坐标系和参数方程

1、第一节坐标系1. 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x , y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换: 入，心0,的作用下，点P（x, y）对应到点P （x，y），称为平面y a0直角坐标系中的坐标伸缩变换.2. 极坐标系与点的极坐标（1）极坐标系：如图1所示，在平面内取一个定点 0（极点），自极点0引一 条射线0x（极轴）；再选定一个长度单位，一个角度单位 （通常取弧度）及其正方 向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.（2）极坐标：平面上任一点 M的位置可以由线段 0M的长度p和从Ox到 0M的角度B来刻画，这两个数组成的有序数对（p 0称为点M的极坐标.其 中p称为点M的极

2、径，0称为点M的极角.3. 极坐标与直角坐标的互化点M直角坐标（x，y）极坐标（p, 0互化公式pcos 0,、y= pin 022.2p = x + yV tan 0=0)入4. 圆的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆p= r(0 0b0）h1x= acos 6，（6为参数）、y= bsin 6温馨提示：在直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几 何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M（x，y）到Mo（xo，yo）的距离.重点1坐标系与参数方程1 极坐标和直角坐标互化的前提条件是：（1）极点与直角坐标系的原点重合；（2）极轴与直角坐标系的 X轴正半轴重合；

3、I px = Ecosr或/ytanrx（3） 两种坐标系取相同的长度单位.设点P的直角坐标为（x, y），它的极坐标为（门）， 2 =x2 y2则互化公式是2y = Psi n 日；若把直角坐标化为极坐标，求极角注意判断点P所在的象限（即角二的终边的位置），以便正确地求出角二，在转化过程中注意不要漏解，特别是在填空题和解答题中，则更要谨防漏解.2 消去参数是参数方程化为普通方程的根本途径，常用方法有代入消元法（包括集团代人法）、加减消元法、参数转化法和三角代换法等，转化的过程中要注意参数方程中x, y含有的限制条件，在普通方程中应加上这种限制条件才能保持其等价性3参数方程的用途主要有以下几个

4、方面：（1） 求动点（x, y）的轨迹，如果x, y的关系不好找，我们引入参变量t后，很容易找 到x与t和y与t的等量关系式，消去参变量后即得动点轨迹方程此时参数方程在求动点轨迹方程中起桥梁作用.（2） 可以用曲线的参数方程表示曲线上一点的坐标，这样把二元问题化为一元问题来解 决，这也是圆锥曲线的参数方程的主要功能.（3）有些曲线参数方程的参变量 t有几何意义.若能利用参变量的几何意义解题，常会取 得意想不到的效果如利用 直线标准参数方程中t的几何意义解题，会使难题化易、繁题 化简高考常考角度角度1若曲线的极坐标方程为 ： = 2sin 71 4co，以极点为原点，极轴为 x轴正半轴建 立直角

5、坐标系，则该曲线的 直角坐标方程为.解读：关键是记住两点：1、x =cosr,y =sin， 2、= x2 y2即可.由已知=2sin 寸 4cos丁 J2 = 2sin寸 4cos-x2 y2 = 2y 4x, -x2 y2 _4x _2y = 0 为所求.A. 2角度2在极坐标系中，点（：,）到圆T =2cos二的圆心的距离为（）3解读：极坐标 （-）化为直角坐标为（2cos丄，2sin丄），即（1A 3）.圆的极坐标方程333=2cos 可化为=2cost ,化为直角坐标方程为x2 y2 = 2x ,即 （x -1）2 y2 =1 ,所以圆心坐标为（1,0 ）,则由两点间距离公式 d =

6、 .（1 -1）2 （ 3 -0）2 3 故选 D.角度3已知两曲线参数方程分别为x 5 cos y = sin5 + 2十x = t（0= nV 二）和 4y = t（t R），它们的交点坐标为解:X75cos=表示椭圆x!y = sin J52X2y2 =1 （y _ 0） ,4 表示抛物线y = t!x22r + y =12联立得 5x24x-5=0二x=1或X - -5 （舍去），24y Gx又因为yZ0，所以它们的交点坐标为（1,症）5角度4直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点工x = 3 cos-.A, B分别在曲线 G :（二为参数）和曲线 C

7、2-1上，则| AB |的最小y=4+si n值为.点评：利用化 归思想和数形结合 法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程.解读：曲线 G的方程是（x-3）2 （y-4）2 =1,曲线C2的方程是x2 y 1，两圆外离，所以|AB |的最小值为、32 42 -1 T = 3 .角度5在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为x = cosy =si n 申（为参数），曲线x a cosC2的参数方程为*（ ab0,为参数），在以 O为极点，x轴的正半轴为极=bsin 甲轴的极坐标系中，射线l:与g , C2各有一个交点.当=0时，这两个交点间的距离为2，当二二时，这两个交点重合.2(I)分别

8、说明Ci,C2是什么曲线，并求出a与b的值;(n)设当 二时，I与G，C2的交点分别为40TAi, B1，当二= 时，I与G，C2的交点为4A2，B2，求四边形AA2B2E的面积.2 2解读：(I)Ci,C2的普通方程分别为22XVx2 y1和二2 =1，故Ci是圆，C2是椭圆a b(1,0),(a,0)，因为这两点间的距离当=0时，射线I与C1,C2交点的直角坐标分别为 为2,所以a =3.n当二3时，射线I与C1,C2交点的直角坐标分别为(0,1),(0, b)，因为这两点重合，所以 b =1.2X(n) GG的普通方程分别为x2 y2 =1和一 y2 =1.9当时，射线I与C1交点A1的

9、横坐标为 X -，与C2交点B1的横坐标为42-3 1x.10rK当时，射线I与G,C2的两个交点 A, B2分别与A,B1关于X轴对称，因4此，四边形aa2b2b1为梯形.故四边形aa2b2b1的面积为(2x2x)(x x)2易失分点1参数的几何意义不明典例已知直线丨的参数方程为(t为参数)，若以平面直角坐标系xOy中的O点为极点，Ox方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为：、=2cos(v-J.4(1)求直线丨的倾斜角；(2)若直线丨与曲线C交于A, B两点，求| AB | 易失分提示：对直线参数方程中参数的几何意义不明确导致错误.兀X 二 tcos 解读：（1

10、）直线的参数方程可以化为_ 3，根据直线参数方程的意义，直2ytsi nI23a/2线丨经过点（0*），倾斜角为，2（2）丨的直角坐标方程为即 2、3x -2y=0曲线C= 2cos（ ）的直角坐标方程为4所以圆心（到直线丨的距离d23-2|-“2+44所以 |AB2 J-（：）2102易失分点2极坐标表达不准典例 已知曲线G, C2的极坐标方程分别为 cost - 3, = 4cos二亠0,则曲线G与C2交点的极坐标为由方程组易失分提示：本题考查曲线交点的求法，易错解为? =2,3匚-2乜J3 =A仁 兀 兀 cos 或 -I 2 I. 66厂一 气- 气即两曲线的交点为（2、3, ）或（2

11、.3-）6 6正解解读：由方程组cos v - 3二 4cos 寸2、32 3或H日=20 + L6即两曲线的交点为（2 .3 2k ）或（2、3,2k）, k，Z6 6在极坐标系中，有序实数对的集合（门）|,小二R与平面内的点集不是对应的给出一个有序数对（门），在极坐标系中可以唯一确定一个点，但极坐标系中的一点，它 的极坐标不是唯一的，若点 M不是极点，（几“是它的一个掇坐标，那么 M有无穷多个极坐标（1, v 2k 二）与（-1, v （2k 1）二）,k 三 Z各类题型展现：1.(本小题满分10分)-x = 5cos在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C方程为(为参数)y =3si n x

12、- 4 - 2t(1) 求过椭圆的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线I的普通方程y =3_t(2) 求椭圆C的内接矩形 ABCD面积的最大值。解读：_2_2(1)由已知得椭圆的普通方程为Xy1,. c = .25-9=4 ,右焦点为259(4,0)，1直线的普通方程为x-2y2=0，所以k ,于是所求直线方程为21y (x-4)即 x-2y-4=0.2(2) S=4|xy|=60sin cos：护=30sin 2，当 2 =时，面积最大为 30.2. (本小题满分10分)在极坐标系中，已知圆 C的圆心 C( 2,4 ，半径 r 二.3 .(I)求圆C的极坐标方程；兀x = 2 +1 cos

13、。(n)若a引0,)，直线丨的参数方程为丿(t为参数)，直线l交圆C4、y = 2+ts in。于A B两点，求弦长 AB 的取值范围.解读：(I)方法一：圆心CC，2,)4的直角坐标为(1,1)，二圆C的直角坐标方程为x-12 y-12 =3.化为极坐标方程是 ?2-2 ；cost sin r -1=0.图，设圆 C 上任C M 二 O2 M22O CcO oMs O CCOM（二3）2 二即（2）2 -2&cos（）4o2zcosv sinv -1=0 4分x = 2 +1 cos。亠2(n)将丿代入圆C的直角坐标方程(x_1) +(y_y =2 +tsi na得(1 +t cos。f +

14、 0 + tsin g 丫 = 3 即 t2 十 2t(sina +co呦)1 = 0故AB所以匕 t2 =2sin篇川 cos： , t1 t -1JT=寸仏 +t2 2 4td2 =4(sina +cosa )2 + 4 = 2 J2 +sin 2一 , : 0,) = 2： 0, ?)22乞 AB : 2 3 ,10分即弦长AB的取值范围是2j2,2j3)3. (本小题满分10分)Ex t已知直线丨的参数方程是 2( t是参数)，圆C的极坐标方程为t 4、22= 2cos().4(I)求圆心C的直角坐标；(n)由直线l上的点向圆C引切线，求 切线长的最小值。解读：(I)由- 2cos(二

15、 )-、2 cos J -、2 si n)-：2 -、2cos)-、2si n 二4得圆的直角坐标方程为 x2 y2 - 2x 2y = 0即(x -彳)2 (y 彳)2 = 1 ,所以圆心C的直角坐标为(n)由直线l上的点向圆C引切线，切线长为所以，当 -4时，切线长的最小值为2,6=.t2 8t 40(t 4)2 24 一2.64. (本小题满分10分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已203 兀知直线丨上两点M, N的极坐标分别为(2,0),(3 ,),圆C的参数方程32x = 2 + 2 cos 6（日为参数）y = -J3 +2sin 日解读：

16、（I）由题意知,M,N的直角坐标为M(2,0) , M (0,因为P是线段MN（I）设P为线段MN的中点，求直线 OP的平面直角坐标方程; （n）判断直线丨与圆C的位置关系。中点，贝V P(1,=3)3因此OP直角坐标方程为因为直线丨上两点M （2,0） , M丨的方程为:3y-2=0, 又圆心(2,- ,3)，半径r =2.丨2 3 2丨 3所以d2 = r,故直线丨和圆C相交.2 25. （本小题满分10分）在直角坐标系 xOy 中，圆 C1 : x2 y2 = 4，圆 C2 ：（ x - 2）2 y2 = 4（1） 在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆G,C2的极坐标方

17、程, 并求出圆G,C2的交点坐标（用极坐标表示）（2）求圆G与圆C2的公共弦的参数方程=2解读：圆C1的极坐标方程为：?=2，圆C2的极坐标方程为 =4cos二，解、.得:=4cos0=2日=，3，兀故圆C1与圆C2交点的坐标为（2, ）,（2,）5分注：极坐标系下点的表示不唯3 3（2）（解法一）由x=cos：，得圆C与圆c2交点的直角坐标为（1八3）,（1,-、3）y= sin -故圆c1与圆c2的公共弦的参数方程为x-一 罕、3 （t为参数）ly = tx - 1(或参数方程写成 一 ，J3兰y兰J3)10分 ly = yi x=cos1(解法二)将X=1代入，得Tcosv=1，从而=y

18、=Psi n 日cos 日1 x = 1于是圆G与圆C2的公共弦的参数方程为,10分y=ta n 日33补充练习：1 在极坐标系中，求点?，/到直线Pin 診1的距离解点2, n化为直角坐标为(.3, 1), 3分直线 pin 0 6 = 1 化为 p sin 0 cos 0 = 1,得多_ 2x=1，即直线的方程为x .3y+ 2= 0, 6分1）到直线x 3y+ 2= 2 由 OQ= 2QP,得 OQ= 3OP,2 八 p = 3 p, 9 = 9, 8 分代入圆C的方程，得尸6cos 9 ,即 尸 9cos 0-扌.10分(t为参x=tcos a5. (2015全国卷U )在直角坐标系x

19、Oy中，曲线C仁y=tsin a数，tM 0),其中0Wan在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 尸 2sin 9, C3: 尸 23cos 9(1) 求 C2与C3交点的直角坐标；(2) 若 Ci与C2相交于点A, Ci与C3相交于点B,求AB|的最大值.2 2解(1)曲线C2的直角坐标方程为x + y - 2y= 0,曲线C3的直角坐标方程为 x2 + y2 2习3x= 0, 2 分2 2x + y 2y= 0, jx2 + y2 2 一3x= 0, x= 0,解得y= 3.y= 0曲线Ci的极坐标方程为B=a( P駅,卩工0),其中0Wa n.因此A的极坐标为(2sin

20、 a, a , B的极坐标为(2(3cos a, a).8分所以 AB| = |2sin a 2 3cos a = 4当a辛时,AB|取得最大值,最大值为4.10分6. 从极点O作直线与另一直线I: pcos 0= 4相交于点M ,在0M上取一点P ,使 OM OP= 12.(1) 求点P的轨迹方程；(2) 设R为I上的任意一点，求|RP|的最小值.解(1)设动点P的极坐标为(p 0 , M的极坐标为(p, 0 ,贝U p o= 12.pcos 0= 4,p= 3cos 0,即为所求的轨迹方程.4分将p= 3cos 0化为直角坐标方程， 得 x2 + y2 = 3x,3 2 2 3 2即 x

21、2 + y = 2 .8 分3 3知点p的轨迹是以2, 0为圆心，半径为2的圆.直线I的直角坐标方程是x=4.结合图形易得RP|的最小值为1.10分x= 1 + 3cos t,7 .在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参 2 + 3sin t数).在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极 点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线I的方程为 百n ；0-m(m R).(1) 求圆C的普通方程及直线I的直角坐标方程；设圆心C到直线I的距离等于2,求m的值.解(1)消去参数t，得到圆C的普通方程为(x1)2+ (y+ 2)2= 9.2分由 2 pin 0 4 = m

22、,得 pin pcos 0 m= 0,所以直线I的直角坐标方程为x y+ m= 0.4分(2) 依题意，圆心C到直线I的距离等于2, 8分I1 2 + m|即= 2，解得 m= 3i2.2.10分8. 极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点 0为极点，以xx= 2 +1，轴正半轴为极轴.已知直线l的参数方程为厂 (t为参数)，曲线C的极cy=7 3t2坐标方程为pin 0= 8cos 0(1) 求曲线C的直角坐标方程；(2) 设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长AB|.2 2 2解(1)由 pin 0= 8cos 0,得 psin 0= 8 pcos 0,故曲线C的直角坐标方程为

23、y2= 8x.4分1x=2+2t,(2)将直线l的方程化为标准形式6分3y= 21.221664代入 y = 8x,并整理得 3t 16t 64= 0, t1 +12 = 3, t1t2= 3.8 分所以 AB|= |t1 t2|= j t1+ t2 2 4t1t2 =等10 分2 29. (2016全国卷U )在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+ 6) + y = 25.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;X= tCOS a,(2)直线I的参数方程是彳(t为参数)，I与C交于A, B两点，y=tsin a|AB|= , 10,求I的斜率.2解(1)由x

24、= pos 0, y= psin B可得圆C的极坐标方程为 p + 12pos 0+ 11=0.4 分(2)在 (1)中建立的极坐标系中，直线I的极坐标方程为0= a pR).设A, B所对应的极径分别为 p, p,将I的极坐标方程代入C的极坐标方程得 p + 12 pos a+ 11 = 0,于是 p + p= 12cos a, p p= 11.8分AB|= |p p|=*p+ p j 4 p p=144cos a 44.由 AB|= , 10得 cos a=3, tan a= 35.所以I的斜率为二F或一二扌5分10. (2014全国卷U )在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴非负 半轴为极轴建