第九章拉普拉斯变换

1、第九章 拉普拉斯变换 The Laplace Transform,掌握拉氏变换定义及其基本性质； 牢记常用典型信号的拉氏变换； 掌握运用拉氏变换分析LTI系统的方法； 掌握系统的典型表示方法：H(s)、h(t)、微分方程、模拟框图、信号流图、零极点+收敛域图，以及它们之间的转换。 掌握采用单边拉氏变换对初始状态非零系统的分析方法。 能应用拉氏变换分析具体电路。,9.0 引言 Introduction,连续时间对应的复频域是用直角坐标 表示的复数平面，简称为S平面或连续时间复频域（s域）.,S平面上的每一个点s都代表一个复指数信号 ,整个S平面上所有的点代表了整个复指数信号集。,S平面,9.1

2、拉氏变换 The Laplace Transform,一个信号x(t)的拉氏变换定义如下：,记作：,或,几个典型信号的拉氏变换,拉普拉斯变换的收敛域与零极点,收敛域：Region of Convergence ( ROC ),一般把使积分 收敛的s值的范围称之为拉普拉斯变换的收敛域，简记为ROC。,零极点：Poles and Zeros of X(s),只要x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X(s)就一定是有理的,具有如下形式：,N(s)和D(s)分别为分子多项式和分母多项式。,使N(s)=0的根为X(s) 的零点，在s平面上用“o”表示。,使D(s)=0的根为X(s) 的极点，在s平面

3、上用“”表示。,例,请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?,9.2 拉氏变换收敛域的性质： The Region of Convergence for Laplace Transform,性质1:拉氏变换收敛域的形状：,X(s)的ROC在s平面内由平行于j轴的带状区域所组成。,性质2：对有理拉氏变换来说，ROC内不包括任何极点。,性质3：如果x(t)是有限持续期，并且是绝对可积的，那么ROC就是整个s平面。,性质4：如果x(t)是右边信号，而且如果 这条线位于ROC内，那么 的全部s值都一定在ROC内。,Res,性质5：如果x(t)是左边信号，而且如果 这条线位于ROC内，那么 的全部s值都一定在

4、ROC内。,性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 这条线位于ROC内，那么ROC就一定是由s平面的一条带状区域所组成，直线 位于带中。,性质7：如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，那么它的ROC是被极点所界定或延伸到无限远。,性质8： 如果x(t)的拉氏变换X(s)是有理的，若x(t) 是右边信号，则其ROC在s平面上位于最右边极点的右边；若x(t) 是左边信号，则其ROC在s平面上位于最左边极点的左边。,例,求其可能有的所有的收敛域,例：已知一绝对可积的信号x(t)有一个极点在s=2，回答以下问题：,（a) x(t)可能是有限持续期吗？ （b)x(t)是左边的吗？ （c)x(t)是右

5、边的吗？ （d)x(t)是双边的吗？,答案：(b)（d)可能,有限长时间信号,整个S平面,左边时间信号,某一左半平面,右边时间信号,某一右边平面,双边时间信号,某一带状收敛区域,例：有多少个信号在其收敛域内都有如下所示的拉氏变换：,例：,求其拉氏变换X(s)，并画零极点图以及收敛域。,解：,9.3 拉氏反变换 The Inverse Laplace Transform,信号x(t)的拉氏变换为：,利用傅立叶反变换：,即可从拉氏变换中恢复x(t)：,拉氏反变换公式表明：原函数x(t)可以由它们的像函数X(s)乘以复指数信号est后积分求得。,拉氏反变换公式的积分路径是：收敛域内平行于虚轴的一条自

6、下而上的直线。,一、求解拉氏反变换的方法,1、留数定理；,2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得未知的拉氏变换，或它们的反变换。,3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分式展开法。,二、部分分式展开法求解拉氏反变换,思路：,单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的有理函数，其收敛域也是单纯的。,单边实指数和复指数线性组合而成的信号，它们的拉氏变换一定是有理函数，其收敛域是每一项复指数分量相应的收敛域的交集。,部分分式展开的第一步是把分母D(s)进行因式分解，然后区分极点的类型，选择求取待定系数的方法。,一、假设信号x(t)的拉氏变换X(s)没有多阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的

7、阶次(有理真分式):,其中：,例：,对X(s) 进行部分分式展开：,X(s) 的零极点图和ROC如图所示：,例：,对X(s) 进行部分分式展开：,X(s) 的零极点图和ROC如图所示：,设：,对X(s) 进行部分分式展开：,X(s) 的零极点图和ROC如图所示：,例：,求x(t),解：,先转换为真分式：,故：,例：已知：,求x(t),将X(s)进行部分分式展开：,二、二阶和高阶极点,当N(s)0有r重根，其余为单根的分解式为：,例：已知：,求x(t),将X(s)进行部分分式展开：,故：,则：,9.4 由零极点图对傅立叶变换进行几何求值,目的：揭示信号和系统的复频域表示与其频域特性间的关系。,对

8、于系统函数是有理函数的因果稳定LTI系统，其收敛域包括s平面虚轴，那么系统的频率响应H(j),如果有理系统函数H(s)表示为,这类因果稳定LTI系统的频率响应为：,零点指向点j的向量为零点向量，记作,极点指向点j的向量为极点向量，记作,幅频响应H(j )：,例：,求其幅频特性与性与相频特性曲线,例：根据零级点图，利用傅立叶变换的几何求值方法，确定以下拉普拉斯变换的模特性近似为低通、高通或者带通：,9.5 拉氏变换的性质,一、线性,则,ROC但有时候会扩大,例：,已知：,求：X(s),解：,二、时移性质,例：,求：X(s),解：,三、 S域平移,例：,求：X(s),解：已知,则,同理：,四、时域

9、尺度变换,五、共轭,六、卷积性质,那么,七、时域微分,但ROC有可能扩大,八、s域微分,九、时域积分,例：求,的拉氏变换,解：,故：,推广：,及：,故：,例：,关于一个拉氏变换为X(s)的实信号x(t)给出下列条件：,1、X(s)只有两个极点；,2、X(s)在有限s平面没有零点；,3、X(s)有一个极点在-1+j；,4、e2tx(t)不是绝对可积；,5、X(0)=8,求X(s),解：由（1）,由（2）,由（3）,由（4）,不含j轴,由（5)得：,十、初值和终值定理,则,若t0，x(t)=0且在t=0不包括任何冲激或高阶奇异函数，则,sX(s)的收敛域一定要包含j轴,例：,求该信号的终值,解：当

10、a0时，收敛域包括j，故：,解：当a0时，收敛域不包括j，故：,不存在,9.6 常用拉氏变换对,P442表9.2。,9.7 用拉氏变换分析与表征LTI系统,利用卷积性质，有：,H(s)为系统函数或转移函数。,一、因果性,一个因果系统的系统函数的ROC是某个右半平面。,对于一个具有有理系统函数的系统来说，系统的因果性就等效于ROC位于最右边极点的右边的右半平面。,例 有一系统，其单位冲激响应为,其系统函数和ROC为：,系统函数是有理的，ROC是右半平面，所以系统是因果的。,例 考虑下面系统函数,请问该系统是因果的吗？,例 有一系统，其单位冲激响应为,其系统函数和ROC为：,ROC 不是右半平面，

11、不是因果的,二、稳定性,定理一：当且仅当系统函数H(s)的ROC包括j轴即：Res=0时，一个LTI系统就是稳定的。,系统稳定,h(t)绝对可积,H(j)收敛,H(s)收敛域包含j轴,输入有界 输出有界,例 ：考虑一LTI系统，系统函数,因果、不稳定系统,非因果、稳定系统,反因果、不稳定系统,定理二：一个具有有理系统函数H(s)的因果LTI系统，当且仅当系统函数H(s)的全部极点都位于s平面的左半平面时，也即全部极点都有负的实部时，该系统才是稳定的。,例：,收敛域包括虚轴，故该系统是稳定的。,例：已知一因果LTI系统的系统函数如下,问：讨论该系统的稳定性,解：该系统的零极点图为：,收敛域不包括

12、虚轴，故该系统是不稳定的。,由于是因果系统，则其收敛域为：,三、由线性常系数微分方程表征的 LTI系统,例：已知一因果LTI系统，其微分方程为：,求（1）系统函数H(s),（2）若输入信号x(t)为e-tu(t),求y(t),（3）若输入信号x(t)为e2t,求y(t),解：,（1）,（2）,(3),根据特征函数特征值的概念：,9.8 系统函数的方框图与信流图表示,一、LTI系统互联的系统函数,反馈互联,二、微分方程、有理系统函数、因果LTI系统的方框图表示,系统的信号流图表示 对于比较大的系统，如果用方框图的方式就比较麻烦，而由上面的讨论可知，一个系统的特性完全由其子系统的系统函数以及各个子

13、系统之间的连接方式所决定。因此可以将方框图简化，用系统的信号流图来表示。,信号流图中的一些术语： 节点：表示系统中变量或信号的点：X(s)、Y(s)、x1、x2,源点：只有输出支路的节点，其对应的是输入信号；,阱点：只有输入支路的节点，其对应的是输出信号；,支路：连接两个节点之间的定向线段，支路的增益即 为其转移函数。,转移函数：两个节点之间的增益：b0、b1,通路：沿支路箭头方向通过各相连支路的途径（注意：不允许有相反方向支路存在）,前向通路：从源点到阱点方向的通路上，通过任何节点不多余一次的全部路径；,闭合通路：通路的终点为通路的起点，且与任何其它节点相交不多于一次，又称为环路；,前向通路

14、增益：前向通路中，各支路转移函数的乘积；,环路增益：环路中各支路转移函数的乘积；,不接触环路：两环路之间无任何公共之路与节点；,信号流图的性质： 1） 信号只能沿着支路上的箭头方向通过； 2） 节点可以将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传送到所有输出支路； 3） 给定的系统，其流图形式不唯一； 4） 流图转置后，其转移函数保持不变；,信号流图的简化,梅逊公式：,gk：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的增益； k：称为对于第k条前向通路特征行列式的余因子,是除去与第k条前向通路相接触的环路外，余下的子图行列式,其中： 称为流图的特征行列式： k：表示由源点到阱点之间第k条前向通路的标号；,

15、例：,例：,例：有一因果系统的微分方程为：,求 （1）系统函数H(s) （2）画出信流图。,例. 一个LTI系统，其系统函数为：当x(t)=e-tu(t)时，y(t)=(e-t-e-2t)u(t),1.求出具有这一特性的系统函数H(s)。做零极点图、标收敛域，并判定因果性、稳定性。,2.求该系统的单位冲激响应h(t)。,3.求出描述该系统的数学模型（常系数微分方程）,4.画出该系统的信号流程图与方框图。,5.若输入x(t)e2t，求输出y(t)。,解：,（1）,因果性：该系统的收敛域位于最右边极点的右边，且系统函数为有理函数，故其是因果的；,稳定性：该系统的收敛域包括虚轴（j轴），故是稳定的。

16、,（4）方框图与信流图：,（5）若输入信号为e2t，则响应为：,(2),(3),单位冲激响应：,微分方程：,一、定义,根据时间变量 t 取值范围的不同，拉氏变换有双边拉氏变换和单边拉氏变换之分。如果 t 的取值范围是从 - 到 +，则称为双边拉氏变换；如果 t 的取值范围是从 0- 到 +，则称为单边拉氏变换，其定义式为:,9.9 单边拉普拉斯变换,单边拉氏变换的重要价值在于求解非零状态下的系统响应！,双边拉氏变换和单边拉氏变换的主要差别在于收敛域的不同,因此，对于单边拉氏变换，常常不标出它的收敛域。此外，在某些性质上两者之间也略有差异。,单边拉氏变换的收敛域只有两种可能：,要么在最右边极点右

17、边的s平面，要么是整个 s 平面。,例 考虑信号x(t),这个信号的双边拉氏变换为：,这个信号的单边拉氏变换为：,对于在t 0-具有相同函数表达式，而在t0-时却并不相同的任何信号，都有完全一样的单边拉氏变换，但他们的双边拉氏变换却各不相同。,对于任何因果时间函数，单边拉氏变换起到了双边拉氏变换相同的作用。,二、性质,P517表9.3。,单边拉氏变换不同于双边拉氏变换的性质：,时域微分,单边拉氏变换的时域微分性质,例：已知一系统的微分方程为：,求分别输入,时的输出y(t)。,解：,解：,(1),对方程两边同时进行单边拉氏变换：,当元件初始储能为零时：,三、 应用拉氏变换分析电路,例：在图所示电路中加入一个单位阶跃电压u(t)。求输出电压vR(t)的初值vR(0)和终值vR() 。,解：,利用初值定理：,利用终值定理：,Example:已知因果电路LTI系统的电路图如图所示。其中,，,（1）画出电路的复频域模型，并求系统函数,（2）求系统的频率响应函数,，并判断系统的幅频特性近似为哪种滤波器。,解：