初中数学二次函数综合题及答案

1、二次函数题选择题：1、y=(m-2)x m2- m是关于 x 的二次函数，则 m=（）a -1b 2c -1 或 2d m 不存在2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a 0)模型的是（）a 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系b 我国人中自然增长率为 1%，这样我国总人口数随年份变化的关系c 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系d 圆的周长与半径之间的关系4、将一抛物线向下向右各平移2 个单位得到的抛物线是y=-x 2，则抛物线的解析式是（）ay=（ x-2）2 +2b y= （ x+2）2+2cy= （ x+2）2+2d y= （ x-2） 2 215

2、、抛物线 y=2yx2-6x+24 的顶点坐标是（）a （ 6， 6）b （ 6， 6）c （ 6，6）d （6， 6）6、已知函数 y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（）个abc ac b a+b+c c ba bc d 101xy7、函数 y=ax2-bx+c （a 0）的图象过点（ -1， 0），则a=bc的值是（）=bcacab1-10xa -1b11cd -228、已知一次函数y= ax+c 与二次函数y=ax2+bx+c（ a0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（）yyyyxxxxabcd二填空题：13、无论 m 为任何实数，总在抛物线y=x 2 2mx

3、 m 上的点的坐标是 。16、若抛物线 y=ax2 +bx+c （a 0）的对称轴为直线x ，最小值为，则关于方程ax2+bx+c 的根为 。17、抛物线 y=（ k+1）x22开口向下，且经过原点，则k+k -9解答题：（二次函数与三角形）21、已知：二次函数y=x +bx+c ，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（ 2， ）（ 1）求此二次函数的解析式（ 2）设该图象与x 轴交于 b、 c 两点（ b 点在 c 点的左侧），请在此二次函数x 轴下方的图象上确定一点e，使 ebc 的面积最大，并求出最大面积12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于 a、 b 两点（ a 在 b 的

4、左侧），与 y轴交于点c (0， 4)，顶点为（ 1， 92）（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的对称轴与轴交于点d，试在对称轴上找出点p，使 cdp 为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点p 的坐标（ 3）若点 e 是线段 ab 上的一个动点（与 a 、b 不重合），分别连接 ac、bc，过点 e作 ef ac 交线段 bc 于点 f，连接 ce，记 cef 的面积为 s，s 是否存在最大值？若存在，求出 s 的最大值及此时 e 点的坐标；若不存在，请说明理由3、如图，一次函数y 4x4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于a、c 两点，抛物线y 43x2 bxycaod(第 2

5、 题图 )ybxc 的图象经过a、c 两点，且与x 轴交于点 b ao（ 1）求抛物线的函数表达式；（ 2）设抛物线的顶点为 d ，求四边形 abdc 的面积；（ 3）作直线mn 平行于 x 轴，分别交线段ac、bc 于点 m、n问在 x 轴上是否存在点p，使得 pmn 是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的p 点的坐标； 如果不存在，c请说明理由bx(第 3 题图 )（二次函数与四边形）4、已知抛物线 y1 x2mx 2m 722(1) 试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点；(2) 如图，当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 c，直线 y

6、=x 1 与抛物线交于 a 、b 两点，并与它的对称轴交于点 d抛物线上是否存在一点p 使得四边形acpd 是正方形？若存在，求出点p 的坐标；若不存在，说明理由；平移直线cd，交直线 ab 于点 m，交抛物线于点n，通过怎样的平移能使得c、 d 、m、 n 为顶点的四边形是平行四边形25、如图，抛物线 y mx2 11mx 24m ( m0)与 x 轴交于 b、c 两点（点 b 在点 c 的左侧），抛物线另有一点a 在第一象限内，且 bac 90（ 1）填空： ob _ ，oc _ ；（ 2）连接 oa，将 oac 沿 x 轴翻折后得 odc ，当四边形oacd 是菱形时，求此时抛物线的解析

7、式；（ 3）如图 2，设垂直于 x 轴的直线l：x n 与（ 2）中所求的抛物线交于点m，与 cd 交于点 n，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移，且交点 m 始终位于抛物线上a 、c 两点之间时，试探究：当n 为何值时，四边形amcn 的面积取得最大值，并求出这个最大值yyl: xnamaobcobcxnxdd6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形abcd 是直角梯形， bcad ， bad=90 ， bc 与 y 轴相交于点 m ，且 m 是bc 的中点， a 、b、 d 三点的坐标分别是a （1 ，0 ），b （1 ，2 ），d （ 3，0）连接 dm ，并把线段 dm 沿 da 方向

8、平移到 on 若抛物线 yax 2bx c 经过点d、m 、 n（ 1）求抛物线的解析式（ 2）抛物线上是否存在点 p，使得 pa=pc，若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，请说明理由（ 3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 e，点 q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点 q 在什么位置时有 |qe-qc|最大？并求出最大值37、已知抛物线yax22ax3a ( a0) 与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧），与 y 轴交于点 c，点 d 为抛物线的顶点（ 1）求 a、 b 的坐标；（ 2）过点 d 作 dh 丄 y 轴于点 h ，若 dh=hc ，求 a 的值和直线cd

9、的解析式；（ 3）在第（ 2）小题的条件下，直线cd 与 x 轴交于点e，过线段ob 的中点 n 作 nf 丄 x 轴，并交直线cd 于点 f，则直线nf 上是否存在点 m ，使得点 m 到直线 cd 的距离等于点 m 到原点 o 的距离？若存在，求出点 m 的坐标；若不存在，请说明理由（二次函数与圆）8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c（ a0）的图象经过m（1，0）和 n（3，0）两点，且与y 轴交于 d（0，3），直线 l 是抛物线的对称轴1）求该抛物线的解析式2）若过点 a （ 1，0）的直线 ab 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式3）

10、点 p 在抛物线的对称轴上，p 与直线 ab 和 x 轴都相切，求点p 的坐标49、如图， y 关于 x 的二次函数y= （x+m ）（x 3m）图象的顶点为m ，图象交x轴于 a 、b 两点，交 y 轴正半轴于 d 点以 ab 为直径作圆，圆心为 c定点 e 的坐标为（ 3， 0），连接 ed（m0）（ 1）写出 a 、b、 d 三点的坐标；（ 2）当 m 为何值时 m 点在直线 ed 上？判定此时直线与圆的位置关系；（ 3）当 m 变化时，用m 表示 aed 的面积 s，并在给出的直角坐标系中画出s 关于 m的函数图象的示意图。10、已知抛物线yax 2bxc 的对称轴为直线x2 ，且与

11、x 轴交于 a、b 两点与 y 轴交于点 c其中 ai(1 ，0)，c(0，3 )（ 1）（ 3 分）求抛物线的解析式；（ 2）若点 p 在抛物线上运动（点p 异于点 a ）（ 4 分）如图 l当 pbc 面积与 abc 面积相等时 求点 p 的坐标；（5 分）如图 2当 pcb= bca 时，求直线cp 的解析式。答案：51、解：（1）由已知条件得，（ 2 分）解得 b=， c=，此二次函数的解析式为y=x2x；（ 1 分）（ 2） x 2 x =0，x1 =1，x2 =3， b（ 1， 0）， c（3，0），bc=4，（1 分）e点在 x 轴下方，且 ebc 面积最大，e 点是抛物线的顶点

12、，其坐标为（1， 3），（ 1 分）ebc的面积 = 43=6（1 分）9）设抛物线的函数关系式为ya ( x 1) 292、（1） 抛物线的顶点为（ 1，22抛物线与 y 轴交于点 c (0，4)， a (0 1) 294解得 a 122所求抛物线的函数关系式为y1( x1) 292217（ 2）解： p1 (1， 17)，p2 (1，17)， p3(1，8)， p4 (1， 8 )，（ 3）解：令 1( x1) 2 9 0，解得 x1 2，x1 422抛物线 y19轴的交点为 a ( 2，0) c (4，0)( x 1) 2 与 x22过点 f 作 fm ob 于点 m， ef ac， b

13、ef bac，mfeb又oc 4，ab6， mf eb2ocababoc eb3设 e 点坐标为 (x，0)，则 eb 4x， mf2 bce s bef11113 (4 x)ss2 eb oc 2eb mf 2eb(ocmf ) 2 (4x)4 2 (4 x) 1x22x8 1( x 1) 2 333333 a 13 0， s 有最大值当 x1 时， s 最大值 3 此时点 e 的坐标为(1 ，0)3、（1） 一次函数y 4x 4 的图象与 x 轴、 y 轴分别交于a、c 两点， a (1， 0)c (0 ， 4)把 a (1，0) c (0， 4)代入 y34x2 bx c 得yea ob

14、x4 b c0b84x28 3解得3 y x4c 4c433（ 2） y 4x2 8x44( x 1) 216顶点为d （1，16）3333316设直线 dc 交 x 轴于点 e由 d （1，3 ） c (0， 4)易求直线 cd 的解析式为y4x 43易求 e（ 3，0），b（ 3，0）s edb1 61616s eca12 4 423s 四边形 abdc s edb s eca122（ 3）抛物线的对称轴为x 1做 bc 的垂直平分线交抛物线于e，交对称轴于点d3易求 ab 的解析式为 y3x 3 d3e 是 bc 的垂直平分线 d3e ab设 d3e 的解析式为 y3xb d3e 交 x

15、 轴于（ 1，0）代入解析式得 b 3,y 3x 3把 x 1 代入得 y 0d 3 ( 1，0),过 b 做 bhx 轴，则cydpa o(第 3题图 )xbmn(第 3 题图 )cbh 1116在 rtd1hb 中，由勾股定理得d 1h 11d1（ 1， 11 3）同理可求其它点的坐标。可求交点坐标 d 1 （ 1， 113） , d 2（ 1，22）, d3( 1，0), d4 ( 1,11 3)d5（ 1， 22）4、 (1)2412m7= m24m 7= m24m 42= m3 = m 23 ，不管 m 为何实数，总有22m 22=m223 0，无论 m 为何实数，该抛物线与x 轴总

16、有两个不同的交点 0，(2) 抛物线的对称轴为直线x=3， m3 ，y1 x23x5=122 ，顶点 c 坐标为（ 3， 2），抛物线的解析式为x 3222yx1,x11x27解方程组，解得1 x25或，所以 a 的坐标为（ 1，0）、b 的坐标为（ 7，6）， x 3时y3xy10y2622y=x1=31=2， d 的坐标为（ 3，2），设抛物线的对称轴与 x 轴的交 点为 e，则 e 的坐标为（3， 0），所以 ae=be=3，de=ce =2，假设抛物线上存在一点p 使得四边形 acpd 是正方形，则 ap、cd 互相垂直 平分且相等，于是 p 与点 b 重合，但 ap= 6，cd= 4

17、，ap cd，故抛物线上不存在一点p 使得四边形acpd 是正方形 ( )设直线 cd 向右平移 n 个单位（ n 0）可使得 c、d 、 m、n 为顶点的四边形是平行四边形， 则直线 cd 的解析式为 x=3n ，直线 cd 与直线 y=x 1 交于点 m（3n ，2n ），又 d 的坐标为（ 3，2），c 坐标为（ 3， 2）， d 通过向下平移 4 个单位得到 cc、 d、 m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形cdmn 是平行四边形或四边形cdnm 是平行四边形（）当四边形cdmn 是平行四边形， m 向下平移4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， n2 ），又 n 在抛物线

18、y1 x23x5上， n213 n3 3 n5，22222解得 n10 （不合题意，舍去） ， n2 2，（）当四边形cdnm 是平行四边形， m 向上平移4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， n6 ），又 n 在抛物线 y1 x23x5上， n613 n3 3 n5，22222解得 n1117 （不合题意，舍去） ， n2117 ，( ) 设直线 cd 向左平移 n 个单位（ n 0）可使得 c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，则直线cd 的解析式为x=3 n ，直线 cd 与直线 y=x 1 交于点 m（ 3n ，2n ），又 d 的坐标为（ 3，2），c 坐标为（ 3， 2

19、）， d 通过向下平移 4 个单位得到 cc、 d、 m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形cdmn 是平行四边形或四边形cdnm 是平行四边形（）当四边形cdmn 是平行四边形， m 向下平移4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， 2n ），又 n 在抛物线 y1x23x5上，2n13 n3 3 n5 ，22222解得 n10 （不合题意，舍去） ， n22 （不合题意，舍去） ，（）当四边形cdnm 是平行四边形， m 向上平移4 个单位得 n， n 坐标为（ 3n ， 6n ），又 n 在抛物线 y1x23x5上， 6n13 n3 3 n5，22222解得 n1117， n211

20、7 （不合题意，舍去） ，7综上所述，直线cd 向右平移2 或（ 117）个单位或向左平移（ 117 ）个单位，可使得c、d 、m、n 为顶点的四边形是平行四边形5、解：（1） ob3，oc8（2）连接 od，交 oc 于点 ey四边形 oacd 是菱形 ad oc， oeec 18 4be 43 12a又 bac90， ace baeae ceobecbeaeae2 be ce 14xae2d点 a 的坐标为 (4，2)把点 a 的坐标 (4， 2)代入抛物线 y mx211mx 24m，得 m 1抛物线的解析式为y1x211x12yl: xn222（ 3） 直线 xn 与抛物线交于点 mm

21、点 m 的坐标为(n，111a2n2n 12)2由（ 2）知，点 d 的坐标为（4， 2），c则 c、d 两点的坐标求直线cd 的解析式为1obexy x 4n121 21111d点 n 的坐标为n4)mn（2 5n(n，2n 2n 12）（n 4）2n822 s 四边形 amcn s amns cmn12mn ce 12（ 12n2 5n8） 4 (n 5)2 9当 n 5 时， s 四边形 amcn96、解：（1 ） bc ad ，b（ -1 ，2 ）， m 是 bc 与 x 轴的交点，m（0，2 ），9a3bc0a11 x21 x 2 ； dm on ， d（ 3， 0）， n（-3 ，

22、2 ），则 c29， y，解得9a3bc0b1933c2（ 2）连接 ac 交 y 轴与 g， m 是 bc 的中点， ao=bm=mc abc=90 ， bg ac ，即 bg 是 ac 的垂直平分线，要使点 p 为直线 bg 与抛物线的交点， ab=bc=2 ， ag=gc ，即 g （0，1 ），pa=pc ，即点 p 在 ac 的垂直平分线上，故p 在直线 bg 上，设直线 bg 的解析式为 ykx b ，则kb 2k1yx 1 ，1，解得b，b1yx 1x1 332x233 2，解得，y1 x21 x 2，y12 3 2y22 3 293点 p（ 33 2 ， 23 2 ）或 p（

23、3-3 2 ， 23 2 ），（ 3） y1 x21 x21 ( x3) 29，对称轴 x3，939242令1 x21 x20 ，解得 x13 ， x26 ， e （6，0 ），933故 e、d 关于直线 x对称， qe=qd ， |qe-qc|=|qd-qc|，23要使 |qe-qc| 最大，则延长 dc 与 x相交于点 q ，即点 q 为直线 dc 与28直线 x3的交点，2由于 m 为 bc 的中点， c （ 1， 2），设直线 cd 的解析式为 y=kx+b ，3kb0k1， yx3，则b，解得b3k2当 x3时， y339，故当 q 在（3 ，9）的位置时， |qe-qc| 最大，2

24、2222过点 c 作 cf x 轴，垂足为 f，则 cd=cf 2df 222222 2 7、解：（1 ）由 y=0 得， ax2-2ax-3a=0 ， a0， x 2-2x-3=0 ，解得 x12，点 a 的坐标（ -1，0 ），点 b 的坐标（ 3，0 ）；=-1 ， x =3（ 2）由 y=ax 2 -2ax-3a，令 x=0 ，得 y=-3a ， c （0，-3a ），又 y=ax 2-2ax-3a=a（ x-1） 2-4a ，得 d （1， -4a ）， dh=1 ，ch=-4a- （-3a ）=-a ， -a=1 ， a=-1 ， c（0 ，3 ）， d （1，4 ），设直线 cd

25、 的解析式为 y=kx+b ，把 c、 d 两点的坐标代入得，解得，直线 cd 的解析式为y=x+3 ；（ 3）存在由（ 2 ）得， e（ -3，0 ）， n （-， 0） f（，）， en=，作 mq cd 于 q，设存在满足条件的点m（， m），则 fm=-m，ef=， mq=om=由题意得： rt fqm rt fne ，=，整理得 4m 2 +36m-63=0 ， m2+9m=，m2 +9m+=+（m+） 2=m+=m1=，m 2=-，点 m 的坐标为 m1（，），m2 （， -）8、解：（1）抛物线y=ax2+bx+c （a0）的图象经过m （ 1， 0）和 n （3， 0）两点，且

26、与y 轴交于 d（ 0，3），假设二次函数解析式为：y=a （x1）（x 3），将 d （0， 3），代入 y=a（ x 1）（ x 3），得： 3=3a， a=1，抛物线的解析式为：y=（ x 1）（x 3） =x24x+3 ；（ 2） 过点 a （ 1， 0）的直线 ab 与抛物线的对称轴和x 轴围成的三角形面积为6，ac bc=6 ，抛物线y=ax2 +bx+c （a0）的图象经过 m （1， 0）和 n （3，0）两点，二次函数对称轴为x=2， ac=3 ， bc=4， b 点坐标为：（ 2，4），一次函数解析式为；y=kx+b ，解得：， y=x+；（ 3） 当点 p 在抛物线的对称

27、轴上，p 与直线 ab 和 x 轴都相切， mo ab ，am=ac ， pm=pc ， ac=1+2=3 ，bc=4 ， ab=5 ， am=3 ， bm=2 ， mbp= abc ， bmp= acb ，9 abc cbm ， pc=1.5， p 点坐标为：（ 2，1.5）9、解：（1） a（ m，0），b （ 3m，0），d （ 0，m）（ 2）设直线 ed 的解析式为y=kx+b ，将 e（ 3，0），d （ 0，m）代入得：解得， k=，b=m直线 ed 的解析式为y=mx+m将 y=（ x+m ）（ x3m）化为顶点式：y=（x+m ）2+m顶点 m 的坐标为（ m，m）代入 y=mx+m 得： m2 =m m0， m=1所以，当 m=1 时， m 点在直线 de 上连接 cd，c 为 ab 中点， c 点坐标为 c（m，0） od=，oc=1 ， cd=2 ， d 点在圆上又