2008高考试题--理数

1、2008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）第卷参考公式：如果事件 A， B 互斥，那么球的表面积公式P( A B) P( A) P(B)S 4R2如果事件 A， B 相互独立，那么其中 R 表示球的半径P(A B)P( A) P(B)球的体积公式4 3如果事件 A 在一次试验中发生的概率是VRP ，那么3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中 R 表示球的半径Pn ( k)Cnk Pk (1 P)nk (k 01,2， ， n)一、选择题1函数 yx(x1)x 的定义域为（）x | x 0x | x 1ABx | x 10x | 0 x 1CD2汽车经过启动、加速行驶

2、、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（）；ssss号考；OtOtOtOt场考ABCD：名3在 ABC 中， ABc ， AC b 若点 D 满足 BD2DC ，则 AD姓（）：别2 b1 c5 c2 b2 b 1 c1 b 2 c班：级A 33B 33C33D 33年4设 aR ，且 (ai ) 2 i 为正实数，则 a（）A 2B 1C0D 15已知等差数列an满足aa4，aa10，则它的前 10项的和S（）243510A 138B 135C95D 236若函数 yf ( x1) 的图像与函数ylnx1的图像关于直线yx 对称，则

3、f ( x)（）A e2 x 1B e2 xC e2 x 1D e2x 2yx1x1 在点 (3，2) 处的切线与直线 axy 1 0 垂直，则 a（）7设曲线11A 2B 2C2D 2ycos 2x8为得到函数35A向左平移12 个长度单位的图像，只需将函数ysin 2x 的图像（）5B向右平移12 个长度单位55C向左平移6 个长度单位D向右平移 6个长度单位f ( x) f (x)f ( x) 在 (0，) 上为增函数，且f (1)0x09设奇函数，则不等式的解集为（）A ( 1，0)(1， )B (， 1) (0，1)C (， 1)(1，)D (1，0)(01)，xy10若直线 a1M

4、 (cos，sin) ，则（b通过点）1111 1A a2b2 1B a221C a2b2 1D a2b2b11已知三棱柱 ABCA1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 内的射影为 ABC的中心，则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值等于（）1232A 3B 3C 3D 312如图，一环形花坛分成 A， B， C， D 四块，现有4 种不同的花供选种，要求在每块里种1 种花，且相邻的 2 块种不同的花，则不同的种法总数为（）A 96B 84C60D 48AD第卷BC二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分把答案填在题中横线上xy ，0xy3，013 1

5、3若 x， y 满足约束条件，2xy 的最大值为0 x 3则 z14已知抛物线yax21 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为715在 ABC 中， ABcos BC ，则该椭BC ，18 若以 A， B 为焦点的椭圆经过点圆的离心率 e316等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB ，二面角 C ABD 的余弦值为3 ，M ， N 分别是 AC， BC 的中点，则 EM ， AN 所成角的余弦值等于三、解答题：本大题共6 小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分 10 分）a cos Bb cos A3 c设 AB

6、C 的内角 A， B， C 所对的边长分别为 a， b， c ，且5 （）求 tan Acot B 的值；（）求 tan( AB) 的最大值18（本小题满分12 分）四棱锥 ABCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC底面 BCDE ，BC2 ，CD2 ，ABAC （）证明：ADCE；ABE（）设 CE 与平面 ABE 所成的角为45 ，求二面角 CADE 的大小 CD19（本小题满分12 分）已知函数f ( x)x3ax2x1， aR （）讨论函数f (x) 的单调区间；2 ， 1（）设函数f ( x) 在区间33 内是减函数，求 a 的取值范围20（本小题满分12 分）已知 5 只

7、动物中有1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止方案乙：先任取3 只，将它们的血液混在一起化验若结果呈阳性则表明患病动物为这3中的 1 只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2 只中任取只化验（）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；只1（）表示依方案乙所需化验次数，求的期望21（本小题满分12 分）双曲线的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，两条渐近线分别为l1，l 2 ，经过右焦点 F 垂直于 l1 的OA、直线分别交 l1，

8、 l2 于 A，B 两点已知ABOB成等差数列，且BF 与 FA 同向（）求双曲线的离心率；（）设 AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程22（本小题满分12 分）f ( x) x x ln xan0a1 af (a )设函数数列满足1，n 1n（）证明：函数f ( x) 在区间 (0，1) 是增函数；（）证明： anan 1 1 ；k a1bb （）设 b(a1，1) ，整数a1 ln b 证明： ak12008 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修）答案与解析：1.C.由 x(x1) 0, x 0 得 x 1, 或 x0 ；s1 at 2s1 at 22.A.根据

9、汽车加速行驶2，匀速行驶 svt ，减速行驶2结合函数图象可知 .3. A. ADAB2( ACAD ),3 ADAB2ACc+ 2b , AD1c+2b334.D ( ai) 2 i (a22ai1)i2a(a21)i0,a15.C 由 a2a44, a3a510得a14, d3,S1010a1 45d40135 956.B. ylnx1xe2( y 1) , f ( x1)e2( x1) , f ( x)e2 xyx 1 12 , y22, y x 31x1x 1(x2 ,a 2, a27.D.1)ycos 2xsin(2x5)sin2( x5)8.A3612，只需将函数ysin 2x 的

10、图像向左5ycos 2x平移 12 个单位得到函数3的图像 .9.D由奇函数 f ( x) 可知f ( x)f ( x)2 f (x)00，则 f ( 1)f (1) 0 ，xx，而 f (1)当 x 0 时， f ( x)0f (1)；当 x 0时， f( x)0f (1) ，又 f ( x) 在 (0，) 上为增函数，则奇函数 f (x) 在 (,0) 上为增函数，0x1,或 1x0 .xy111, 11 11与圆 x2y21有交点，则1a2b210.D由题意知直线aba2b2.m = (cos,sin), n = ( 1 , 1)cossin1另解：设向量ab，由题意知ab1cossin

11、11由 m n m n 可得aa2b2b11.C由题意知三棱锥A1ABC为正四面体，设棱长为a ，则AB13 a，棱柱的高1a2AO2a2(2326AO32a)a（即点 B1 到底面 ABC 的距离），故 AB1 与底3AO21面 ABC 所成角的正弦值为AB13 .另解：设 AB, AC, AA1 为空间向量的一组基底，AB, AC, AA1 的两两间的夹角为60 0长度均为 a ，平面 ABC 的法向量为OA1AA11 AB1 AC,ABABAA3311OA1 AB12 a2 , OA16, AB1333OA1AB12则 AB1 与底面 ABC 所成角的正弦值为AO1AB13.12.B.分

12、三类：种两种花有A42种种法；种三种花有2A43种种法；种四种花有A44种种法 .共有A422A43A4484.另解：按 ABCD 顺序种花，可分A、 C 同色与不同色有43(1 322)8413.答案： 9如图，作出可行域，xy0y作出直线 l 0: x2 y0 ，将 l0 平移至过点 A 处x3时，函数 z2xy 有最大值 9.xy30Ox答案： 2.由抛物线 yax21的焦点坐标为x2y 0A(3,3)14.(0,11)a1y1 x2113 题图4a为坐标原点得，4 ，则41412与坐标轴的交点为(0,1),( 2,0),(2,0)，则以这三点围成的三角形的面积为231，cos B7AC

13、2AB 2BC 22AB BCcos B2515.答案：8.设 ABBC18 则9AC52a158 , 2c1,e2c3C3 ，332a8 .MNEAoHBD116.答案： 6.设 AB2，作 CO面 ABDE，OH AB ，则 CHAB ，CHO 为二面角 CAB D 的平面角CH3, OHCH cosCHO1 ，结合等边三角形 ABC与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则ANEMCH3AN1(ACAB), EM1 ACAE ANEM1(ABAC) (1AC AE)122,222ANEM1ANEM6故 EM ， AN 所成角的余弦值另解：以 O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，

14、则点 A(1,1,0), B(1,1,0), E(1,1,0), C(0,0, 2) ,112112M (, ),N(,2)22222,zCMNEAoHyBDx 16 题图（ 2）AN312132), AN EM1EM3( ,),EM (, AN则2222222,ANEM1故 EM ， AN 所成角的余弦值AN EM6. ABCa cos Bb cos A3 c17.解析：（）在中，由正弦定理及5sin A cos Bsin B cos A3 sin C3 sin( A B)3 sin Acos B3 cos Asin B可得5555即 sin Acos B 4cos Asin B ，则 ta

15、n A cot B 4 ；（）由 tan Acot B4 得 tan A4 tan B0tan( AB)tan Atan B3tan B331tan A tan B14 tan2Bcot B44tan B4tan Bcot B, tan B1 , tan A2当且仅当2时，等号成立，tan A2, tan B13故当2 时， tan( AB) 的最大值为 4 .A18解：（1）取 BC 中点 F ，连接 DF 交 CE 于点 O ，AC ，BC ，GABAFBEF又面ABC面BCDE，AF面BCDE，CODAFCE 18 题图tanCEDtanFDC22 ，OEDODE90 ，DOE90 ，即

16、 CEDF ，CE面ADF，CEAD （ 2）在面 ACD 内过 C 点作 AD 的垂线，垂足为 G CGAD，CEAD， AD面CEG ， EGAD ，则 CGE 即为所求二面角的平面角CGAC CD2 3DG6EGDE 2DG 230AD3 ，3 ，3，cosCGECG 2GE2 CE210CE6 ，则2CG GE10 ，CGE arccos101010 arccos，即二面角 CADE 的大小1019. 解：（1） f ( x)x3ax2x1求导： f ( x)3x22ax1当 a2 3时， 0 ， f (x) 0 ， f ( x) 在 R 上递增当 a2xaa233， f ( x)0

17、求得两根为3， aa23aa23 ， aa23即 f ( x) 在3递增，33递减，aa23，3递增aa23 233aa23 13 解得：a 7（ 2）33 ，且 a2420解：（）对于甲：次数12345概率0.20.20.20.20.2对于乙：次数234概率0.40.40.20.20.40.20.80.210.210.64 （）表示依方案乙所需化验次数，的期望为 E20.430.4 4 0.2 2.8 21.解：（）设 OAmd ， ABm ， OBmd由勾股定理可得：(md) 2m2(md )2d1 mtanAOFbtanAOBtan 2 AOFAB4得：4，a ，OA32 b4a2b3b

18、151e由倍角公式a，解得 a2 ,则离心率2ya (x c)x2y21（）过 F 直线方程为b,与双曲线方程 a2b2联立将 a2b ， c15x285 x2105b 代入，化简有 4b2ba2a241x1x21(x1x2 ) 24x1x2bb325b228b245154将数值代入，有5,解得 b3x2y21故所求得双曲线方程为：36922. 设函数f ( x)x x ln x数列an满足0 a11 an 1f (an )，（）证明：函数f ( x) 在区间 (0，1) 是增函数；（）证明： anan 11 ；b (a1，1)k a1bak 1b（）设，整数a1 ln b证明：22.解析：（）证明： f ( x) xx ln x , f( x)ln x ,当 x(0，1) 时， f ( x)ln x 0故函数 f ( x) 在区间 (0，1) 是增函数；（）证明：（数学