结构有限元法第6章等参数单元

1、,第六章 等参数单元,6.1 平面四结点等参元,6.1.1 坐标变换与等参单元,随单元形状而不同的局部坐标系，称为单元的自然坐标系,实单元,母单元,正方形的四个边对应于实际单元的边界，四个顶点也一一对应于 四个结点；正方形内任一点,都对应于实际单元内的一个点,实单元与母单元的一一对应关系可写为,用结点的坐标值,插值表示出单元内的坐标,与单元分析中常用的结点位移插值一样，,也可称为形状函数，,称为几何形状函数。,代入上式，则得,变成图(b)中相应线,两个单元的等百分线也一一对应,的直线，通过式(6-1)变换之后即是,平面上23直线,这种变换中含有乘积项,这不是一种简单的线性变换关系。,为形状函数

2、矩阵，这里采用了同样的形状函数(6-2)式， 用同样的结点插值表示出单元的几何坐标,与位移,这种单元称为等参单元。 也可以用不同的结点，不同的形状函数分别插值单元几何坐标,和位移,有所谓超参数单元和亚参数单元，但应用较少。,(3/4 3/4),6.1.2 单元刚度矩阵的计算,6.1.3 等参变换的条件和等参单元的收敛性,1.等参变换的条件,两个坐标之间一对一变换的条件是Jacobi行列式,不得为0,从上式可见，只要以下三种情况之一成立，即,就将出现 0的情况，因此在笛卡儿坐标内划分单元时，,要注意防止以上所列举情况的发生。,(b)所示单元结点3，4退化为一个结 点，在该点,(c)所示单元结点2

3、，3退化为一个结,点，在该点,(d)所示单元在结点l，2，3，,而在结点4，,在单元内连续，所以存在=0,2等参单元的收敛性,6.2 八结点曲边等参单元,的二次函数，所以是曲边2-6-3的方程,它是,每一条边都是一条二次曲线。如令 得,6.2.2 等参单元等效结点力,1集中力,如,处作用集中载荷,，将,代入,2体积力,3表面力,6.3 二十结点三维等参单元,6.3.1 形状函数,6.4 数值积分,在前几节的刚度矩阵和等效结点力的计算公式中，都需要作 如下形式的积分运算,数值积分有两类方法，一类方法积分点是等间距，例如辛普生方法；另一类方法积分点是不等间距的，例如高斯方法。在有限单元法中，由于被

4、积函数很复杂，一般采用高斯求积法，因为它可以用较少的积分点达到较高的精度，从而可节省机时。,6.4.1 一维高斯求积公式,举例：如取n =4,积分点数目n的选取与被积函数 有关,当,m次多项式时，,则取,当 不是多项式时，则需通过一些试算来判断选取适当的n值， n不能取得过大，否则计算工作急剧增加。,6.4.2 二维及三维高斯求积公式,6.4.3 等参元计算中数值积分阶次的选择,当在计算中必须进行数值积分时，如何选择数值积分的阶次将直接影响计算的精度和计算工作量。如果选择不当，甚至会导致计算的失败。选择积分阶次的原则，以一维问题刚度矩阵的积分为例：,如果插值函数N中的多项式阶数为p，微分算子L

5、中导数的阶次是m，则有限元得到的被积函数是,次多项式,(对于,等参元假设,是常数时)。为保证原积分的精度，应选择高斯,积分的阶次,，这时可以精确积分至,次多项式，可以达到精确积分刚度矩阵的要求。,对于二维，三维单元，则需要对被积函数值进一步的分析，例如二维4结点双线性单元，它的插值函数中包含 项 ，,在假设单元的 是常数(单元形状为矩形或平行四边形)的情况下，刚度矩阵的被积函数中包含 项。由于被积函数在 和 方向的最高次为2，所以要达到精确积分，应采用22阶高斯积分。,如果单元的 常数，则需要选取更多的积分点。,6.4.4 二维三角形单元和三维四面体单元的Hammer积分,在三角形单元和四面体

6、单元中，自然坐标是面积坐标和体积坐标，积分具有如下形式,积分限中包含了变量自身，Hammer等导出了有效的积分方案。二维三角形单元以及三维四面体单元的积分点位置，权函数见表6-3及6-4。,6.5 应力修匀,应力解的误差表现于： (1) 单元内部不满足平衡方程； (2) 单元与单元的交界面上应力一般不连续； (3) 在力的边界上一般也不满足力的边界条件。,介绍几种应力解的处理和改善方法，其中有一些是简单易行而又行之有效的，在实际计算中经常采用；有些则伴随有相当大的计算工作量，必要时才采用。,6.5.1 单元平均或结点平均,最简单的处理应力结果的方法是取相邻单元或围绕结点各单元应力的平均值。,1

7、取相邻单元应力的平均值,平均应力 (单元(1)应力十单元(2)应力),平均应力,2取围绕结点各单元应力的平均值,6.5.2 总体应力磨平,用位移元解得的应力场在全域是不连续的，我们可以用总体应力磨平的方法来改进计算结果，得到在全域连续的应力场。 总体磨平应力方法就是构造一个改进的应力解 ，此改进解在全域是连续的。改进解 与有限单元法求得的应力解 应满足加权最小二乘的原则。,6.5.3 单元应力磨平,应力总体磨平方法的主要缺点是计算工作量十分庞大。为了减少改进应力结果的工作量，当单元足够小时，磨平可以在各个单元内进行。 对于利用数值积分的曲边单元，经验表明在积分点上算得的应力具有最好的精度，而在结点上算得的应力的精度最差。这是因为形状函数的精度在靠近插值区域的边缘时通常都是较差的。所以形函