《大学物理实验》有效数字和不确定度

1、大学物理实验,讲授内容,1.物理实验的课程设置及考核办法 2.与测量和误差相关的基础知识 3.有效数字的概念及运算法则 4.测量结果的评定 5.常用的数据处理方法,绪论,一.为什么开设大学物理实验课 物理学是许多应用学科的基础 物理学本身是一门实验科学 如电磁相互作用的发现，电磁波理论的确立。 物理实验中应用到的实验知识、方法和技能是其他科学实验的基础。,二.物理实验课的目的及任务,通过物理量测量，应用物理知识，验证理论，加深对物理学原理和规律的认识； 学习实验基本知识、基本方法和基本技能（三基），培养科学实验能力（实验方法、测量技能、分析处理数据）； 养成实事求是的科学态度，培养创新意识。

2、达到目的：会使用仪器，提高动手能力，善于总结实验，求实创新。 任务：定性观察物理现象；定量测定物理量的大小。,三.物理实验课的安排,分二学期完成 第一学期为基础实验，共8次，一次理论课（不确定度及数据处理）和7个实验；着重基础实验技能和习惯的培养 第二学期为自选题目，分为三个单元：基础性物理实验、综合性物理实验和设计性实验，共几十个题目，同学们可根据自己的学分、专业或兴趣选做。,四.三个教学环节及基本要求,三个教学环节: 1.课前预习实验能否取得主动的关键。 2.课堂实验。 3.课后报告实验的总结。,课前预习,课前预习 课前认真阅读实验教材，了解实验目的、原理、方法、内容、仪器等，主要预习原理

3、、仪器的调整及注意事项。要求课前写好预习报告。 预习报告 实验名称： 实验目的：通过实验达到的要求。 实验原理和内容：实验的理论依据，写出待测量计算公式的简要推导过程。,忌会三条： a.照抄讲义 b.只写一个代数式 c.无图 实验仪器：列主要仪器的名称、型号、规格等。 操作步骤：只写主要的、重要的。 此外，在原始数据记录纸上画好表格。 注意： 未写预习报告，取消本次实验资格；未画表 格，扣部分预习分。,课堂实验,带上教材、写好预习的实验报告，还有坐标纸、计算器等。 教师先简要讲解。 学生调试仪器、测试记录数据（用钢笔、圆珠笔填写，不得随意涂改）。 注意遵守实验室规则，了解实验仪器的使用及注意事

4、项。 注意：原始数据（用钢笔或中性笔填写）须经教师检查签字后才能离开，离开前应整理实验仪器，打扫卫生。,课后完成实验报告,课后报告： 实验数据记录 老师签字的原始数据附在实验报告上，切忌课后涂改数据 数据处理 计算平均值、不确定度，写出最后的测量结果，作图。 注意：数据计算要求写出中间过程，作图必须用坐标纸 结果分析 一定要有实验的结论和对实验结果的讨论、分析、建议或完成思考题。,五.成绩考核办法,每次实验报告的成绩平均，即为学期成绩； 上课时必须向老师提交预习报告，未预习取消实验资格，成绩记0分； 实验必须按时。迟到一分钟扣一分，15分钟以上则取消实验资格，成绩记0分； 编造、抄袭原始数据或

5、在报告中涂改原始数据，成绩记0分；预约实验而缺席，成绩记0分； 成绩为0分或不及格者，在实验室有空位并获老师同意，给予一次重做机会， 成绩按分数的80%计算，但最高不超过75分。 迟交报告者，只按照80%记分。 学生不按要求操作造成实验仪器损坏者，除按学校规定赔偿外，还可视情况扣除操作分。,实验报告的上交和领取,实验报告在实验完成的下一周星期一之前交，分实验投入A座3楼大厅专用实验报告箱内。几周后，可在四楼实验柜中分班级取回； 报告至少保存一学期，以备在成绩有误时核对查询。 今天课后完成三页题，三周星期一前交到三楼楼道的不确定度报告箱内，以后的实验按实验题目交。 实验报告纸到中心办公室323购

6、买，电话85990273,测量不确定度与数据处理,一.测量误差 1.测量：用实验方法找出物理量的量值叫测量，即把待测量与作为计量单位的同类已知量相比较，找出待测量的大小，比较的过程叫测量。 实验数据：比较的结果记录下来 原始数据（未经计算，须经老师签字） 正确记录数据：待测量的名称、大小、单位、准确度 如用游标卡尺测量钢球的直径,测量的分类,按测量方法分为：直接测量和间接测量 如通过测量钢球直径D（直接测量）来计算钢球体积V=D3/6（间接测量） 按测量条件分为：重复性测量（等精度测量）和复现性测量（非等精度测量） 按测量次数分为：单次测量和多次测量,2.误差,概念 误差,有正负大小之分，称绝

7、对误差,注意：绝对误差不是误差的绝对值,如测g 单摆 三线摆 气垫导轨,ms-2 9.782 9.795 9.811,误差存在于一切实验过程中，并因主观因素的影响， 客观条件的干扰及实验技术不同而不同。,讨论误差目的,对自己的实验结果进行评定，即置信度，置信度越高，测量越准确 分析测量中产生误差原因，找寻减小误差的方向，采取措施尽可能减小误差。如合理设计实验、选择仪器、采用一些测量方法（如比较法、复称法）、修正公式、调节仪器等，都是为了减小测量误差。 对测量中未能消除的误差作出估计。,误差分类及来源,根据误差性质及产生原因，可将误差分为系统误差和随机误差。 系统误差 定义：在一定条件下多次测量

8、同一量时，测量结果总向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。 特点：具规律，大小、正负恒定,来源,仪器误差：仪器本身缺陷 或没按规定使用仪器造成。 如仪器零点不准、停表走得快、电表放置方式不对。 理论误差：理论公式本身的近似性 或实验条件不能达到所规定的要求,如：单摆,近似为,光栅 dsin=k要求平行光垂直入射不满足,观测误差：由观测者本人生理或心理特点造成，如停表计时或读数。 方法误差：电流表外接,电流表内接,2个特点：具规律、可减小或消除。,系统误差又分： 已定系统误差，如千分尺的零差 未定系统误差，如给定级别的电表,减小方法 校正仪器：如校零或记下零读数修正。 改进实验方法：如对称

9、测量 减小理论误差：在公式中引入一些修正项，如单摆测g，须考虑摆球的体积大小及空气的浮力及阻力； 调试仪器 调试仪器重要减小系统误差,随机误差,随机误差又称偶然误差 由不可预测的随机因素造成 定义：在一定条件下，多次测量同一量时，误差的大小、正负以不可预知的方式变化（时大时小，时正时负，无确定性）。 特点：误差出现无规律，不能消除,来源,操作者感官分辨率的不确定 仪器性能的波动 测量环境的干扰 其它偶然因素 如电压不稳定，操作读数时的视差影响 但当测量次数很多时，大部分随机误差服从一定的统计规律（正态分布），后面讲。 可用增加测量次数的方法来减小随机误差，但测量次数不可能无限多，故不能完全消除

10、。,随机误差： 随机性 可通过多次测量来减小 系统误差：确定性 可用特定方法来消除 总之，误差的性质不同，来源不同，处理方法不同。有时系统误差与随机误差可以加以区别，有时又难以划分。但实验结果的总误差是随机误差与系统误差。,误差的几个相关概念,精密度：测量数据分布的集中程度，反映随机误差的大小 准确度：测量平均值与真值的符合程度，反映系统误差的大小 精确度：精密度和准确度的综合反映，精确度高表明测量数据集中分布在真值附近,精密度高,准确度高,精确度高,一般，精度多指精确度,二.有效数字及其运算法则,1.有效数字的概念 有效数字就是实验测量中记录的有意义的数字，它在一定程度上表明了测量误差的存在

11、，如用米尺测物体的长度，如图所示。 准确读出的是可靠数字，末尾一位是估读出来的，不准确的，叫欠准数（或可疑数），虽欠准，但有意义，使测量值更接近真实值。 有效数字几个可靠数字+末尾12位可疑数字,物体的长度在2223之间，可靠数字是22，可疑数字为估读， 0.6 或0.7，0.8，测量到物体长度的有效数字为22.6，22.7或22.8。,物体的长度为24，可靠数字是24，可疑数字为0.0，测量到物体长度的有效数字为24.0，末尾的0不能省略。,6.53769cm，可疑数后的数字无意义，不能在报告中出现； 估计数为零，也不能舍去，如6.50cm，不能写成6.5cm。 可疑数字的位置由使用该种仪器

12、测量时的绝对误差确定。 可靠数字在测量仪器的刻度上获得，可疑数字在测量仪器的刻度之间估计读数。例如上页图。,2.有效位数,有效数字：有意义数码的个数。 如6.53cm， 3位有效数字 “0”在有效数字中 中间或末尾的“0”应算有效位数 如2.008cm 4位 3.6120Kg 5位 8.0200103g 5位 注意：不能在数字的末尾随便加“0”或减“0”。 数学6.42=6.420=6.4200 物理实验6.426.4206.4200,有效数字前面的“0”不算有效位数 0.0089m 2位 0.0375cm 3位 单位换算有效位数不变 5.03cm=0.0503m=50.3mm 仍3位 注意：

13、大换小易出问题5.03cm50300m 数据过大或过小时，常用科学计数法（数量级表示法） 10n 单位 12.3m=1.23104mm 电阻值为30000 保留3位有效数字时写成3.00104 数显仪器所显示的数字，全部属于有效数字。,有效位数与测量工具精度及被测物大小有关,对同一被测物：高精度仪器，测量有效位数多 低精度仪器，测量有效位数少 如测量同一个长约2的物体 用mm刻度的米尺测得数据为2.01 3位 用20分度的游标卡尺测得数据为2.020 4位 对同一精度仪器：被测物体大，有效位数多 被测物体小，有效位数少,3.直接测量的有效数字记录,读数的一般规则：读至仪器误差所在位置。 例：米

14、尺测长度 当物体长度在35mm与36mm之间时，读数为35.mm；当读数正好为35mm时，读数为35.0mm。 例：用0.1级量程为100mA电流表测电流,当指针在82mA与83mA之间时，读为82.mA； 当指针正好为82mA时，读为82.0mA。,对于1.0级量程为100mA电流表,当指针在82mA与83mA之间时，读为82mA或83mA ；当指针正好为82mA时，读为82mA。,注意要点,测量数据的末位是欠准数，并与仪器误差位对齐，即使估读的是“0”也必须记下， 仪器误差在哪一位发生，欠准位数记录到哪一位，不能多记，也不能少记。 如用米尺测某一物体长度3.00cm 不同仪器测量，误差位不

15、同，对同一物理量，有效位数越多，表明测量结果越精确 连续可读仪器： 要估读误差位一般在估读位 非连续可读仪器：不估读误差位一般在最小刻度位 数字仪器：全部读,4.有效数字的运算法则,近似计算 加减法 间接测量的计算结果也只能保留12欠准数，物理实验通常只取1位 例 12.53+0.3421=12.8721=12.87 结论：和或差的结果的欠准位置（即末位）与参与运算的各量中欠准位置最高者相同。 例 32.1+26.653.926=54.8 推论：和差计算时，选择具有同等精度的仪器最为合理, 乘除法,例 4.11811.2=46.1 2 1 2=46.1 结论：积或商的结果的有效位数一般与参与运

16、算的各量中有效位数最少者相同 例 5.34820.537643=0.00291 推论：各量参与乘除运算时，应按使测量值有效位数相同的原则来选择仪器。 如测载玻片体积 V=abc 厚2mm 宽20mm 长：200mm, 乘方、开方 一般与其底的有效位数相同 9.863=959 =3.676 自然数（1，2，3）、无理数， ， 等 可看成无穷多位 计算时取的值应比最少位数多取1位，这样使结果更准确。,其他函数（如三角函数）的运算结果，则要用误 差来确定有效位数。,运算过程中，可以比上述规则多取一位，等计算出不确定度以后，再根据不确定度的所在位来确定最后结果的可疑位。, 有效数字的修约,四舍六入五凑

17、偶 补充：数字修约的国家标准 规定：要修约的数大于5时入，小于5时舍，正好等于5时则视拟保留的最后一位是奇数时入，偶数时舍。, 四则混合运算,按运算规则分级进行，每进行一级运算，按规定取舍 注意：不能按完计算器再取 例：524.50.05= 101.441.00+20.02=,524.50.05=1104 101.441.00+20.02 =101+1.26103 =0.101103+1.26103 =1.36103,三.测量结果的不确定度,不确定度的概念及其估算方法 测量结果的表达 各种测量结果的评定,1.不确定度的概念,在真值未知因而误差也未知的条件下，根据测量数据和测量条件按一定的理论方

18、法对测量可能的误差范围作出判断。 不确定度：测量的可能误差范围表明了测量结果（近真值）的可疑程度。 由于测量误差存在而对被测量值不能肯定的程度。 是指测量值（近真值）附近的一个小范围，是被测量真值在某个量值范围内的评定。 是测量质量的表征，不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。,不确定度比以前评定方法更科学、更全面 标准偏差：只包含统计误差 不确定度：除包含统计误差，还包含非统计误差 分类：A类不确定度：统计方法估算 B类不确定度：非统计方法估算 如天平称质量：天平的变动性为A类不确定度（随机误差），砝码的准确性、标尺刻度的准确性为B类不确定度（仪器误差）。,国际

19、标准化组织（ISO）1993 测量不确定度表示指南 中国国家技术规范 JJF1059-1999 测量不确定度评定与表示,2.A 、B类不确定度及合成不确定度,A 类不确定度 如随机误差，可通过统计方法估算出， 设对某物理量 进行了n次重复测量，可证算术平均值 是 的最佳估计值，即近真值,对有限次，具随机性，当测量次数n无限多时， 结果服从一定的统计规律正态分布，如图,x代表某一物理量的实测值；p(x)为测量值的概率分布；为数学期望值，横轴上任一点x-即为测量值相应的随机误差分量；标准差决定全部测量值的离散程度。图中阴影区域（-，+）的面积是随机误差在范围内的概率即测量误差落在该区间内的概率：p

20、68.3,正态分布特点： 单峰性：小误差出现概率比大误差出现的概率大 对称性：以为对称轴。具有抵偿性， 取多次测量的平均值有利于消减随机误差 归一性： p(x) 函数具有归一性。,值越大，曲线越扁平。无论的值是多少，在区间（-，+）对p(x)积分的值等于0.683，即x值出现在该区间的几率或称该区间的置信概率为68.3%。,的不确定度：,贝塞尔公式,实验标准差,表测量结果的分散性,式中偏差,偏差不等于误差，但同样反映误差；误差不可计算， 但偏差可计算，用偏差代替误差。,多次测量的平均值比单次测量更准确 的不确定度（即A类不确定度）：,为平均值的实验标准差。,时，,n应充分多，一般n5 ，对学生

21、实验n3,记为,B类不确定度,不能用统计方法估算，一般由系统效应导致，它的来源比较多。 要完整、准确评定B类不确定度相当复杂，由于某些仪器是非标准仪器，没定期校正、没在规定条件下使用、同学们的经验所限等，定量评定B类不确定度很困难。 对一些简单实验，仪器误差视为B类不确定度的主要来源。 从仪器的极限误差估计B类不确定度,学生实验仪器未按规定按期校验，误差可能大于出厂误差，而且误差要从最不利情况考虑，作为近似取K=1,K：13,仪器误差的确定,由仪器的准确度表示 如数字仪器，测量周期0.01s 由仪器的准确度级别来计算（电学仪器）,指针式电表：,Am：量程 a：准确度级别,电阻箱：,：测量值,例

22、：电流表（0.5级）,电压表（0.1级）,未给出仪器误差时（非电表） 连续可读仪器： 最小分度 非连续可读仪器： 最小分度 例：温度计：最小分度=1， 米尺：最小分度=1mm， 千分尺：最小分度=0.01mm， 游标卡尺：50分度 最小分度=0.02mm 电子秒表：最小分度=0.01s，,合成不确定度,A、B两类不确定度互不相关 标准不确定度,形式为方和根,反映测量结果的可信赖程度,3.测量结果的表达,测量某物体体积V=242.6cm3,按国家标准，测量结果可表示为：,a V=242.6cm3,b V=242.6（5）cm3 c V=242.6（0.5）cm3 d V=（242.60.5）cm

23、3 国内物理学界习惯用d种表达方式 本课规定实验报告一律采用d种方式,单位,注意,意义： 测量结果的标准表达式，给出了一个范围 ，表示待测量的真值落在 之间的概率为68.3%，不要误认为真值为 或 ，也不要误认为真值一定在 之间。 近真值、不确定度、单位三要素缺一不可,规定 只取1位或2位有效位数。（学生实验只取1位即可，多余位数按四舍五入） 如 与 的三个一致：单位一致、数量级一致，近真值与不确定度的末位一致（即近真值与不确定度二者的末位对齐） 所以 的末位数由 决定,取,例子,L=76.240mm =2mm L=（762）mm 改错：,或,相对不确定度,常用于比较不同测量结果的好坏，E越小

24、测量结果质量越好。 规定：取2位有效数 注意：不带单位，常用百分数表示 评价测量结果好坏，只能看相对不确定度的大小,单纯从 、 不能衡量测量结果好坏,的测量质量较好。,例：,可从E求 ：,评价测量结果，有时用百分偏差表示,B：规定取2位有效位数、不带单位、百分数。 表示测量值偏离公认值的程度，B越小， 测量的准确度越高。,：已知的准确度较高的公认值，如,3.各种测量结果的估计方法单次测量,有些测量较准确，随机效应影响很小或最终结果中该物理量影响较小，上述情况只需进行单次测量，以仪器误差作为测量的不确定度 例：用20分度的游标卡尺单次测量某物的长L，测量值为3.750cm。此单次测量的结果应写为

25、： L=（3.7500.005）cm,单位,多次直接测量,计算近真值 ：,中间过程可多保留一位,A类不确定度：,可简写为,B类不确定度： 标准不确定度： 测量结果的表达式：,可简写为,可简写为,单位,例子,例1 用毫米刻度的米尺，测某物体长度5次，其测量值分别为：L（cm）=53.27，53.23，53.29，53.24，53.21，试计算合成不确定度，并写出测量结果。 解：计算 计算A类不确定度,计算B类不确定度 标准不确定度 测量结果 L=（53.250.05）cm 例2 书P19例子,间接测量,函数关系 N=F（x，y，z） 其中x，y，z为已测得的数据 间接测量的 与 由直接测量结果通

26、过函数式计算出来 计算并写出各直接测定量的测量结果 计算间接测量的近真值,间接测量的标准不确定度 上式为不确定度的传播公式，各直接测量的u乘函数对各自变量的偏导，再求方和根。 注意：最基本式子，可计算所有 ,方和根形式 偏导数的求法 ：例,当函数式为积商（或含和差的积商形式）或较复杂的函数，为运算方便，也可先求相对不确定度 测量结果： 单位,例子,例1 已知电阻 ， ，求它们的串联电阻R及合成不确定度 解：,R=（200.00.7）,解： 计算的平均值, 计算的不确定度, 写出的测量结果 =（2.6970.006） g/cm3,例3 用物距象距法求凸透镜的焦距 已知： 求： 解： 若用传播基本

27、公式，数学计算相当复杂，先对函数取自然对数,复现性测量,复现性测量：改变测量条件所做的多次测量 例：已测得同一电阻两端施加不同电压U 时产生的电流 I ，求电阻的阻值R （R = U / I）。 可求各次测量对应的 ，再求 。 复现性测量是改变测量条件做的多次测量，其A类不确定度已经包含某些未定系统误差 测量结果,注意：复现性测量不须考虑 如复摆为复现性测量,例子 例：用伏安法测电阻，得出以下数据，求测量结果,计算R值：R1= R2= R3= R4=,近真值： = 9.91 A类不确定度： SR = 0.2 测量结果： R=(9.90.2),各种实际测量中不确定度的计算或估算,单次直接测量：只

28、估算B类不确定度 多次直接测量： u按照合成不确定度计算 间接测量：通过计算解析式的全微分方和根求得 复现性测量：只算A类不确定度,四.常用数据处理方法,物理实验中常用的数据处理方法有：列表法、作图法、图解法、最小二乘法等。见P26 列表法： 要求：要把原始数据和必要的中间运算过程的结果列入表中； 必须标明每个符号所代表的物理意义，并写明单位； 表中的数据要正确的反映测量结果的有效数字,作图法： 作图规则：作图一定用坐标纸，测量数据中的可靠数字在图上也应是可靠的，即图纸上一小格对应数据中可靠数字的最后一位，而误差位在小格之间估计。 标明坐标轴和图名 标点 连线：光滑，注意剔除“坏点”,霍耳电压与工作电流的关系,用数学表达式来描述一种物理现象，是最为精确和简明的方式。获得经验公式的方法很多，常用以下两种： 图解法：直观简便、但主观随意性较大 线性回归最小二乘法及其相关系数 r 定义：由数