条件概率ppt课件

1、,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,如在事件 B 发生的条件下求事件 A 发生的概率，这种概率问题就是,1.3 条件概率,(1) 求取到的零件是正品的概率；,设 A = 取到的是正品 ，,两台车床加工 同一零件(见表),B= 取到的是第一台车床加工的 ，,从这 100 个零件中任取 1 个，,解,容易看到 P(A) P(C),(2) 若取到的零件是第一台车床加工，求它是正品的概率.,(1) P(A),85,100,(2), 取到的正品零件是由第一台车床加工，,35,40,C = 取到的是第一台车床加工的正品 ，,则,P(A|B),在B发生的条

2、件下A发生的概率,在缩小的样本空间里来考虑问题,例1,P(C),?,为使 A 也发生, 试验结果必须是既在 B 中又在 A 中的样本点,由于我们已知 B 已发生, 故 B 变成了新的样本空间 .,设A、B是两个事件，,A,为在事件 B 发生的条件下, 事件 A 的条件概率.,定义,且 P(B) 0,则称,AB,若事件 B 已发生,即此点必属于AB.,满足概率的三条公理,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P ( |B) = 1 ；,3.设 A1 ,An , 互不相容，则,P( A1+An + )| B = P(A1|B)+ +P(An|B) + ,自行 验证,是概率,用古典概型的思想

3、去理解：,4,例2 一枚硬币抛掷两次，若已知第一次出现正面，求第二次出现正面的概率：,设A=第一次出现正面，B=第二次出现正面 样本空间:,解：,样本点总数n: A发生包含的样本点个数；,事件包含的样本点数k: 已知A发生条件下，B包含的样 本点个数；,A发生条件下，B发生的概率为1/2，记为：,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小.,P(A |B)是B发生的前提下，A发生的可能性大小.,条件概率 P(A|B)与 P(A)、 P(AB)的区别 ？,P(AB)是A 、B

4、共同发生的可能性大小.,先后、主从,6,2) 在减缩的样本空间中 (加入条件后改变了的情况)直接计算.,1) 在原样本空间中直接用定义计算:,P(B)0；,条件概率的计算,由条件概率的定义,即 若P(B)0, 则 P(AB)= P(B)P(A|B) (1),而 P(AB)= P(BA),若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,对调A、B的位置，则有,故 P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A),(1)和(2)式统称为乘法公式 , 利用 它可计算两个事件同时发生的概率,二、 乘法公式,即 若P(A)0, 则 P(BA)= P(A)P(B|A) (2),注意 P(AB)与 P(

5、A|B)的区别！,A与 B 同时发生时， 用P(AB)； 有先后或主从关系时， 用P(A|B).,例3 设有 100 件产品，其中有 5 件次品，95件正品. 按不放回抽样从中 抽取两次，每次任取一件，求下列事件的概率： 1）第一次取到次品，第二次取到正品；2）两次都取到正品,解 设 A =第 一 次取到的是次品,B=第二次取到正品,推广到多个事件的乘法公式:,当 P(A1A2An-1) 0 时，有,P(A1A2An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) P(An| A1A2An-1),1）所求概率为P(AB),因为,9,随机抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进a个与所抽出

6、的球具有相同颜色的球，这种手续进行三次。,例4 （Polya模型） 一个罐中有个r个白球和s个红球。,则所求概率为：,解 设 Ai =第 i 次取到的是白球,试求第 1、2 次取到白球且3次取到红球的概率.,i =1, 2, 3,设 Bi =第 i 次取到的是红球,i =1, 2, 3 .,10,事件的独立性,这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概 率上是没有影响，即事件 A 与 B 呈现出某种独立性,下页,一、两事件的独立性,引例. 袋中有a只黑球，b只白球每次从中取出1球，取 后放回. 令 A= 第一次取出白球 ，B= 第二次取出白球 ， 则,11,定义1 设A、B二事件，如果

7、满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称A、B为相互独立的事件., 若P(A)0, P(B)0, 则A和B独立的充分必要条件是,P(B|A)=P(B)；P(A|B)=P(A) .,下页,显然, 必然事件与不可能事件与任何事件A都相互独立.,1. 定义,2. 性质, 如果A, B相互独立，则下列任一组都相互独立:,说明：在实际应用中，人们常常根据事件的实际意义去判断事件的独立性,12,二、多个事件的独立性,3个事件相互独立的定义,定义2 三个事件A,B,C，如果满足下面四个等式,则称三事件A,B,C相互独立.,如果A,B,C仅满足上式中的前三个等式，则称三事件A,B,C 两两相互独立.,注意

8、：事件两两独立，不一定相互独立；事件相互独立，则两两独立,下页,13,n 个事件相互独立的定义,定义3 n 个事件A1，A2，An，如果对于其中的任意 k(2kn)个事件Ai1 , Ai2 , , Aik (1i1i2ikn)，都有,则称A1，A2，An是相互独立的事件., 若n个事件 A1，A2，An 相互独立，则其部分事件组 也相互独立.,若n个事件A1，A2，An相互独立，则将其中部分事件 换为对立事件所得的事件组也相互独立.,下页,n 个事件相互独立的性质,14,例 盒中装有四个大小相同的球，其中三个球上分别标有数字1,2,3，剩下的一个球上同时标有1,2,3三个数字。从盒中任取一个球

9、，令Ai=取出的球上标有数字i(i=1,2,3),则,P（A1）=P（A2）=P（A3）=2/4=1/2 P（A1A2）=P（A1A3）=P（A2A3）=1/4 P（A1A2）=P（A1）P（A2）, P（A1A3）=P（A1）P（A3）, P（A2A3）=P（A2）P（A3） 因此事件A1、A2、A3两两独立。但是 P（A1A2A3）=1/4P（A1）P（A2）P（A3）=1/8 故事件A1、A2、A3不相互独立,15,例. 已知甲、乙两批玉米种子的发芽率分别为0.9和0.8，从这两批种子中分别任取一粒做发芽试验，求：两粒都能发芽的概率；至少有一粒种子发芽的概率；恰好有一粒种子发芽的概率.,

10、解：设两粒种子为甲和乙，A=甲发芽，B=乙发芽，由题意 知,B相互独立. 所求概率分别为：,下页, P(AB)=P(A)P(B)=0.90.8=0.72., P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.9+0.80.72=0.98 .,16,例设每门炮的命中率为0.6,今有一敌机入侵,欲以99 的把握击中敌机，问应设几门炮？,解：设配置n门炮，Ai=第i门炮击中敌机，i=1,2,n ， A=敌机被击中. 由题意知 A, A2, An 相互独立且 A= AA2 An ， 由于 P(A)= P(AA2 An),要使 P(A)0.99，只须10.4n0.99即可,解得,所以至少配置6门炮.,下页,

11、17,解：设A、B、C 分别表示甲、乙、丙机床需要照看三个事件，,则 P(A) = 0.9，P(B) = 0.8，P(C) = 0.85 .,因A、B、C相互独立，所求概率分别为,例9.一工人照看三台机床，在一小时内甲乙丙三台机床需 要照看的概率分别为0.9、0.8和0.85，各台机床是否需要照看 是独立的. 求在一小时内：没有一台机床需要照看的概率； 至少有一台机床不需要照看的概率；,下页,18,习题、乙两人各自同时向一目标射击. 已知甲击中目标的 概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5. 求目标被击中的概率.,解：设A=甲击中目标，B=乙击中目标，C=目标被击中. 由题意知事件A，B相互独立，且C=AB，所以 P(C)=P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) =P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.5-0.60.5=0.8 .,=1-0.40.5=0.8 .,或,下页,现从这 20 套题中不放回地连取两次，每次取一套，共取两套，,= ,习题 有 20 套试题，其中7套