逆矩阵重点和习题

1、定理：行列式某一行（或列）的每一元素与另一行（或列）元素的代数余子式乘积之和为零。,即:,2 逆矩阵,一、准备知识,结合行列式的展开定理，有：,引例：若 ，求矩阵X，使：AX=E2,解：设,解线性方程组容易得到：x1=3, x2=2 ,x3=1, x4=1.,问题：对于矩阵A，是否存在一个矩阵A1，使得：,比较矩阵方程AX=B与数的方程ax=b.,二、逆矩阵的概念,1.定义：对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使 AB=BA=E，则称A为可逆矩阵（简称可逆），并称B为A的逆矩阵。,例：对于 ，,否则称A是不可逆的。,AB=E,=BA.,故A是可逆的,，并且B为A的逆矩阵。,A的逆矩阵记为：

2、A1,，即： A A1= A1 A=E,2.问题：,(1)怎么样的方阵才可逆？,(2)若A可逆，逆阵有多少个？,(3)若A可逆，怎样去求它的逆阵A1？,分析：,设B和C都是A的逆矩阵, 则：,AB=BA=E, AC=CA=E,B=BE,=B (AC),= (BA) C,=EC,=C,需证明B=C,（证明唯一性常用同一法）,又,注：适当乘上单位阵E，并将E表示成一个矩阵与其逆阵乘积的形式，是一种常用的技巧。,单位阵技巧,3.定理：若A可逆，则A的逆阵唯一。,三、逆阵存在的充分必要条件,1.定理：若A可逆，则 .,注：如果 ，则称A是非奇异的，否则称A是奇异的。,2.伴随矩阵：设An=（aij），

3、令Aij是A的行列式|A|中元素aij的代数余子式，将这n2个数排成如下n阶方阵:,（注意 中Aij 的排列）,称之为A的伴随矩阵。,例：求 的伴随矩阵。,同理可得：,解：,所以：,2,3,2,6,6,2,4,5,2,3.定理：设A为n阶方阵，若 ，则A可逆，且：,一行元素与另一行元素对应代数余子式乘之和,|A|,0,0,0,|A|,0,|A|,0,0,一行元素与对应代数余子式乘之和,同理：,证明：,例：求 的逆矩阵。,解：,A1存在，,故,注:求逆阵需注意:1.Aij的符号(-1)i+j;2. 中Aij的排列。,4.定理：方阵A可逆,推论：若A、B都是n阶矩阵，且AB=E，则BA=E，即A、

4、B皆可逆, 且A、B互为逆矩阵。,证明：,因为AB=E,，所以|A|B|=1,，|A|0, |B|0,故 A、B皆可逆。,BA,=EBA,=(A1A)BA,=A1(AB)A,=A1EA,=A1A,=E,注：1.判断B是否为A的逆, 只需验证AB=E或BA=E的一个等式成立即可。,2.逆矩阵是相互的。,即：若A1=B，则B1=A.,（课本54页推论1）,练习：1.求 的逆矩阵。,答案：1.,（其中|A|=1）,2.设A、B都是n阶方阵，B可逆，且A2+AB+B2=O，证明：A和A+B均可逆。,2.提示：只需证明,把A2+AB+B2=O改写为A(A+B)=B2,思考：,四、逆阵的性质,1.若A可逆

5、，则A1也可逆，且(A1)1=A.,2.若A可逆，数 ，则kA也可逆，且：,3.若A可逆，则AT也可逆，且 (AT)-1= (A -1)T.,4.若A、B为同阶可逆方阵，则其积AB也可逆，且: (AB)-1= B-1A-1,推广：,5.若A可逆，|A1|=|A|1,，(AB)-1 A-1B-1,注：一般的，,(kA)-1 kA-1,例：设 求矩阵X， 使 AX=B.,分析：法一：待定系数法,若,法二：,，则A可逆，,由 AX=B可得：,X=A1B,注：若YA=B,，则Y=BA1.,例：矩阵A、B满足AB=2A+B，求A，其中：,分析：, AB=2A+B, AB2A=B, A(B2E)=B,若|B2E|0,，则A=B (B2E)1,容易错为 A(B2)=B,A=B (B2E)1,练习：用逆矩阵解线