初中数学函数知识点汇总 2

1、 莆 田 二 中 中考数学二次函数知识点 2ycb,?c(a,y?ax?bxx)0a?.1.定义：一般地，如果的二次函数，那么是常数，叫做2y?ax2.二次函数的性质 2yaxy?. 的顶点是坐标原点，对称轴是1）抛物线轴（2aax?y. ）函数的符号关系的图像与（2?0a? 时 当顶点为其最低点；抛物线开口向上?0a?. 时当顶点为其最高点抛物线开口向下2yax?y）a（?0. （3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为2cax?bx?y?y 轴的抛物线. 3.的图像是对称轴平行于（包括重合）二次函数?22ky?a?x?hcy?ax?bx?中，其的形式成用函4.二次数配方法可化：

2、2b?4bach?，k?. 2a4a?222hxay?k?y?axy?ax；5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；?22ka?x?hy?c?y?axbx. ；6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. aa?0a?0时，开口向下； 时，开口向上；当的符号决定抛物线的开口方向：当 a相等，抛物线的开口大小、形状相同. yyx?0x?h. 特别地，平行于轴记作直线轴（或重合）的直线记作. a相同，那么抛物线的开口方向、开口几个不同的二次函数，如果二次项系数7.顶点决定抛物线的位置.大小完全相同，只是顶点的位置不同. 22b4ac?b?2?x?cbx?ay?ax?，顶点是求抛物线的顶点、

3、对称轴的方法（1）公式法：8. aa42?2b4ac?bb），（?x. ，对称轴是直线 aa42a2?2kx?h?ay?kh，的形式，得到顶点为运用配方的方法，）配方法：2 （将抛物线的解析式化为(,)1 莆 田 二 中 x?h. 对称轴是直线 （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 2c?ax?bxy?c,a,b 中，9.抛物线的作用2aaaxy?. 中的）完全一样决定开口方向及开口大小，这与 （12acbx?y?ax?b 共

4、同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线 （2）的对称轴是直线和bba0?x?yyb0b?轴左侧；，故：、轴；（即时，对称轴为同号）时，对称轴在 a2aba0?yb轴右侧. （即异号）时，对称轴在、 a2cyc?bxy?ax轴交点的位置的大小决定抛物线. 与 （3）2cy?cyc?axbx?y0?x 当）轴有且只有一个交点（0时，与：，抛物线yy0?0?cc?0c. 轴交于负半轴,与 ,轴交于正半轴；，抛物线经过原点; 与b?0y. 轴右侧，则 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在 a 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式开口方向 对称轴 顶点坐标2axy?

5、0?a 当时 开口向上0a? 当时 开口向下y0?x轴） （ 0,0）（2kax?y? y0x? （轴）k) (0, ?2hy?a?x hx? h(,0) ?2k?x?y?ah hx? kh(,) 2c?axbx?y? b?x? a22b?b4ac，?) (2a4a11.用待定系数法求二次函数的解析式 一般式2cbx?yax?yx. .已知图像上三点或三对：的值，通常选择一般式、） （1顶点式?2kh?y?ax?. （：已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式2）.交点式?xxxx?xay?x?x. ，通常选用交点式：、轴的交点坐标）3 （：已知图像与21212 中 二 莆 田 直线与抛物线的交

6、点12.2cc?y?axbx). (0, （1）轴与抛物线得交点为y22ycbhah?c?y?ax?bxhhx?). 有且只有一个交点2）与与抛物线轴平行的直线(, （x 轴的交点 （3）抛物线与2xxc?ax?bxy?x，是对应一元二次方程的图像与、 二次函数轴的两个交点的横坐标2120ax?bx?cx轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别的两个实数根.抛物线与 式判定：?x0? 抛物线与有两个交点轴相交；x?x0? 轴相切；轴上）抛物线与 有一个交点（顶点在?x0?. 没有交点轴相离抛物线与 x 轴的直线与抛物线的交点4）平行于 （个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵个交点、12.当

7、有个交点、2个交点 同（3）一样可能有02kc?ax?bx?k. ，则横坐标是的两个实数根坐标为?20y?kx?n?kGl0y?ax?bx?c?a的交点，由方与二次函数的图像 （5）一次函数的图像y?kx?nGl?有两个交点; 与的解的数目来确定：程组 方程组有两组不同的解时2c?y?ax?bxGGll?没有交点. 与与只有一个交点；方程组无解时方程组只有一组解时?2xx，x，00，BAxcbx?y?ax?轴两交点为）抛物线与与轴两交点之间的距离：若抛物线 ，（6122xx0c?ax?bx? 是方程由于、的两个根，故21bcx?x?,x?x? 2121aa22cb4?4acb?22?AB?xx

8、?xx?xx?x?4x ? 21122112aaaa?一次函数与反比例函数 考点一、平面直角坐标系 （3分） 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。 3 中二 莆 田 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一yx轴和为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被 象限、第二象限、第三象限、第四象限。 轴上的点，不属于任何象限。轴和y注意：x 、点的坐标的概念2”分开，横、纵坐标

9、的位）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，b点的坐标用（ab?a a，）是两个不同点的坐标。，置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当b）和（b时，（a 3分） （考点二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征 0y?x?0,? 在第一象限 点P(x,y) 0y?0,?x 点P(x,y)在第二象限0y?0,?x 点P(x,y)在第三象限0?0,y?x 点P(x,y)在第四象限 、坐标轴上的点的特征20?y 在x轴上为任意实数，x点P(x,y)0?x y轴上为任意实数，y点P(x,y)在? ），0y同时为零，即点P坐标为（点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上0x， 、

10、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征3? y与P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上相等x点? y在第二、四象限夹角平分线上互为相反数x与点P(x,y) 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 x轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于 y轴的直线上的各点的横坐标相同。位于平行于 y轴或远点对称的点的坐标的特征、关于x轴、5? x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数与点点Pp关于? y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数P与点p关于点? 关于原点对称横、纵坐标均互为相反数点P与点p 、点到坐标轴及原点的距离6 P(x,y)到坐标轴及原点的距离：点 y 轴的距离等于P(x,y)到x）点（1x 轴的距

11、离等于P(x,y)到y（2）点22yx? 到原点的距离等于3）点P(x,y)（ 38 （分） 考点三、函数及其相关概念 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。都有唯一确定的值与它对的每一个值，如果对于与一般地，在某一变化过程中有两个变量xyxy4 莆 田 二 中 应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。 3、函数的三种表示法及其优缺点 （1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式

12、表示，这种表示法叫做解析法。 （2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。 4、由函数解析式画其图像的一般步骤 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 考点四、正比例函数和一次函数 （310分） 1、正比例函数和一次函数的概念 ?bkx?y?0），那么y叫做b是常数，一般地，如果kx的一次函数。 （k，?kx?byy?kx0）。这时，y为常数，kk中的

13、b为0时，叫做特别地，当一次函数x的正比（例函数。 2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 y?kx?b的图像是经过点（0，b3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数）的直线；y?kx的图像是经过原点（0，0）的直线。 正比例函数 k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 k0 b0 y 0 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。 x b0 y 0 图像经过一、三、四象限，y随x 的增大而增大。x 5 莆 田 二 中 K0 y x随 图像经过一、二、四象限，y 的增大而减小 0 x b0时，图像经过第一、三象限，y（ 的增大而减小。随x）当k0时，y随（1）当 x的增大

14、而减小时，y随（2）当k0 k0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 的增大而减小。随x ? x的取值范围是x，0? y的取值范围是y；0当k0 a0 y 坐标为（x，y）22?2?x?x的长度为12 y x 0 ?2y?y A 21 0 x 性质 1（）抛物线开口向上，并向上无限延伸； bb?x=2（）对称轴是，顶点坐标是（，2a2a2b?4ac ）；a4b?y随x）在对称轴的左侧，即当（3x随yx2a右增； b?（4）抛物线有最低点，当x=a22?4acb?y 值，最小值4a 1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（bb?，2）对称轴是x=，顶点坐标是（a224ac?b

15、）； 4ab?随xa2 增右减；b?4）抛物线有最高点，当x=（a22b?y 大值，最大值a2的增大而减小，简记左x4ac4而减时，a当即侧，右简记左减时，y有最小a2有最时，ya2)?0是常数，b,ca?y?ax?bxc(a,aaca、b、0的含义：表示开口方向：、二次函数2中，a 时，抛物线开口向下0? x当轴有一个交点；=0时，图像与? x当轴没有交点。0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)】h0)【或左(个单位平移 |k|平移|k|个单位个单位k|平移|】【或下k0)(k0)【或下(k0)】平移 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移” kh”

16、 概括成八个字“同左上加，异右下减 2? 三、二次函数与的比较2kx?ah?yc?bxy?ax?22?5x?y?2x?4。2 请将利用配方的形式配成顶点式。请将配成kx?ah?y?cbxy?ax?总结： 2?2是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前与从解析式上看，k?x?hy?acbxy?ax?222bb4ac?b?b4ac?y?ax 者，即，其中?k?，h? aa42a2a4? 四、二次函数图象的画法 2c?bxy?ax?22，确定其开口方向、五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式k)?a(x?y?ax?bx?chy?对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们

17、选取的五点为：顶点、与轴y?0，x，cc0，02h，cx，0的交点轴的交点、以及、与（若与关于对称轴对称的点轴，xx21没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. yx 91 莆 田 二 中 五、二次函数的性质 2cax?bxy?2?b?b4acb 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 ，?0a?x? aa42a2?bbb有最的增大而增大；当时，当的增大而减小；当时，随时，随yyyxx?x?x?x? aaa2222b4ac? 小值 a42?bac?b4bb当时，当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 2.

18、，?y0a?xx? a42aa22a?2b4ac?bb 时，有最大值随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当yyxx?x?x? a4a22a 六、二次函数解析式的表示方法2 ；为常数，）（，一般式：1. c?bx?y?ax0a?bca2 ）；（，为常数，2. 顶点式：k?h)a(x?y?0?akha. 是抛物线与轴两交点的横坐标）两根式：（，3. 0a?)(x?xy?a(x?xxxx2121注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，2二次函数解析时，轴有交点，即抛物线的解析式才可以用交点式表示只有抛物线与0acb?4x. 式的这三种形式可以互化

19、七、二次函数的图象与各项系数之间的关系 二次项系数 1. a2 中，作为二次项系数，显然二次函数c?bx?ax?y0a?a 的值越小，开口越大；时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之当 0?aaa 的值越大，开口越大时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之 当 0?aaa a 的大的正负决定开口方向，总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，小决定开口的大小aa 2. 一次项系数b 确定的前提下，决定了抛物线的对称轴 在二次项系数ba 在的前提下， 0a?b 同号同左上加，即抛物线的对称轴在轴左侧；时，当aby0b?0? a2b时，当轴； ，即抛物线的对称轴就是y0b?0? a2b a

20、,b时，异号异右下减，即抛物线对称轴在轴的右侧当y0b?0? a2 的前提下，结论刚好与上述相反，即 在0a?b 异号异右下减时，当，即抛物线的对称轴在轴右侧；a,by0?b0? a2b 轴；当，即抛物线的对称轴就是时，y0?b0? a2 02 莆 田 二 中 b，即抛物线对称轴在轴的左侧ab当时，同号同左上加 y0b?0? 2a 总结起来，在确定的前提下，决定了抛物线对称轴的位置 ba总结： 同左上加 异右下减 3. 常数项 c 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； yy0c?x 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； yy0?c0 当时，抛

21、物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负 yy0?cx 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置 yc 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的 c，b，a二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； x 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式4. 二、二次函数图象的对称 二次

22、函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 x22； 轴对称后，得到的解析式是 关于 cax?bx?cbxy?y?axx22? 关于轴对称后，得到的解析式是；kh?y?a?yaxx?h?kx 轴对称 2. 关于y22 关于轴对称后，得到的解析式是 ；c?yax?y?axbx?bx?cy22? 轴对称后，得到的解析式是；关于yk?ay?ax?h?kx?hy 3. 关于原点对称 22 关于原点对称后，得到的解析式是 ；c?ax?axy?bx?cbxy?22? 关于原点对称后，得到的解析式是 ；kky?a?xay?x?hh? 关于顶点对称 4. 2b22c?ax?bxy

23、 ； 关于顶点对称后，得到的解析式是 ?cy?ax?bx a222? 关于顶点对称后，得到的解析式是k?xx?h?ky?ahy?a?nm， 5. 关于点对称 22?nm，k2nmh?ax?2?y 关于点对称后，得到的解析式是kh?yax? a求永远不变抛物线的形状一定不会发生变化，根据对称的性质， 显然无论作何种对称变换，因此 12 莆 田 二 中 抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： x22当函数值时的特殊情况是二次函数一元二次方程. c?ax?bxy0?bx?cax0y?图象与轴的交