高等数学第8章8节多元函数的极值及其求法

1、第八节 多元函数的极值及其求法,一、多元函数的极值和最值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 三、小结,一、多元函数的极值和最值,1、二元函数极值的定义,例1,例,例,2、多元函数取得极值的条件,证,说明： 从几何上看，这时如果曲面 在点 处有切平面，则切平面 成为平行于 坐标面得平面 。,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点， 均称为函数的驻点.,驻点,偏导数存在的极值点,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意：,例4 求函数,的极值,解,先解方程组,求得驻点为,将上方程组再分别对,求偏导数,在点 处,所以函数在,处有极小值,又,在点 处，,所以,不是极值；,在点 处，,所以,不是极值；

2、,在点,处,又,所以函数在 处有极大值,与一元函数类似，可能的极值点除了驻点之外，,偏导数不存在的点也可能是极值点。,例如，显然函数,不存在。,因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外, 如果有偏导数不存在的点, 那么对这些点也应当考虑.,求最值的一般方法： 将函数在 D 内的所有驻点处的函数值及在 D 的边界上的最大值和最小值相互比较，其中 最大者即为最大值，最小者即为最小值.,与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值 来求函数的最大值和最小值.,3、多元函数的最值,例5 某厂要用铁板做成一个体积为8m3的有盖长方体 水箱问当长、宽、高各取多少时 才能使用料最省,解,根据题意可

3、知 水箱所用材料面积的最小值一定存在 并在开区域D(x y)|x0 y0内取得 又因为函数在D内只有一个驻点(2 2) 所以此驻点一定是A的最小值点,设水箱的长为x m 宽为y m 则所用材料的面积为,水箱所用的材料最省,根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在 D(x y)|0 x12 0a90 内取得 又函数在D内只有一个驻点 因此可以断定 当x8cm a60时 就能使断面的面积最大,令 Ax24sina4xsina2xsina cosa0 Aa24xcosa2x2cosax2(cos2asin2a)0,解这方程组 得a60 x8cm,例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来

4、做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折可使断面的面积最大？,解,则断面面积为,设折起来的边长为xcm 倾角为a,A24xsina2x2sinax2sina cosa,(0 x12 0a90),实例：小王有 200 元钱，他决定用来购买两种急 需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购 买 x 张磁盘， y 盒录音磁带达到最佳果， 效果函数为 U(x, y) = lnx+lny 设每张磁 盘 8 元，每盒磁带 10 元，问他如何分配这 200 元以达到最佳效果,三、条件极值拉格朗日乘数法,条件极值：对自变量有附加条件的极值,求解方程组,解出 x, y, z, t 即得 可能极值点的坐标.,解,则,例7 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积.,设长方体的长、宽、高为 x , y，z. 体积为 V .,则问题就是条件,求函数,的最大值.,令,即,由(2), (1)及(3), (2)得,于是，,代入条件，得,解得,这是唯一可能的极值点。,因为由问题本身可知，,所以，,最大值