18 19阶段复习课第2章平面向量

1、第二课平面向量核心速填(教师用书独具)1 .常见的六种向量单位向量：模为1的向量.(2) 零向量：模为0的向量.(3) 平行向量：方向相同或相反的向量.共线向量：方向相同或相反的向量.(5)相等向量：模相等、方向相同的向量.相反向量：模相等、方向相反的向量.2. 两个定理(1) 共线向量的判定或性质定理：b / a? b=入aa工0,入存在且唯一)(2) 平面向量基本定理：若在同一平面内，ei与e2不共线，则该平面内的任一向量 a = ajei + a2e2，且(ai, a2)唯一，当 ei丄e2,且|ei|=心|= 1,贝U a= xei+ ye2，且(x, y)唯一.3. 向量的线性运算和

2、数量积运算第4页(1) a+ b= OA+AB=OB(三角形法则).6. 向量的运算律(1) 交换律：a+ b= b+ a, ab= ba.(2) 结合律：a+ (b+ c) = (a+ b) + c,a b c= a (b+ c),(入b=?(ab)= a (Xb.(3) 分配律：(入+诟=X a a Xa+ b)= X+ X , (a+ b) c= a c+ b c.(4) 重要公式：(a+ b) (a b) = a2 b2, (a)2= a2a b+ b2.注意：向量的数量积运算的特点：(1) a b= 0a =0 或 b= 0.(2) a b= a cb = c.(3) a b cm

3、a (b c)工 b (a c).体系构建题型探究平面向量的线性运算1 向量线性运算的结果仍是一个向量，因此对它们的运算法则、运算律的理解 和运用要注意大小、方向两个方面.2 向量共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线 性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线问题、共点问题.3 题型主要有证明三点共线、两线段平行、线段相等、求点或向量的坐标等.例 如图2-1,在厶ABC中，点M是AB边的中点，E是中线CM的中点，AE的延长线交BC于F.MH / AF交BC于H.求证：HF =晶=FC.图2-1思路探究选择两不共线向量作基底，然后用基底向量表示出HF、bH与FC即

4、可证得.证明 设bM = a，MH = b，则 BH= a+ b，HF = HB + BA+aFBH + 2BM+ 2MH=a b + 2a+ 2b = a+ b，TTT 1 T T1 T T TFC = FE + EC = 2HM + ME = qMH + MA + AE1TTT1T 1 T=2b+ BM+ AF EF= qb+ a + 2MH qMH1 1 2+ a+ 2b 2= a+ b.综上，得 HF BH FC.跟踪训练1.如图2-2,平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM AB,点N1在BC上，且BN 3BC,求证：M， N, D三点共线.图2-2证明设AB e1，AD

5、 62,则BC AD e2，T1 T1T1 T1T BN 3BC e2, BM 2ABqei ,TTT11二 MN BN BM 3& 巳,T T T3又/ MD AD AM 62 巳11T3 3 2。1 3MN ,向量MN与MD共线，又M是公共点，故M , N, D三点共线.平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是卜例一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为 正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零. 平面向量的数量积是 向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的 数量积可以计算向量的

6、夹角和长度.非零向量a, b满足(a+ b)丄(2a b), (a 2b)丄(2a + b)，求a, b的夹角的余弦值.思路探究求出|a|2, |b|2, a b的关系所以cos 0=|a|b|,10肓.由a+ b丄2a b , a 2b丄2a+ b列出方程组t利用夹角公式可求解由(a+ b)丄(2a b), (a 2b)丄(2a+ b)，得2|a|2 |b|2+ a b= 0,|aj 為 b,$22解得T2la|邯13a b = 0,|bj 4a b,所以|a|b匸一,10a b,跟踪训练 2.如图2-3所示，在平行四边形ABCD中，AP丄BD，垂足为P,且AP= 3,则AP AC图2-3【

7、导学号：79402103】解析t AP AC = AP (AB+ BC)=aP AB+ aP BC= aP AB+ AP (BD + DC)=aP BD+ 2AP AB,/ API BD, AP = 0.T T T TT 2 AP AB= AP|AB|cosZ BAP= AP| , aP AC= 2|APf = 2X 9= 18.答案18向量的坐标运算1 向量的坐标表示实际上是向量的代数表示弓I入向量的坐标表示后，向量的 运算完全化为代数运算，实现数与形的统一.2向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方 程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现.3 通过向量坐标运算

8、主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、第4页卜例垂直等问题.已知向量 AB= (4,3), AD= (-3, 1),点 A( 1, 2).(1)求线段BD的中点M的坐标；若点P(2, y)满足PB= BD(X R),求y与入的值.思路探究(1)先求B, D点的坐标，再求M点坐标;(2)由向量相等转化为y与入的方程求解.解设点B的坐标为(X1, y1).- AB= (4,3), A( 1, 2),.(X1+ 1, y1 + 2) = (4,3),X1+ 1 = 4,X1 = 3,y1 + 2= 3,yi = 1,.B(3,1).同理可得 D( 4, 3).设线段BD的中点M的坐标为

9、(X2, y2),冲34113(1则 X2= 2 = 2y2= 2 = 1,M、 2, 一 1(2)由已知得 PB= (3,1) (2, y)= (1,1 y),BD= ( 4, 3) (3,1)= ( 7, 4).又PB= ?BD, .(1,1 y) = % 7, 4),1 = 7 人 则y=1 y= 4 入跟踪训练3 .已知 ABC 中，A(2,-1), B(3,2), C( 3,1), BC 边上的高为 AD，求AD.【导学号：79402104】解设 D(x, y)，则AD = (x 2, y+ 1),BD= (x 3, y 2), BC= ( 6, 3), ADI BC,AD BC =

10、 0,则有一6(x 2) 3(y+ 1) = 0, BD/ BC,则有一3(x 3)+ 6(y 2) = 0,x= 1,解由构成的方程组得ly= 1,则D点坐标为(1,1)，所以AD = ( 1,2).平面向量的应用1 向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法 则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密 切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题.2向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方 程.3在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题.已知正方形ABCD, E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点

11、P.求证：(1)BE丄CF;(2)AP= AB.证明如图建立直角坐标系，其中 A为原点，不妨设AB= 2,则A(0,0), B(2,0), C(2,2), E(1,2), F(0,1).(1) BE= OE 0B= (1,2) (2,0)= ( 1,2),CF = OF OC= (0,1) (2,2)= ( 2, 1).v EBE CF= 1X ( 2) + 2X ( 1)= 0, BEXCF，即 BE丄CF.(2) 设 P(x, y)，则FP = (x, y 1), CF= ( 2, 1), -FP / CF , x= 2(y 1),即卩 x = 2y 2.同理由 BP / Bl,得 y=

12、2x+ 4,代入 x= 2y 2.第11页解得 x=!，*8,即 P5, |. AP|=|aB|,即AP = AB.跟踪训练4已知三个点 A(2,1), B(3,2), D(- 1,4).(1) 求证：AB丄AD;(2) 要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形 的锐角的余弦值.解证明：:A(2,1), B(3,2), D(- 1,4),ABCD的两对角线所夹-AB= (1,1), AD = (- 3,3),二 AB AD= 1X (-3)+ 1X 3= 0, AB丄AD，即 AB丄AD.(2)v四边形ABCD为矩形，二AB丄AD, AB= DC.设C点的坐标为(x, y),则 AB=

13、 (1,1), DC = (x+ 1, y- 4),x+ 1 = 1,x= 0,J解得y 4= 1 ,y= 5, C点的坐标为(0,5).从而AC= (-2,4), BD = (-4,2),二 AC| = 2 .5, |BD| = 2 5, AC BD = 8+ 8= 16.设AC与BD的夹角为9,贝U cos 9=AC BD 16 4|AC|BD|=20= 5,4矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为4.5数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、 运算律的推导中都渗 透了数形结合思想.向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形 紧密地结合在一起运用数形结合

14、思想可解决三点共线，两条线段 (或射线、直 线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题.例 如图2-4所示，以 ABC的两边AB,AC为边向外作正方形 ABGF,ACDE, M为BC的中点，求证：AM丄EF.图2-4思路探究要证AM丄EF，只需证明AM EF = 0.先将AM用AB, AC表示，将eF用 aE, aF表示，然后通过向量运算得出AM EF = 0.* 1 * *证明因为M是BC的中点，所以AM = 2(AB + AC),又ElF=AF - AE, 1 所以 AM EF = 2(AB + AC) (AF- AE)=2(AB AF+ AC AF-AB AE- AC AE)=2(0+ AC

15、 AF-AB AE- 0)=2(AC AF-AB AE)1 -=2【|AC|AB|cos(90 + / BAC)aB|AC|cos(90 + / BAC) = 0,所以AMXEF，即AM丄EF.跟踪训练5已知a,b是单位向量，a b= 0.若向量c满足|c- a- b|= 1,则|c|的最大值为()A. ,2- 1B. ,2C. 2+ 1D. 2+ 2且 a b = 0,二可设 a= (1,0), b= (0,1), c= (x, y). -c a 一 b = (x一 1, y一 1).|c a b| = 1, x 1 2+ y 1 2=1,2 2即(x 1) + (y 1) = 1.又|c| =x2+ y2,如图所示.由图可知，当c对应的点(x, y)在点C处时，|C|有最大值且|c|max=：12+ 1 =2+ 1.(2)a b= OA 0B= BA(三角形法则).(3)b=入伯工0), 0? a, b同向;泾0? a, b反向;a0? |开=怦|a|(4)a b= |a