数学选修2-2推理与证明.ppt

1、第二章 阶段复习课,一、合情推理与演绎推理 1.归纳推理和类比推理,2.合情推理 (1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，统称为合情推理. (2)对合情推理的认识: 归纳推理 合情推理 类比推理,3.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理(逻辑推理). (2)特点：由一般到特殊的推理. (3)演绎推理是数学中证明的基本推理形式. 演绎推理的一般模式“三段论”： 大前提：已知的一般原理(M是P); 小前提：所研究的特殊情况(S是M); 结论：根据一般原理，对特殊情况做出的

2、判断(S是P).,二、综合法和分析法 1.综合法 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法或由因导果法.,(2)其推理方式可用框图表示为： 其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，Q1,Q2,表示中间结论 综合法常用的表达格式为： P，Q1;又Q1，Q2;又Qn，Q.,2.分析法 (1)定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法.

3、又叫逆推证法或执果索因法. (2)其推理方式可用框图表示为： 其中Q表示要证明的结论,【辨析】 综合法与分析法的比较 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点.分析法解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简便地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程.,三、反证法 1.反证法 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.,2.反证法的证明过程包括

4、以下三个步骤,四、数学归纳法 1.数学归纳法的含义 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立. (2)(归纳递推)假设n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法叫做数学归纳法,2.对数学归纳法的几点认识 (1)数学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与正整数有关的问题. (2)两个步骤缺一不可，否则不能说明结论成立. (3)在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，进行恒等变换. (4)完成第(1)和(2)证明后，要对命题

5、成立进行总结.,请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧！,A,G,C,F,E,D,B,H,【备选答案】 A.归纳推理B.间接证明C.演绎推理 D.分析法E.由因导果F.结论 G.由特殊到特殊的推理H.数学归纳法,一、合情推理 1.类比可以是形式的类比，用于发现结论；也可以是方法的类 比，用于寻找方法.常见的类比有平面空间，等差数列等 比数列，实数复数，向量点乘积实数积等. 2.合情推理与演绎推理既有联系又有区别，它们相辅相成，前 者是后者的前提，后者又论证前者的可靠性.,【例1】(1)设f(x)= 又记f1(x)=f(x),

6、f(k+1)(x)=ffk(x),k=1,2,，则f2 012(x)等于( ) (A) (B)x (C) (D) (2)已知数列an为等差数列，若am=a,an=b(n-m1,m,nN*)， 则 类比等差数列an的上述结论，对于等比数 列bn(bn0,nN*)，若bm=c,bn=d(n-m2,m,nN*)，则可以得 到bm+n=_.,(3)设等差数列an的前n项和为Sn,则S4，S8-S4，S12-S8，S16- S12成等差数列.类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为 Tn,则T4，_，_， 成等比数列.,【解析】(1)选B.计算 归纳得f4k(x)=x,kN*，从而f2 012(x)=

7、x.,(2)观察等差数列an的性质：am+n= 则联想nb-ma对应 等比数列bn中的 而an中除以(n-m)对应等比数列中开 (n-m)次方. 答案： (3)根据类比原理知此题顺次应填 答案：,【例2】写出用三段论证明f(x)=x3+sinx(xR)为奇函数的步骤. 【解析】满足f(-x)=-f(x)的函数是奇函数.(大前提) 因为f(-x)=(-x)3+sin(-x)=-x3-sinx=-(x3+sinx)=-f(x). (小前提) 所以f(x)=x3+sinx是奇函数.(结论),二、直接证明 综合法和分析法是直接证明常用的两个方法，我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后用综合法来写出证

8、明过程，有时候分析法和综合法交替使用. 【例3】已知数列an和bn满足a1=2,an-1=an(an+1-1), bn=an-1，数列bn的前n项和为Sn. (1)求数列bn的通项公式; (2)设Tn=S2n-Sn，求证：Tn+1Tn.,【解析】(1)由bn=an-1,得an=bn+1,代入an-1=an(an+1-1)得bn=(bn+1)bn+1. 整理得bn-bn+1=bnbn+1, 由题意知，bn0(否则an=1与a1=2矛盾), 从而得 b1=a1-1=1, 数列 是首项为1，公差为1的等差数列. =n,即,(2)Sn= 方法一(综合法): Tn+1-Tn= Tn+1Tn.,方法二(分

9、析法)： Tn+1TnS2n+2-Sn+1S2n-Sn S2n+2-S2nSn+1-Sn 2n+22n+121, 显然成立，故Tn+1Tn.,三、间接证明反证法 1.用直接法证明，较难入手，用反证法证明则简洁明了.题目中如果有“不是”“至少”“不可能”等词语时，通常考虑反证法.,2.反证法.反证法体现了正难则反的思维方法，用反证法证明问题的一般步骤是： (1)分清问题的条件和结论； (2)假定所要证的结论不成立，而设结论的反面成立(否定结论)； (3)从假定和条件出发，经过正确的推理，导出与已知条件、公理、定理、定义及明显成立的事实相矛盾或自相矛盾(推导矛盾)； (4)因为推理正确，所以断定产

10、生矛盾的原因是“假设”错误.既然结论的反面不成立，从而证明了原结论成立(结论成立).,【例4】等差数列an的前n项和为Sn,a1=1+ S3=9+3 (1)求数列an的通项an与前n项和Sn; (2)设bn= (nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不 可能成为等比数列. 【解析】(1)由已知得 d=2, 故an=2n-1+ Sn=n(n+ ).,(2)由(1)得 假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，r互不相等，且p,q,rN*)成等比数列，则 即 p,q,rN*, =pr,(p-r)2=0,p=r，这与pr矛盾. 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列.,四、数学归

11、纳法 1.归纳、猜想、证明是一种重要的数学思想，一般是先根据通项的递推关系或者前n项和公式写出数列的前几项，根据前几项的联系猜测其通项公式，猜测要合理，然后根据已知条件对猜测的公式给出证明，其证明方法一般是数学归纳法.,2.数学归纳法解题步骤 (1)当n取第一个值n0(例如n0=1)时，证明命题成立； (2)假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立，并证明当n=k+1时，命题也成立.于是对一切nn0，nN*,命题都成立.这种证明方法叫做数学归纳法. 运用数学归纳法证明命题要分为两步.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，这两步是缺一不可的.,【例5】在数列an,bn中，a1=2,b1=4,且

12、an,bn,an+1成等差数列，bn,an+1,bn+1成等比数列(nN*). (1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测an,bn的通项公式，并证明你的结论； (2)证明：,【解析】(1)由条件得2bn=an+an+1, =bnbn+1. 由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25. 猜测an=n(n+1),bn=(n+1)2. 用数学归纳法证明：当n=1时，由以上知结论成立. 假设当n=k(k1)时，结论成立， 即ak=k(k+1),bk=(k+1)2,那么当n=k+1时， ak+1=2bk-ak=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2)

13、, bk+1= =(k+2)2.所以当n=k+1时，结论也成立. 由可知an=n(n+1),bn=(n+1)2对一切正整数都成立.,(2)当n=1时， 当n2时，由(1)知an+bn=(n+1)(2n+1)2(n+1)n. 故 综上，原不等式成立.,【例6】已知等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*, 点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上. (1)求r的值; (2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*)，证明对任意的nN*, 不等式 成立.,【解析】(1)由题意：Sn=bn+r, 当n2时，Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-S

14、n-1=bn-1(b-1),由于b0且b1, 所以n2时，an是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), =b,即 解得r=-1.,(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*), 所证不等式为 当n=1时，左式= 右式= 左式右式，所以结论成立, 假设n=k(kN*)时结论成立， 即 则当n=k+1时，,要证当n=k+1时结论成立， 只需证 即证 由基本不等式得 成立， 经验证等号不成立. 所以，当n=k+1时，结论成立. 由可知，nN*时，不等式 成立.,1.用反证法证明“如果ab，那么 ”，假设内容应是 ( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.

15、假设结论不成立， 即 的否定为,2.在平面上，若两个正三角形的边长比为12，则它们的面积比为14，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为( ) (A)12 (B)14 (C)18 (D)116 【解析】选C.两个正三角形是相似的三角形，它们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为18.,3.若从点O所作的两条射线OM，ON上分别有点M1，M2与点N1， N2，则三角形面积之比 如图，若从点O所 作的不在同一平面内的三条射线OP，OQ和OR上分别有点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论为_

16、.,【解析】考查类比推理问题，由图看出三棱锥P1-OR1Q1及三棱 锥P2-OR2Q2的底面面积之比为 又过顶点分别向底面 作垂线，得到高的比为 故体积之比为 答案：,4.观察下列等式： (1+x+x2)1=1+x+x2, (1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4, (1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6, (1+x+x2)4=1+4x+10 x2+16x3+19x4+16x5+10 x6+4x7+x8, 由以上等式推测：对于nN*， 若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n，则a2=_.,【解析】由x2的系数依次为1,3,6,10，可推测它恰好是首项为1，公差为1的等差数列前n项的和的前4项. 故(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+a2nx2n中的 答案：,5.已知a0,b0,且a+b2. 求证： 中至少有一个小于2. 【证明】