1988年全国高中数学联赛试题

1、1988 年全国高中数学联赛试题第一试 (10月 16 日上午 800 9 30)一选择题 (本大题共5 小题，每小题有一个正确答案，选对得7 分，选错、不选或多选均得0分 )：1设有三个函数，第一个是 y= (x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于 x+y= 0 对称，那么，第三个函数是()A y= (x)B y= ( x)11C y= (x)D y= ( x)2已知原点在椭圆 k2x2+y2 4kx+2ky+k2 1= 0 的内部，那么参数k 的取值范围是 ()A |k|1B |k| 1C 1k1D 0|k|13平面上有三个点集 M，N， P：M= ( x，

2、 y)| |x|+|y|1 ，1 21 21 21 2N= ( x， y)|(x2) +(y+2) +( x+2) +(y 2) 22 ，P= ( x，y)| |x+y|1， |x|1，|y| ；3命题乙： a、 b、 c 相交于一点则A 甲是乙的充分条件但不必要B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件D A、 B、 C 都不对5在坐标平面上，纵横坐标都是整数的点叫做整点，我们用I 表示所有直线的集合，M 表示恰好通过1 个整点的集合， N 表示不通过任何整点的直线的集合，P 表示通过无穷多个整点的直线的集合那么表达式 MNP=I ； N? M? P ? 中，正确的表达式的个数是A 1

3、B 2C 3D 4二填空题 (本大题共4 小题，每小题10 分)：1设 x y，且两数列 x， a1 ， a2 ，a3， y 和 b1， x， b2，b3，y， b4 均为等差数列，那么b4 b3 a =a212 ( x+2) 2n +1 的展开式中， x 的整数次幂的各项系数之和为DE3在 ABC 中，已知 A= ， CD 、BE 分别是 AB、 AC 上的高，则 BC =4甲乙两队各出7 名队员，按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1 号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方 2 号队员比赛， 直至一方队员全部淘汰为止，另一方获得胜利， 形成一种比赛过程 那么所有可能出现的比赛过程的种数

4、为三 (15 分 )长为 2，宽为 1的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积四 (15 分 ) 复平面上动点Z1 的轨迹方程为 |Z1 Z0|= |Z1|， Z0 为定点， Z0 0，另一个动点Z 满足 Z1Z= 1，求点 Z 的轨迹，指出它在复平面上的形状和位置五 (15 分 )已知 a、 b 为正实数，且 1+1= 1，试证：对每一个 nN * ，ab(a+b)n an bn 22 n 2n+1- 1 -1988 年全国高中数学联赛二试题一已知数列 an ，其中 a1= 1， a2= 2，5an+1 3an(anan+1为偶数 )，an+2=an+1 an(

5、an an+1为奇数 )试证：对一切nN* ，an 0二如图，在 ABC 中， P、 Q、 R 将其周长三等分，且P、 Q 在 AB 边上，求证：SPQR 2SABC 9APHNQRBC三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1， l2 ， ， l n， 的直线族，它满足条件： 点 (1， 1) ln ，(n= 1， 2，3， )； kn+1=a nbn，其中 kn+1 是 l n+1 的斜率， an 和 bn 分别是 l n 在 x 轴和 y 轴上的截距， ( n= 1，2，3， )； knkn+1 0， (n= 1， 2， 3， )并证明你的结论- 2 -1988 年全国高中数学联赛

6、解答一试题一选择题 (本大题共5 小题，每小题有一个正确答案，选对得7 分，选错、不选或多选均得0 分 )：1设有三个函数，第一个是y= (x)，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象与第二个函数的图象关于x+y= 0 对称，那么，第三个函数是()A y= (x)解：第二个函数是2已知原点在椭圆 A |k|1解：因是椭圆，故B y= ( x)11C y= (x)D y= ( x) 1 1y= (x)第三个函数是 x= ( y)，即 y= ( x)选 B2222 1= 0 的内部，那么参数k 的取值范围是 ()k x +y 4kx+2ky+kB |k| 1C 1k1D 0|k|1k 0，以

7、(0， 0)代入方程，得 k2 10，选 D3平面上有三个点集 M，N， P：M= ( x， y)| |x|+|y|1 ，12121212N= ( x， y)|(x2)+(y+2) +( x+2)+(y 2) 2 2，P= ( x，y)|x+y|1， |x|1，|y| ；3命题乙： a、 b、 c 相交于一点则A 甲是乙的充分条件但不必要B甲是乙的必要条件但不充分C甲是乙的充分必要条件D A、 B、 C 都不对解： a， b， c 或平行，或交于一点但当a b c 时， =当它们交于一点时，32S ABC9A证明：作 ABC 及 PQR 的高 CN、 RH设 ABC 的周长为 1则 PQ= 1

8、P3S PQRPQRHPQ AR1PQ 2则=S ABCABCN ，但 AB ，HAB AC2AB 3N111111AR 1，从而SPQR 2QRAP AB PQ ， AC 23362AC 3SABC 9BC三在坐标平面上，是否存在一个含有无穷多直线l 1， l2， ， ln ， 的直线族，它满足条件： 点 (1， 1) ln ，(n= 1， 2，3， )； kn+1=a nbn，其中 kn+1 是 l n+1 的斜率， an 和 bn 分别是 l n 在 x 轴和 y 轴上的截距， ( n= 1，2，3， )； knkn+1 0， (n= 1， 2， 3， )并证明你的结论证明：设an=b

9、n 0，即 kn 1= 1，或 an =b n= 0，即 kn= 1，就有 kn+1= 0，此时 an+1 不存在，故kn 1现设 k 0， 1，则 y=kn( x 1)+1 ，得 bn= 1 kn， a1 ， k1 此时 k2 1nn= 1n+1=k nn kn+1=k nknkn kn1 或 kn1 或 k11 时，由于 01k2=k 1 10，若 k21 ，则又有 k1k2k30，依此类推，知当km1k1k1111时，有 k1k2k3? kmkm+10 ，且 0 1，k1k2kmkm+1=k m 1km 1 =k m 1 1 1 km 1 2 k=km110，此时 km1k0m11km 1m1+11即此时不存在这样的直线族- 5 - 当 k1 1 时，同样有 1 10 ，得 k1k2=k 110 若 k2 1，又有 k1k2k30，依此类推，知当k1k1km 1 时，有 k1k2k3? kmkm+1 1 1 11，k1k2kmkm+1=k m 1km1=k m 1 11km 12 k1 mkmk1km