初三圆知识点复习总结

1、初三数学圆知识点一 . 垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。ao推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；ecd（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；b（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧简单记成：一条直线：过圆心垂直弦平分弦平分弦所对的劣弧平分弦所对的优弧弧以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它 3 个结论，即： ab 是直径 abcd ce debcbd acad中任意 2 个条件推出其他 3个结论。例 1如图，

2、在 o 中，弦 cd 垂直于直径 ab 于点 e，若 bad=30 ，且 be=2 ，则 cd= _例 2 已知 o 的直径 cd 10cm ， ab 是 o 的弦， ab8cm，且 abcd ，垂足为 m ，则 ac 的长为（c ）a 2 5cmb 4 5cmc 25cm 或 45cmd 23cm或 4 3cm例 3、如 图 是 一 个 古代 车 轮 的 碎片 ， 小 明 为求 其 外 圆半 径 ， 连 结外 圆 上 的 两点 a 、 b， 并使ab 与 车 轮内 圆 相 切于 点 d ，做 cd ab 交 外圆 于 点 c 测 得 cd=10cm， ab=60cm，则 这个 车轮 的 外

3、圆半 径 为例 4、如图，在 55 的正方形网格中，一条圆弧经过 a， b，c 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是a点 p b 点 q c点 r d 点 m二、圆周角定理1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。即：aob 和 aob 2 acbacb 是ab 所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论 1：半圆或直径所对的圆周角是直角；90 圆周角所对的弦直径d cboa推论 2：圆内接四边形的对角互补；由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等；2、在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所

4、对的弦相等；3、在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等；简记：在同圆或等圆中，弦圆心角弧中只要一个相等，其它两个也相等。例 1、如图，已知a、b、c 三点在 o 上， ac bo 于 d， b=55，则 boc 的度数是70 例 2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）a b cd1例 3、如图， abcd的顶点 a、b、d 在0上，顶点 c 在0的直径 be上，连接 ae，e=360，则 adc=( ) a,440b 540c 720d 530学生练习：2三、与圆有关的位置关系1点与圆的位置关系： 设圆的半径为 r，点到圆心的距离为d，则点

5、在圆内_；点在圆上_ ；?点在圆外_2直线与圆的位置关系：如果 o 的半径为 r，圆心 o 到直线 l 的距离为d，那么：（ 1）直线和圆有 _个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的_，公共点叫做 _ ，此时 d_r；（ 2）直线和圆有 _个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的_，公共点叫做 _，此时 d_r（ 3）直线和圆有 _个公共点时，叫做直线与圆相离，此时d_r3. 切线的性质与判定定理（ 1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：（ 2）性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）mnoa 且 mn 过半径

6、oa 外端 mn 是 o 的切线推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。o推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。man以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。4. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。b即： pa 、 pb 是的两条切线 papbpo 平分bpaop例 1. 已知 o的半径为 3,a 为线段 po的中点 , 则当 op=6时 , 点 a 与 o的位置关系为 ( )a. 点在圆内b.点在圆上c.点在圆外d.不能确定a2. o的半径为 6, o的一条弦

7、ab长为 3 3 , 以 3 为半径的同心圆与直线ab 的位置关系是 ( )a. 相离b.相切 c. 相交 d. 不能确定ad3.如图所示 , o的外形梯形 abcd中 , 如果 ad bc,那么 doc的度数为 ()oa.70b.90 c.60 d.45 4.?b( 第6题)c如图所示 ,pa 与 pb分别切 o于 a、b 两点 ,c 是 ab 上任意一点 , 过 c作 o的切线 , 交 pa及 pb于 d、e 两点 , 若 pa=pb=5cm,则 pde的周长是 _cm.5、如图 2 ，在平面直角坐标系xoy 中，半径为2 的 p 的圆心 p 的坐标为 ( 3,0) ，将 p 沿 x 轴正

8、方向平移，使p 与 y 轴相切，则平移的距离为a 1b 1 或 5c 3d 56、如图， rtabc 中， abc=90 ，以 ab 为直径作半圆o 交 ac 与点 d，点 e 为 bc 的中点，连接de （ 1）求证： de 是半圆 o 的切线（ 2）若 bac=30 ， de=2，求 ad 的长37如图，在 abo 中， oa=ob ， c 是边 ab 的中点，以o 为圆心的圆过点c（ 1）求证： ab 与 o 相切；（ 2）若 aob=120 ，ab=4，求 o 的面积8. 如图所示 , 点 i 是 abc的内心 ,ai 的延长线交边bc于点 d,交 abc外接圆于点 e.a(1) 求证

9、 :ie=be;(2)若 ie=4,ae=8, 求 de的长 .bidc1 x2 上的一个动e9、已知点 m， n的坐标分别为（0， 1），（ 0， 1），点 p是抛物线 y4点（ 1）求证：以点p为圆心，为半径的圆与直线y 1的相切；（ 2）设直线与抛pmpm物线 y1 x2 的另一个交点为点q，连接 np， nq，求证： pnmqnm 4练习：48、如图，直线 l 与半径为4 的 o 相切于点 a ，p 是 o 上的一个动点（不与点a 重合），过点 p 作 pbl ，垂足为 b，连接 pa设pa=x ， pb=y ，则（ x y）的最大值是29、已知 abc 内接于 o，过点 a 作直线

10、ef（ 1）如图 所示，若 ab 为 o 的直径，要使 ef 成为 o 的切线，还需要添加的一个条件是（至少说出两种） ： bae=90 或者 eac= abc （ 2）如图 所示，如果 ab 是不过圆心 o 的弦，且 cae= b ，那么 ef 是 o 的切线吗？试证明你的判断四 . 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式dd1anrnr21母线长1、扇形：（ 1）弧长公式：l；（2）扇形面积公式：slrb底面圆周长c11803602cn ：圆心角r ：扇形多对应的圆的半径l ：扇形弧长s ：扇形面积b12、圆柱： （1）圆柱侧面展开图：s表s侧2s底 = 2 rh2r 2or 2hr（ 2）圆柱的

11、体积： vc1arb3、圆锥侧面展开图（1） s表s侧s底 =rrr 2（2）圆锥的体积： vr 2h4、正多边形的其它性质3(1) 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。(2)边数相同的正多边形相似。5、正多边形的有关计算正多边形的外接圆 (或内切圆 )的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。正 n 边形的有关计算公式（）003600360(1)每个内角n 2 180180

12、；每个外角0nnn（ 2） 正 n边形边长 a2rsin 180 0， 内切圆半径 rrcos180 0， 正 n边形周长n ann(3) 正 n边形面积 sn1ra1pr nr2 sin180 0cos180022nn注意：同一个圆的内接正n 边形和外切正 n 边形是相似形，相似比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比1800。cosn这样，同一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比180 0cosn5例 1、一个圆锥的侧面展开图是半径为8cm、圆心角为120的扇形，则此圆锥底面圆的半径为（）816c 3cm4a cmbcmd cm333例 2、已知圆的半径是 2 3 ，则该圆的内接正六边形

13、的面积是（）（ a） 3 3（b） 9 3（ c） 18 3（ d） 36 34、如图， o 是正五边形abcde 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为r，边心距为r，则下列关系式错误的是（）a r2 r2=a2b a=2rsin36 c a=2rtan36d r=rcos36 5、如图 , o的直径 ab的长为 10，弦 ac的长为 5， acb的平分线交 o于点 d.（ 1）求弧 bc的长；（ 2）求弦 bd的长 .6. 三角形的内心、外心、重心、垂心(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用 “ i ”表示

14、(2) 三角形的外心： 是三角形三边中垂线的交点， 它是三角形外接圆的圆心， 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用o表示(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2 倍，通常用g 表示(4) 垂心：是三角形三边高线的交点例 1、abc中， ab=ac=10， bc=12，则abc的外接圆半径是.外切圆半径为7. 辅助线总结圆中常见的辅助线1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角5) 作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角6) 遇到切线，作过