word完整版)一元一次方程知识点及经典例题(2),推荐文档

1、精心整理、知识要点梳理知识点一：方程和方程的解1.方程：含有的叫方程注意：a.必须是等式b.必须含有未知数。易错点：（1）.方程式等式，但等式不一定是方程；（2）.方程中的未知数可以用 x表示，也可以用其他字母表示；（3）.方程中可以含多个未知数。考法：判断是不是方程：例：下列式子： .8-7=1+ 0（ 2）.1、一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0（其中x是未知数，a,b是已知数，且0）。要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件:（1）只含有一个未知数；（2）未知数的次数是1 次;（3）整式方程.2、方程的解：判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等.知

2、识点二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性质）等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。如果那么肚土鸟土口；（c为一个数或一个式子）。等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0的数，结果仍相等。a _ i如果皿，那么；如果宀，那么要点诠释：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0的数，分数的值不变。精心整理精心整理a am _ tn即：B尿（其中vm0）特别须注意：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母210冥-3010+40中的小数）化为整数，如方程：-02= 1.6，将其化为：52= 1.6。方程的右边没有变化，这

3、要与“去分母”区别开2、解一元一次方程的一般步骤:解一元一次方程的一般步骤变形步骤具体方法变形根据注意事项i去分母方程两边都乘以 各个分母的最小 公倍数等式性质21. 不能漏乘不含分母的项；2. 分数线起到括号作用，去 掉分母后，如果分子是多项 式，则要加括号去 括 号先去小括号，再 去屮括号，最后 去大括号乘法分配 律、去括 号法则1. 分配律应满足分配到每一 项2. 注意符号，特别是去掉括 号移 项把含有未知数的 项移到方程的一 边，不含有未知 数的项移到另一 边等式性质11. 移项要变号；2. 一般把含有未知数的项移 到方程左边，其余项移到右 边合并同类项把方程中的同类 项分别合并，化

4、成“ ax b ”的形 式（a 0）合并同类 项法则合并同类项时，把同类项的 系数相加，字母与字母的指 数不变未 知 数 的 系方程两边同除以 未知数的系数a,得x ba等式性质2分子、分母不能颠倒数 化 成“ 1要点诠释：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用_ b aO时，方程有唯一解 区; a=0, b=0时，方程有无数个解； a=0, bO时，方程无解。牛刀小试例1、解方程I_ _ 亠 .y 1 小 y 2(1) y-2 25例2、由两个方程的解相同求方程中子母的值已知方程x 10 4x的解与方程5x 2m 2的解相同，求m的值.例3、解方程知识与绝对值知识综合题型

5、 解方程：l2xH 73二、经典例题透析 类型一：一元一次方程的相关概念已知下列各式:丄2x 5= 1;8 7= 1;x + y;戈 x y = x2;3x+ y= 6;5x+ 3y+ 4z= 0;丄血=8;x = 0。其中方程的个数是()A、5B、6C、7 D 8举一反三:精心整理精心整理变式1判断下列方程是否是一元一次方程：(1) -2x2+3=x (2) 3x- 1=2y (3) x+：=2 (4) 2x2-1 = 1-2(2x-x 2)变式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6= 0是一元一次方程，求 a的值变式3 ( 2011重庆江津)已知3是关于x的方程2x a=1的解

6、，则a的值是()A. 5B. 5C. 7D. 2精心整理类型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活 安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效 果。1. 巧凑整数解方程:11 丄 92 5十一斗二 云579 7举一反三:变式解方程:2.巧去括号解方程:=2x 5-举一反三:变式解方程:4.运用拆项法解方程:精心整理5.巧去分母解方程:0.0710.7举一反三：|0.3x + 0.5_变式（2011山东滨州）依据下列解方程023的过程，请在前

7、面的括号内填写变形步骤，在后面的括号内填写变形依据。办+ 5_2“1解：原方程可变形为 23 （）去分母，得 3 (3x+5) =2(2x-1).()去括号，得 9x+15=4x-2.()(,得9x-4x=-15-2.()合并，得5x=-17.（合并同类项）17(）,得x=盘.()6. 巧组合解方程：加 買一5丄予 x3丄2買+3C7、丁+=丁+丁思路点拨：按常规解法将方程两边同乘 72化去分母，但运算较复杂，注意到左 边的第一项和右边的第二项中的分母有公约数 3,左边的第二项和右边的第一项的分 母有公约数4,移项局部通分化简，可简化解题过程。精心整理7. 巧解含有绝对值的方程:08、|x 2

8、| -3= 0思路点拨：解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x| = m则x = m或 x= m也可以根据绝对值的几何意义进行去括号，如解法二。举一反三:【变式1】（2011福建泉州）已知方程xl = 2，那么方程的解是 变式 2 5|x|-16 = 3| x|-4池4变式328. 利用整体思想解方程：一警*答巴*+-0思路点拨：因为含有兀的项均在“加+1”中，所以我们可以将空+1作为一个整 体，先求出整体的值，进而再求尤的值。参考答案例1:解：是方程的是

9、，共六个，所以选 B 精心整理精心整理总结升华：根据定义逐个进行判断是解题的基本方法，判断时应注意两点：一 是等式；二是含有未知数，体现了对概念的理解与应用能力。举一反三1. 解析：判断是否为一元一次方程需要对原方程进行化简后再作判断。答案：(1)( 2)( 3)不是，(4)是2. 解析：分两种情况：=_5(1) 只含字母 y，则有(a-3)(2a+5) = 0 且 a-30(2) 只含字母x，则有a-3 = 0且(a- 3)(2a+5)工0不可能_s f- i综上，a的值为V。3. 答案：BI9 .52 11_工十_x =例2.解：移项，得？7牛9。合并同类项，得2x =- 1。系数化为1,

10、得x =空。举一反三解：原方程可变形为I(0 你 + 0 9)x20 _ (0.04+03x)x500 05x200 02x5&= 2x 5整理，得 8x+ 18- (2 + 15x) = 2x- 5,去括号，得 8x + 18-2- 15x= 2x- 5移项，得 8x 15x 2x= 5 18+ 2合并同类项，得9x =-21精心整理精心整理71张一 5+ 1-2=1例4解：去括号，得系数化为1得x=3弘-5去小括号，得 5 去分母，得（3x 5） 8= 8去括号、移项、合并同类项，得 3x = 21两边同除以3,得x = 7原方程的解为x= 7举一反三解：依次移项、去分母、去大括号，得-2

11、-2=8依次移项、去分母、去中括号，得-X-21-2 = 20ZU)依次移项、去分母、去小括号，得jlx-2= 222，二 x = 48兰+32+竺=2 例5解：原方程逆用分数加减法法则，得4 4*2-r = 2 移项、合并同类项，得*。di 系数化为1,得 5。100齐_13 一 25 = 例6解：原方程化为77精心整理精心整理去分母，得 100x （13 20x） = 7去括号、移项、合并同类项，得 120x= 20丄两边同除以120,得x =二原方程的解为飞总结升华：应用分数性质时要和等式性质相区别。可以化为同分母的，先化为同分母，再去分母较简便。举一反三办+ 5N-1【答案】解：原方程

12、可变形为 戈 5 （_分式的基本性质）7 J I-去分母，得3 （3x+5） =2（2x-1）.（_ 等式性质2 ）去括号，得9x+15=4x-2.（去括号法则或乘法分配律 _）（移项）,得9x-4x=-15-2.（等式性质1 ）合并，得5x=-17.（合并同类项）_17（数化为1）,得x= 5 .（等式性质2）3齐一15一2盂-?= 2誥-6-蛊-5例7解：移项通分，得忑 一 2応一爼=卞一11化简，得丁一丁去分母，得 8x 144= 9x 99。移项、合并，得x= 45。例8解法一：移项，得|x 2| = 3当x 20时，原方程可化为x 2 = 3,解得x = 5当x 2v 0时，原方程可

13、化为一 （x 2） = 3,解得x= 1。所以方程|x 2| 3= 0的解有两个：x = 5或x = 1。解法二：移项，得|x 2| = 3。因为绝对值等于3的数有两个：3和一3,所以x 2 = 3或x 2= 3 分别解这两个一元一次方程，得解为x = 5或x = 1。举一反三1. 【答案】可二么可=72. 解：5|x|-3| x| = 16-42|x| = 12|x| = 6 八-C_j i /食fx =63. 解：|3x-1| = 83x-1 =83x= 183x= 9 或 3x=-7x = 3或7r =-3久2忙十1）十42忙+1）十乂2忙+ 1） _ _4例9解：移项通分，得：*66化

14、简，得：X2_3移项，系数化1得：八飞总结升华：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班（严格按步骤）地解方程，又要能随机应变（灵活打乱步骤）解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一精心整理精心整理般步骤，才能熟能生巧三、课堂练习一、选择题1、已知下列方程：（1）x-2=- ;（2）0.3x=1;（3）X =5x-1;（4）X -4x=3;（5）x=0;（6）x+2y=0其中一元一次方程的个数是（）A2B3C4D52、下列四组变形中，正确的是（）A 由 5x+7=0得 5x=-7B 由 2x-3=0得 2x-3+3=0C

15、 由 x=2 得 x=d 由 5x=7 得 x=35633、 一个水池有甲、乙两个水龙头，单独开甲水龙头2小时可把空池灌满；单独开乙 水龙头3小时可把空池灌满，若同时开放两个水龙头，灌满空池需（）A6小时B5小时C2小时D3小时564、下列方程中，是由方程7x-8=x+3变形而得到的是（）A7x=x+5B7x+5=xC6x=11D-8+3=-6x5、下列方程的变形中，是移项的是（）55A 由 3=x，得 x=3B由 6x=3+5x,得 6x=5x+3x 6 ； x 2y 0 其中一元一次方程的个数是（）.精心整理精心整理A.2B. 3C. 4D.513、已知关于x 的勺方程呈a x5 (2 a

16、 1)x 的解是x1，则a的值是 （）A.-5B.-6C. -7D.814、方程3x52x1移项后,正确的是（）A.3x 2x51B. 3x 2x1 5C.3x 2x15D. 3x 2x1 515、方程2 2x43 x1去分母得().32A.2 2(2 x4)33(x1)B.12 :3(2x4)18 3(x 1)C.12 (2x4)18(x1)D. 62(2 x4)9 (x 1)16、 甲、乙两人骑自行车同时从相距65km的两地相向而行，2小时相遇，若甲比乙每小时多骑2.5km 则乙的时速是（）.A. 12. 5kmB. 15kmC. 17. 5kmD. 20km17、某商店卖出两件衣服，每件

17、 60元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这两件衣服售出后商店是（）.A.不赚不赔B.赚8元C亏8元D.赚15元二、填空题：1、圆的周长为4，半径为X,列出方程为。m| 12、 已知方程（m-2） x +5=9是关于x的一元一次方程，则 m二.3、已知代数式x+2y的值是3,则代数式2x+4y+1的值是。4、3a2m3b4与 2a6 mb4是同类项，则 m二.5、若 x y + (y+1) 2=0,则 x-y=.6、某商品的进价为250元，为了减少库存，决定每件商品按标价打 8折销售，结果 每件商品仍获利10元，那么原来标价为。精心整理精心整理7、当x=时，的值是精心整理精心整理三、一元

18、一次方程应用题（找出等量关系）一、列一元一次方程解应用题的一般步骤（1）审题：弄清题意.（2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.（3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，？然后利用已找出的等量关系列出方程.（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值.（5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，？是否符合实际，检验后写出答案.1、数字问题要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a,十位数字是b,个位数字为c （其中a、b、c 均为整数，且 Ka9, 0b9, 0c9）则这个三位数表示为：100a+10b+Co例1、若三个连续的偶数和为1

19、8,求这三个数。例2、一个两位数，个位上的数是十位上的数的 2倍，如果把十位与个位上的数对调，那么所得的两位数比原两位数大36,求原来的两位数等量关系：原两位数 +36=对调后新两位数例3、有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1,若将此 数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49,求原数。分析：然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.2、 日历中的规律：横行相邻两数相差 行相邻两数相差 。例1、如果今天是星期三，那么一年（365天）以后的今天是星期 例2、在日历表中，用一个正方形任意圈出 2x2个数，贝尼们的和一定能被 除。A3B4C5

20、D6例3、如果某一年的5月份中，有5个星期五，且它们的日期之和为80,那么这个月的4号是星期 几？3、等积变形问题常用等量关系为：形状面积变了，周长没变；原料体积二成品体积。例1、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0.62kg的零件毛坯，如果这种钢每立方厘米重 7.8g，应 截圆钢多长？2例2.用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为 125 125mm内高为81mm的 长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少 mm （结果保留整数3.14 ）4、和、差、倍、分问题：精心整理倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率”来体现。 多少关系：通过

21、关键词语“多、少、和、差、不足、剩余”来体现。(1) 劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化例1.某厂一车间有64人，二车间有56人。现因工作需要，要求第一车间人数是第二车间人数的 一半。冋需从第一车间调多少人到第二车间？例2.甲、乙两车间各有工人若干，如果从乙车间调100人到甲车间，那么甲车间的人数是乙车间剩 余人数的6倍；如果从甲车间调100人到乙车间，这时两车间的人数相等，求原来甲乙车间的人数。(2) 配套问题：例1、某车间有28名工人生产螺栓和螺母，每人每小时平均能生产螺栓 12个或螺母18个，应如何分 配生产螺栓和螺母的工人，才能使螺栓和螺母正好配套(一个螺栓配两个螺母)例2.机械厂

22、加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿 轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、 小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮 刚好配套？分析：列表法。每人每天人数数量大齿轮16个x人16x小齿轮10个85 x人等量关系：小齿轮数量的2倍=大齿轮数量的3倍解：设分别安排x名、85 x名工人加工大、小齿轮答：略(3) 分配问题：例1.学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房 间的个数和学生的人数。例2.三个正整数的比为1： 2： 4,它们的和是84,那么这三个数中最大的数是几？(比例分配问题 常用等量关系：各

23、部分之和二总量。)(4) 年龄问题：例1、甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的两倍，乙现在的年龄是多少岁？例2、小华的爸爸现在的年龄比小华大 25岁，8年后小华爸爸的年龄是小华的 3倍多5岁，求小华 现在的年龄。5、工程问题工程问题中的三个量及其关系为：工作总量 =工作效率X工作时间经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1。例1. 一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他 任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程？分析设工程总量为单位1，等量关系为：甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。 解：设乙还需x天完成全部工程，设工

24、作总量为单位 1,由题意得，(+) X 3+=1，例2、在西部大开发中，基础建设优先发展，甲、乙两队共同承包了一段长6500米的高速公路工程，两队分别从两端施工相向前进，甲队平均每天可完成480米，乙队平均每天比甲队多完成 220米，乙队比甲队晚一天开工，乙队开工几天后两队完成全部任务？&打折销售问题精心整理(1) 销售问题中常出现的量有：进价、售价、标价、禾I润等(2) 基本关系式： 利润=售价一进价；售价=标价X折数；利润率=利润/进价。 由可得出利润二标价X折数一进价。由可得出利润率=。 市场经济问题 商品利润(1) 商品利润二商品售价一商品成本价(2)商品利润率二商润；X 100% 商

25、品成本价(3) 商品销售额二商品销售价X商品销售量(4) 商品的销售利润=(销售价一成本价)X销售量(5) 商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8折出售，即按原标价的80% 出售.例1、一件衣服标价是200元，现打7折销售。问：买这件衣服需要多少钱？若已知这件衣服的成本(进价)是115元，那么商家卖出这件衣赚了多少钱？利润是多少？例2、某商场售货员同时卖出两件上衣，每件都以135元售出，若按成本计算，其中一件赢利 25% 另一件亏损25%问这次售货员是赔了还是赚了？7、行程问题。(行程问题可以采用画示意图的辅助手段来帮助理解题意，并注意两者运动时出发的时间和地点) 要掌握行程

26、中的基本关系：路程二速度X时间。 相遇问题(相向而行)，这类问题的相等关系是：甲走的路程+乙走的路程=全路程 追及问题(同向而行)，这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程 同地不同时；甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系， 一般情况下问题就能迎刃而 解。并且还常常借助画草图来分析，理解行程问题。?例1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90公里，一列快车从乙站开出, 每小时行140公里。(1) 慢车先开出1小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少

27、小时后两车相遇？(2) 两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？(3) 两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？(4) 两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？精心整理(5) 慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。故可结合图形分析。(1) 分析：相遇问题，画图表示为：等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解：设快车开出x小时后两车相遇，由题意得，140x+90(x+1)=480解这个方程，230x=390二 x=1答

28、：略.(2) 分析：相背而行，画图表示为：等量关系是：两车所走的路程和+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140+90)x+480=600解这个方程，230x=120 - x=答：略.(3) 分析：等量关系为：快车所走路程慢车所走路程+480公里=600公里。解：设x小时后两车相距600公里，由题意得，(140 90)x+480=60050x=120 x=2.4答：略.(4) 分析：追及问题，画图表示为：等量关系为：快车的路程=慢车走的路程+480公里。解：设x小时后快车追上慢车。由题意得，140x=90x+480解这个方程，50x=480 x=9.6答：略

29、.(5) 分析：追及问题，等量关系为：快车的路程 =慢车走的路程+480公里。解：设快车开出x小时后追上慢车。由题意得，140x=90(x+1)+48050x=570 解得，x=11.4答：略.? 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和=一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差=一圈的路程。航行问题：顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度精心整理逆水（风）速度=静水（风）速度水流（风）速度例：一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）

30、不变的特点考虑相等关系.1、 A、B两地相距150千米。一辆汽车以每小时50千米的速度从A地出发，另一辆汽车以每小时40千米的速度从B地出发，两车同时出发，相向而行，问经过几小时，两车相距30千米？2、甲、乙两人练习100米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲 经过几秒可以追上乙？3、 一架飞机飞行在两个城市之间，顺风要2小时45分，逆风要3小时，已知风速是20千米/小 时，则两城市间的距离为多少？4、一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长400米的桥，用了半分钟，则火车本身的长度为多 少米？5、火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车 又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求列车的长度。8、银行储蓄问题。顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的 时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率。利息的20%寸利息税利息=本金X利率X期数本息和二本金+利息利息税=利息乂税率（20%利润二每个期数内的利息 X100%息二本金X利率X期数本金注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率=月利率X12=0利率X3 65。本息和=本金+ =本金+XX=（ 1 +X）x本金（不考虑利息税本息和=本金+ =本金+XXX（ 1）（考虑利息税）例9.某同学把250元钱存入银行，