ x，y）的勾股值，记为p，即 p=|x|+|y|（其中的“ +”是四则运算中的加法）（ 1）求点 a（ 1，3）， b（+2， 2）的勾股值a、 b；（ 2）点 m在反比例函数 y=的图象上，且 m=4，求点 m的坐标；（ 3）求满足条件 n =3 的所有点 n围成的图形的面积解：（ 1） a（ 1

12、，3），b（+2， 2）， a=| 1|+|3|=4， b=|+2|+|2|=+2+2 =4；4 / 6（2）设：点 m的坐标为（ m，n），由题意得解得：，m（ 1， 3），（ 1， 3），（3， 1），（ 3， 1）（ 3）设 n点的坐标为（ x， y）， n =3， |x|+|y|=3 ， x+y=3， x y=3， xy=3，x+y=3 ，y= x+3，y= x 3，y=x 3，y=x+3，如图：所有点 n 围成的图形的面积 =3=182（2015?河南） 如图，边长为 8 的正方形 oabc的两边在坐标轴上， 以点 c为顶点的抛物线经过点 a，点 p是抛物线上点 a， c间的一个动点

13、（含端点） ，过点 p 作 pfbc 于点 f，点 d、e 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），连接 pd、pe、 de（ 1）请直接写出抛物线的解析式；（ 2）小明探究点 p 的位置发现：当 p 与点 a 或点 c 重合时， pd与 pf的差为定值，进而猜想：对于任意一点 p， pd与 pf 的差为定值，请你判断该猜想是否正确，并说明理由；（ 3）小明进一步探究得出结论：若将“使 pde 的面积为整数”的点 p 记作“好点”，则存在多个“好点”，且使 pde 的周长最小的点 p 也是一个“好点”请直接写出所有“好点”的个数，并求出 pde 周长最小时“好点”的坐标解：（ 1）边长为

14、8 的正方形 oabc的两边在坐标轴上，以点 c 为顶点的抛物线经过点 a，c（ 0， 8）， a（ 8， 0），设抛物线解析式为：y=ax2+c，则，解得：故抛物线的解析式为：y= x2+8；（2）正确，理由：设p（ a， a2+8），则 f（ a， 8）， d（ 0， 6），pd=a2+2，pf=8（ a2+8） =a2， pd pf=2；（ 3）在点 p 运动时， de大小不变，则 pe与 pd的和最小时， pde 的周长最小，pd pf=2， pd=pf+2， pe+pd=pe+pf+2，当 p、e、f 三点共线时， pe+pf最小，此时点 p， e 的横坐标都为 4，5 / 6将 x

15、= 4 代入 y= x2+8，得 y=6， p（ 4， 6），此时 pde 的周长最小，且 pde 的面积为 12，点 p 恰为“好点， pde的周长最小时”好点“的坐标为： （ 4， 6），由（ 2）得： p（a， a2+8），点 d、 e 的坐标分别为（ 0， 6），（ 4， 0），当 4a 0 时，spde=；4 spde12，当 a=0 时，spde=4， 8 a 4 时，spde=（ a2+8+6）（ a） 46 （ a 4）（ a2+8）= a2 3a+4，4spde13，当 a= 8 时， spde=12， pde的面积可以等于4 到 13 所有整数，在面积为12 时， a 的值

16、有两个， 所以面积为整数时好点有11 个，经过验证周长最小的好点包含这11 个之内， 所以好点共11 个， 11 个好点， p（ 4， 6）3、（ 2011?河北）如图，在平面直角坐标系中，点p 从原点o 出发，沿x 轴向右以毎秒1个单位长的速度运动t 秒（ t 0），抛物线 y=x 2+bx+c 经过点 o和点 p，已知矩形abcd的三个顶点为a （1， 0）， b （ 1， 5）， d （4， 0）（ 1）求c， b （用含t的代数式表示）：（2）当 4 t 5 时，设抛物线分别与线段ab，cd交于点 m， n在点 p 的运动过程中，你认为amp 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出 amp的值；求 mpn的面积 s 与 t 的函数关系式，并求t 为何值时，；（3）在矩形abcd的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围222解：（ 1）把 x=0， y=0 代入 y=x +bx