湖南省衡阳市一中2026届高三第一次月考数学试卷（含答案）

湖南省衡阳市一中2026届高三第一次月考数学试卷总分：150分时量：120分钟考试内容：高考全部内容注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知全集为，且集合，，则等于（）A. B. C. D.2.复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）A. B. C. D.4.定义在R上的函数满足，且为奇函数．当时，，则（）A1 B.－1 C.0 D.25.已知，则（）A. B. C. D.6.已知焦点在y轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则m＝（）A.1 B. C.－4 D.1或－47.如图，在中，，过点P的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N．设，则的最小值为（）A. B. C.3 D.48.一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（）A. B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.的图象关于直线对称10.已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（）A.若，则直线的斜率为 B.C.(为坐标原点) D.当取最小值时，11.设A，B是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12.已知的展开式中的第2项的系数与第2项二项式系数之和为198，则展开式中所有项的系数和为_________(用数字作答)．13.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1人参加，则不同报名方案有__________种(用数字作答)．14.对于函数，若存在使，则称点是曲线的“优美点”，已知，若曲线存在“优美点”，则实数的取值范围为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列满足，，且对任意的，，都有.（1）设，求数列通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：.16.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.17.如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，．（1）求证：．（2）求线段中点到平面的距离．（3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．18.某公司有意在小明、小红、小强、小真这人中随机选取人参加面试.面试分为初试和复试且采用积分制，其中小明和小红通过初试概率均为，小强和小真通过初试的概率均为，小明和小红通过复试的概率均为，小强和小真通过复试的概率均为，通过初试考核记分，通过复试考核记分，本次面试满分为分，且初试未通过者不能参加复试.（1）若从这人中随机选取人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于分的概率；（2）若小明和小红两人一起参加本次公司的面试，记他们本次面试的得分之和为，求的分布列以及数学期望.19.已知椭圆的离心率为，点在上，直线与交于两点，点关于轴的对称点为为坐标原点．（1）求的方程；（2）证明：的面积为定值；（3）若点在直线的右侧，求直线在轴上的截距的最小值．1-8【答案】C【答案】A【答案】C【答案】A【答案】C【答案】C【答案】B【答案】B9.【答案】ACD10.【答案】ABD11.【答案】ABD12.【答案】13.【答案】1414.【答案】15.【小问1】依题意，对任意的，，都有，故对任意的，，，所以对任意的，，，即为定值，所以数列是公差为2的等差数列，据，，得，，所以，解得，故，所以【小问2】由（1）可知，，所以当，，，又符合上式，所以所以，故，因为，，所以16.【小问1】的定义域为，若，则，则在单调递减；若，则由得.当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.【小问2】若，由（1）知，至多有一个零点.若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，因为单调递增，单调递增，所以单调递增，所以，，故没有零点；③当时，由于，即，又，故在有一个零点.设正整数满足，则，故有一个零点.综上，的取值范围为.17.【小问1】由于平面平面，平面平面，且平面，平面，平面，．【小问2】取的中点，连接，，由为等边三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，则平面，由，，得四边形是平行四边形，于是，而，则，直线，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，所以到平面的距离．【小问3】令，，，，设平面的法向量为，则，取，得，易知平面的一个法向量为，于是，，化简得，又，解得，即，所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，此时．18.【小问1】记选出小明、小红参加面试为事件，选出小明、小红或小强、小真各一人参加面试为事件，选出小强、小真参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件，则，，，【小问2】的可能取值为，故，，，，，.故的分布列为：0610121620则.19.【小问1】由椭圆的离心率为，得，即，由