1977年普通高等学校招生考试(天津市)数学试题

1、1977 年普通高等学校招生考试数学(天津市 )试题及答案y1（1）在什么条件下，2x是正数 ; 是负数 ; 等于零 ; 没有意义？解：x 和 y 同号 ; x 和 y 异号 ; y=0,x 0; x=0.（ 2）比较下列各组数的大小，并说明理由 cos31 与 cos30 ; log 2 1与 log 2 1 .4解：因为 cosx 在 0, 是递减函数，所以 cos31 cos302 log 2 10 log 212.4（3）求值： tg (5 arcsin3 ) ;21( 2)0(0.01) 2 .解：原式 =3.原式=1.105（4）计算 lg 12.5lglg sin 30 .8解：

2、原式 =lg 100lg 10lg 118162（5）解方程4x211.24x 2xx2解：略 x=1.2（1）某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有50 米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积解：设矩形储料场的长为 x 宽为y则因其一面靠墙，所以应有仓库y储料场2x+y=50, 即 y=50-2x,x设储料场的面积为S，则 S=xy=x(50-2x)=-2x 2+50x=-2(x-12.5)2+312.5当 x=12.5 时，储料场的面积最大 S=312.5 米 2 此时 y=25 米（2）如图，已知 AB、D

3、E是圆 O的直径，AC是弦，ACDE，求证 CE=EB证： ACDE， 1=2ECB1EB=1 EB，CB=2EB2 但 CB=CE+EB， 2EB=CE+EB，O 2CE=EB，CE=EBAD（ 3）如图所示的棱长为 a 的正方体中，求 CD1和 AB所成的角的度数 ; 求 B1BD1 的正弦值解：CD1和 AB所成的角等于 D1CD，D1C1所以为 450A 1B 1 D1B1= 2 a，D1B= 3 a， sin B1BD1D1B16 .DD1B3C3如果已知 bx2-4bx+2(a+c)=0(bAB0）有两个相等的实数根，求证a,b,c成等差数列证：已知 bx2-4bx+2(a+c)=

4、0(b 0）有两个相等的实数根，（ -4b) 2-4b 2(a+c)=0, 但 b0, 2b-a-c=0, 即 b-a=c-b. 故 a,b,c 成等差数列4（1）如图，为求河对岸某建筑物的高AB，在地面上引一条基线CD=a ，测得 ACB=， BCD=， BDC=，求 AB解：由正弦定理得BCCDA,sinsin(180)BCa sin,Dsin()BABBCtga sintg .sin()（2）如果 =300，=750， C=450，a=33 米，求建筑物 AB的高（保留一位小数）33sin 45 tg 3011 2 15.6(米).解： ABsin 1205（1）求直线 3x-2y+1=0 和 x+3y+4=0 的交点坐标解：略（ -1 ，-1 ）（2）求通过上述交点，并同直线x+3y+4=0 垂直的直线方程解：所求直线的斜率为 3所求直线方程为 y+1=3(x+1),即 3x-y+2=0.6附加题 .（1）求 lim exe x2x 的值x0xsin nx解：应用罗比塔法则lim exe x2xlim exe x20.(n1)x 0xsin nxx0 1ncosnx当 n 1时,lim exe x2 xlim exe x2lim exe xlim exe x2x 0xsin nxx 01cos xx0 sin xx 0 cosx（2）计算4x2dx.