第4讲信号分析与处理 倒频等

1、第,2,章信号分析与处理,2.1,数据的数字化（,A/D,模数转换）,2.2,随机振动信号的幅域分析,2.3,随机振动信号的时域分析,2.4,随机振动信号的频域分析,2.5,倒频谱分析,2.6,其他频域分析方法简介,机械故障诊断学,Anhui University of Technology,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,一、,双通道频域分析,两个时间波形的频谱分析,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,e,),(,R,),f,(,S,f,2,j,xy,xy,互功率谱密度函数,在频域中研究两个信号之间的关系,),f,(,S,xy

2、,(,),(,),/,(,),(,),(,),/,(,),xy,x,H,f,S,f,S,f,H,f,Y,f,X,f,?,?,应用：,.,故障信息的传递特性（频响函数）的研究,当系统的输入（激励）为,x(t),输出为,y(t),，两信号间的互谱密,度为,，,则该系统的传递函数为,2.,查找故障源,对转子系统，如果转子一端某个异常频率下的值较高，而在,互功率谱图上该频率下并无明显峰值，则表明问题出在异常频带,幅值较高的一端，与转子的另一端关系不大。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,二,、,特征频率抽取方法,一个频谱曲线是由若干条谱线组成，观

3、察这些谱线来寻找诊,断信息。显然，谱线数量太多，各个谱线所起作用不同，不便于,分析，利用信号的频谱抽取对诊断用处较大的特征值是很常用的,方法。,频率抽取方法有,：,峰值频率及其谱值（只取谱图上形成峰值的频率及其谱值）；,设定若干频率窗（在某些频率段设立若干频率窗，以窗口平均,高度或面积作为特征值）；,谐波分析（以某个频率为基波，求它的高次谐波频率功率与基,波功率之比）；,功率谱密度函数的统计矩（零次、二次、四次,等）作为特征值等。,?,?,?,0,x,n,n,df,),f,(,S,f,M,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,三、频率细化技术

4、,随着科学技术的发展，对信号分析与处理提出了更高的要求，除了,要快速实时外，对频率分辨率的要求也越来越高。细化技术就是一种局,部放大，用以增加某些有限部分（感兴趣的频段）上的分辨能力的方法，,比如复调制法、,Chrip-Z,变换、相位补偿,Zoom-FFT,等。一般的,FFT,分析,是一种基带的分析方法，在整个分析带宽内，频率是等分辨率的。,T,1,t,N,1,N,f,N,f,56,.,2,f,s,m,?,?,?,?,?,?,要提高频率分辨率（即减小,f,），如加大采样间隔,t,（降低采样频,率），这样将缩短分析频带；增加采样点数会导致快速傅立叶变换次数,增加次数的平方倍计算量，快速傅立叶变化

5、中采样点数一般是固定的,（如,512,、,1024,、,2048,），不能直接使用,。且但频率细化不是要全频,段细化，出现了一些新的方法。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,t,0,f,2,j,e,),t,(,x,?,?,0,f,?,?,0,0,0,2,2,2,2,(,),0,(,),(,),(,),(,),(,),j,f,t,j,f,t,j,ft,j,f,f,t,F,x,t,e,X,f,x,t,e,e,dt,x,t,e,dt,X,f,f,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,0,f,),(,0,

6、n,x,n,f,f,j,s,e,),/,(,2,0,?,?,0,f,),(,n,x,根据付氏变换性质知，对时域信号,作变换时，在频,谱上产生,的频移，即,将任选频段的中心频率,移至原点处，然后再按基带的分析方法，,即可获得细化频谱，这就是复调制细化（,HR-FA,）方法的原理。,对,以,进行复调制，,为所感兴趣,的频率中心，得到序列,，,再进行,FFT,。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,特点,（,1,）如果不进行移相，转化为时域的傅立叶变换,需要用到,MN,个点进行计算。,（,2,）移相后，转化为频域只需要,N,个点计算，提,高分辨率

7、所用的计算量没变。,（,3,）关键的条件,移相改变了采,样信号的最高频率（采样频率）。实际上是减少,了信号的采样频率。,2,1,max,/,f,f,f,M,?,?,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,四、短时傅立叶变换,加窗傅立叶变换,?,?,?,?,?,?,?,dt,e,t,h,t,f,STFT,t,j,f,?,?,?,?,),(,),(,),(,*,将信号乘以一个滑动的窗函数后对窗内信号,h(t-,),进行傅立叶变换,特点：,具有时频局部化能力，,h(t-,),在时域中是滑动窗，在频域,中相当于带通滤波器。,可分析非平稳信号，由于其,基

8、础是傅立叶变换，故更适,合分析准平稳信号。,在,STFT,计算中，选定,h(t),，,则时频分辨率保持不变。,2.,其他频域分析方法简介,原理：,短时傅立叶变换是,研究非平稳信号,最广泛使用的方法。,假定我们听一段持续时间为,1h,的音乐，在开始时是有小提琴，,而在结束时有鼓。如果用傅立叶变换分析整个,1h,的音乐，傅,立叶频谱将表明对应小提琴和鼓的频率的峰值。频谱会告诉,我们有小提琴和鼓，但不会给我们小提琴和鼓什么时候演奏,的任何表示。如果要求更好的局部化，那就把这,1h,划分成,1min,一个间隔，甚至更小的时间间隔，再用傅立叶变换分析,每一个间隔。,短时傅立叶变换的基本思想：,把信号划分

9、成许多小的时,间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以确定在哪个,时间间隔存在的频率，这些频谱的总体就表现了频谱在时间,上是怎样变化的。,为了研究信号在时刻,t,的特性，人们,加强在时刻,t,的信号而衰减,在其它时刻的信号,。这可以通过用中心在,t,的窗函数,h,（,t,）乘信号,来实现。产生的信号是：,改变的信号是两个时间函数，即所关心的固定时间,t,和执行时间,?,。,窗函数决定留下的信号围绕着时间,t,大体上不变，而离开所关心时,间的信号衰减了许多倍，也就是,该方法时间窗长度固定，不能满足低频要长的时间窗，高频要短,的时间窗的要求。,Anhui University of Techno

10、logy,2.,其他频域分析方法简介,),(,),(,),(,t,h,x,x,t,?,?,?,?,?,?,?,?,?,t,t,x,x,t,远离于,对于,接近于,，对于,0,),(,),(,?,?,?,?,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,五、小波变换,?,?,?,?,?,?,dt,t,t,x,WT,x,),(,*,),(,1,),(,?,?,?,?,?,?,观察到波形压缩（伸展）的信号,),(,t,?,?,?,0,),(,dt,t,?,?,),(,?,?,?,?,t,),(,?,?,?,t,是满足,（振荡性）和在时域内具有紧支性（时域,有

11、限）的函数，成为小波。可通过平移,和伸缩,构成函数族。当,增大,（减小）时，,在时间上扩展（收缩），即可计及长（短）的时间,历程。,可见，当增大（减小）时，通过一固定的,（即滤波器），,观察到波形压缩（伸展）的信号。,是尺度因子，其变化的实质是改变了采,样长度，从而滤掉了了原始信号中的周期大于一定值的成分，大尺度采样长,度大，可观察总信号，小尺度采样周期短，可观察细微信号。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,小波变换特点：,对非平稳信号进行时域分析，其时频局部化方式是：在高频,范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高。对高频,信号有较

12、高的频率分辨率，对低频信号有较大的时间分析长,度。,信号的分解和重构可有针对性地选择有关频带信息，剔除噪,声干扰；,在全频带内正交分解的结果，信号量既无沉余也无遗漏；,若非平稳信号由低频长波叠加高频短波组成，小波变换是最,理想的分解工具。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,小波变换特点：,对非平稳信号进行时域分析，其时频局部化方式是：在高频,范围内时间分辨率高，在低频范围内频率分辨率高。对高频,信号有较高的频率分辨率，对低频信号有较大的时间分析长,度。,信号的分解和重构可有针对性地选择有关频带信息，剔除噪,声干扰；,在全频带内正交分解的结

13、果，信号量既无沉余也无遗漏；,若非平稳信号由低频长波叠加高频短波组成，小波变换是最,理想的分解工具。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,原始时域波形,小波分解后提取的时域波形,小波变换实例,如：某,轴承巴氏,合金剥落,时的原始,波形和分,解后尺度,为,4,的时域,信号。,2.,其他频域分析方法简介,六、,Wigner,分布,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,d,e,t,x,t,x,f,t,w,ft,j,x,2,*,),2,/,(,),2,/,(,),(,/2,2,/,0,(,),2,(,),(,),*(,),M,j,mk,M

14、,x,k,n,w,n,m,P,k,x,n,k,x,n,k,e,?,?,?,?,?,?,?,实际应用中，采用加窗离散形式,这里,P(k),是长度为,M,，中心位于,n,的窗，如,Hamming, Hanning, Gabor,等。,机组喘振时的,Wigner,分布,机组支座松动时的,Wigner,分布,有室性心动过速,(,右侧图形,),和不具,有室性心动过速的,心电因分析结果。,A,、,b,为魏格纳分,布，,c,为小波变换。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,特点：,是信号,x(t),的能量在时频上的分布，直观；,由于窗,P(k),的局部化

15、作用，,x(n+k)x*(n-k),及关系，具有,对准平稳或非平稳信号分析的能力；,对于调幅、调频信号及随机噪声均有直观表示；,机组发生喘振的初期，所产生的低频分量一般存在调幅现象，,在图中可看出该低频分量的调幅波动情况。支座松动时其振动幅值,和频率的不稳定性可清楚地得到展现。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,欧几里德空间中，空间维数是整数。,20,世纪,70,年代曼德布特提出，分形是一类无规则、混乱而复杂，但其,局部与整体有相似性的体系。体系的形成具有随机性，其维数是分数，成,为分维,D,f,。,豪斯道夫,1919,年提出连续空间的概

16、念，空间的维数不是跃变的，可以,连续变化的，定义：,对一体积为,A,的几何体，用半径为,r,的小球去测，所需小球个数为,N,，,则豪斯道夫维数（分维数）为,七、分形几何,),/,1,ln(,ln,),(,r,N,D,r,f,?,最基本的分维数计算方法是变尺度法等，以曲线的分维数计算为例，它,是用不同的尺度去度量曲线的长度,P,，有,即,f,D,C,P,?,?,1,?,?,C,D,P,F,?,?,?,?,?,ln,),1,(,ln,2.,其他频域分析方法简介,?,P,ln,?,ln,f,D,m,?,?,1,m,D,f,?,?,1,作出,的双对数拟合直线，直线斜率,显然,，,m,为负数。,曲线的分

17、维数的大小取决于该曲线在空间中充满的程度。对于一确定的,直线，其分维数等于其拓扑维数,1.0,，对于白噪声序列产生的曲线其分维数为,2.0,，对于一般的曲线其分维数介于,1.0,2.0,。,机组的轴心轨迹及分形维数,某气压机组一个运行周期内,不同时刻的轴心轨迹如下图，可,见轴心轨迹越来越不稳定，其分,形维数分别为,1.387,，,1.543,，,1.615,，很好地定量反映了机组,实际情况。,Anhui University of Technology,2.,其他频域分析方法简介,21,栅栏效应与窗函数,1,、栅栏效应,为提高效率,通常采用,FFT,算法计算信号频谱，,设数据点数为,N,，采样

18、频率为,F,s,。则计算得到的离,散频率点为,:,Xs(F,i,),，,F,i,= i *F,s,/ N , i = 0,，,1,，,2,，,.,，,N/2,X(f),f,0,f,如果信号中的频,率分量与频率取样点,不重合，则只能按四,舍五入的原则，取相,邻的频率取样点谱线,值代替。,22,可见在进行,DFT,的过程中，最后需对,信号的频谱作采样，经过这种采样所能,显示出来的频谱仅在各采样点上，而不,在此类点上的频谱一律显示不出来，即,使在其它点上有重要的峰值也会被忽略,，这就是栅栏效应。,23,2,能量泄漏与栅栏效应的关系,频谱的离散取样造成了栅栏效应，谱峰越尖,锐，产生误差的可能性就越大。

19、,例如，余弦信号的频谱为线谱。当信号,频率与频谱离散取样点不等时，栅栏效应的,误差为无穷大。,24,实际应用中，由于信号截断的原因，产生了,能量泄漏，即使信号频率与频谱离散取样点不相,等，也能得到该频率分量的一个近似值。,从这个意义上说，能量泄漏误差不完全是有,害的。如果没有信号截断产生的能量泄漏，频谱,离散取样造成的栅栏效应误差将是不能接受的。,25,能量泄漏分主瓣泄漏和旁瓣泄漏，主瓣泄,漏可以减小因栅栏效应带来的谱峰幅值估计误差，,有其好的一面，而旁瓣泄漏则是完全有害的。,26,3,常用的窗函数,1,）矩形窗,27,2,）三角窗,28,3,）汉宁窗,29,常用窗函数,30,数字信号分析处理

20、中存在的问题,及解决方法,1,）量化误差,时间离散、幅值离散。量化误差的最大值,为数字编码最后位所代表值的一半。,途径：加大量化编码的位数。十二位、十,六位。,2,）混叠,措施：,提高采样频率，,降低信号的最高频率,f,max,。抗混叠滤波。,31,3,）泄漏,措施：,增加截断长度。,采用不同的窗函数。目的使主瓣突出，二是使,旁瓣尽快衰减。但实际上两者往往不可兼的得。,4,）栅栏效应,措施：,整周期截取,;,采用不同的窗函数。,2020/3/26,设备故障诊断学,32,三、小波分析,如前所述，,傅里叶变换,可以将时域信号变换到,频域中的谱，但它只适用于稳态信号分析，其结果,是它既不能有效地提供

21、暂态信号的频域信息,而,STFT,通过构造窗函数,w(t),可以得到与时间有,关的信号频谱的描述，但是它对所有的频率都用同,一个窗，使得分析的分辨率在时间,-,频率平面的所有,局部都相同，这就导致在时间和频率上均有任意高,分辨率是不可能的。,于是，我们需要一个“柔性”时频窗、其在较,高的频率处时域窗可以自动地变窄，而在较低的频,率处时域窗又可以自动地变宽。这就是,小波分析,。,2020/3/26,设备故障诊断学,33,小波分析其基本思想是采用时窗宽度可调的小,波函数替代短时傅立叶变换中的窗函数。,也就是说,小波变换在时频平面不同位置具有不同的分辨率，,是一种多分辨（率）分析方法。其目的是“既要

22、看,到森林（信号的概貌），又要看到树木（信号的细,节）”，因此，它又称为,数学显微镜,。它是将信号,交织在一起的多种尺度成分分开，并能对大小不同,的尺度成分采用粗细的时域或空域采样步长，从而,能够不断地聚焦到对象的任意细节。这就是小波优,于短时傅立叶变换的地方。,2020/3/26,设备故障诊断学,34,小波分析发展简介,:,小波分析作为一门新的学科分支目前正在众多研究领域,掀起研究热潮。在,数学领域,、它被认为是调和分析近半个世,纪的工作结晶能够压缩奇异积分算子，求解偏微分方,程构造近似惯性流形并被广泛用于逼近论；在,量子力学,中，,一个量子场的基于正交小波基的相细胞簇的展开具有一系列,良好

23、的性质，为研究量子场结构提供了新方法；在,流体力学,中，它被用来模拟湍流的流动得到湍流流动的某些分解；,在,数字信号处理,领域，小波与多分辩率滤波、正交景象滤波,以及分波段编码等紧密联系，在数据压缩编码、持征提取等,方面取得了重要进展；小波分析也为,计算机视觉处理,提供了,新的模型在图象的压缩、边缘检测和纹理识别等方面发挥,着重要的作用、对自相似过程和分形信号的研究，小波方法,也提供了强有力的工具。小波分析可以认为是,Fourier,分析,发展史上里程碑式的进展。,2020/3/26,设备故障诊断学,35,小波分析的历史可以追朔到本世纪中叶。在纯,数学领域，,Calderon,于,1964,年

24、在调和分析中的恒等,算子分解理论。物理学中,Aslaken,和,Calland,于,1968,年在量子力学对仿射群所构造的凝聚态，以及在工,程界,Esterban,和,Calland,于,1977,年提出的,QMF,滤子都,涉及到小波分析。,1983,年法国地质学家,J,Morlet,在,处理地质资料时偶然中又重新发现了数学家的工作。,随后，理论物理学家,A.Grossmann,：和数学家,Y.Meyer,等在理论上对小波分析做了一系列深入研究，,将,Morlet,的想法作了出色的数学描述，大大丰富了,调和分析的内容。,2020/3/26,设备故障诊断学,36,90,年代初期，在信号处理界,I

25、.Daubechies,和,S.mallat,最先注意到小波分析在信号分析领域具有,重要的应用前景，并作出开创性的贡献，发展了快,速算法使小波分析的研究者在不同学科间搭起桥,梁。在他们的推动下小波分析在信号处理、图象处,理等很多方面获得应用。,1987,年在法国召开了第一,届小波分析的国际会议，之后有关小波分析的会议,和论文如雨后春笋此起彼伏人们称之为“小波热,潮”，我国也于,1992,年在武汉大学召开了“中法首,届小波分析研讨会”。,2020/3/26,设备故障诊断学,37,将时程函数表示为下面的小波级数：,其中，,是,小波函数,，,是,小波系数,，且,由公式（,14,）到（,16,）,可以

26、看到，小波级数是,两重求和，,小波系数的指标不仅有频率的指标,，而,且还有时间的指标,。也就是说，小波系数不仅像傅,立叶系数那样，是随频率不同而变化的，而且对于同,一个频率指标,，在不同时刻,，小波系数也是不同,的。,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,j,k,k,j,k,j,k,j,j,k,k,j,t,d,t,f,t,f,),(,),(,),(,?,?,?,),2,(,k,t,j,k,j,?,?,?,?,),(,t,?,k,j,d,?,?,k,j,k,j,f,d,?,（,14,）,（,15,）,（,16,）,j,k,k,j,2020/3/26,设备

27、故障诊断学,38,由于小波系数随时间变化，所以，不论是平稳,信号还是非平稳信号得到的小波频谱与实际的物理,频谱，都十分接近。由于小波具有,紧支撑,的性质，,局部突变信息的作用能很好地反映出来，处理、捕,捉突变信号，灵敏度很高。,小波函数的选择，对分析结果影响很大。小波,分析的最重要的应用是,滤波，,为了保证滤波不失真，,小波函数必须具有,线性相位，,至少具有,广义线性相,位。,小波分析的另一重要应用是,捕捉、分析突变信,号，,这就要使用函数的,导数，,小波函数至少是,连续。,由前面分析可知,，,小波函数必须具有,紧支撑,的性质。,所以，,正交、线性相位、连续、紧支撑,是选择小波,函数的“四项原

28、则”。,2020/3/26,设备故障诊断学,39,如果选择某个小波函数，同时满足四项指标，,那真是人类的福气。,遗憾的是，上帝像是有意考验我们的数学家，,没有将“四合一”的小波函数“直接”恩赐给人类。,数学家们已经证明，具有正交、线性相位、紧支撑,的小波函数只有,Harr,函数，而,Harr,函数是间断函数，,对于工程应用来说，是不理想的。,目前，一种倾向是坚持正交性。另一种倾向是,放弃正交性，另辟途径，进行艰辛的长征，前仆后,继，花费了将近半个世纪的探索，才使小波分析理,论成熟起来，得以在工程中应用。作为后人，我们,要忠心地感谢他们。,2020/3/26,设备故障诊断学,40,实际应用中，几何形态上小波函数一般都具有以下两个,特征：,?,必须是振荡函数；,?,必须是迅速收敛的函数。,下图,a,所示正弦函数振荡但不收敛。因此不是小波函数。,下图,b,所示函数迅速收敛但不振荡，因此也不是小波函数。下,一页图所示为几种常见的小波函数。,2020/3/26,设备故障诊断学,41,几种常见的小波函数,a)Lemarie,小波，,b)