2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—9.解析几何

1、新课标全国卷文科数学分类汇编9解析几何一、选择题【 2018,4】已知椭圆 C ： x2y21的一个焦点为 (2 ，0) ，则 C 的离心率为（）a241B 1C 2D2 2A 2323【 2017， 5】已知 F 是双曲线 C : x2y21 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标3是 (1,3)，则APF 的面积为（）1123A B CD3232【 2017，12】设 A、 B 是椭圆 C： x2y21长轴的两个端点，若C 上存在点 M 满足 AMB =120 ，则 m3m的取值范围是()A (0,19,)B (0,3 9,)C (0,1 4,)D (0,

2、 34,)【 2016，5】直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 ，则该椭圆的4离心率为（）1B1C23A 23D 34【 2015， 5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1 ， E 的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，2A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|=()A 3B 6C9D 12【 2014， 10】 10已知抛物线C： y2=x 的焦点为 F ， A(x0,y0)是 C 上一点， |AF|=5 x0 ，则 x0=()A4A 1B 2C4 D 8【 2014， 4】 4已知双曲线x2y21(a0) 的离心率为 2

3、，则 a= () Da23A 2B 65D 12C2C： x2y25 ，则 C 的渐近线方程为 (【 2013， 4】已知双曲线22 =1 (a 0， b0) 的离心率为)ab2A y1 xB y1 xC y1 xD yx432【 2013， 8】 O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y2 42x的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF | 42，则 POF的面积为 ()A 2B2 2C2 3D 422【 2012， 4】 4设 F1 、 F2 是椭圆 E： x2y2 （ ab0 ）的左、右焦点， P 为直线 x3a上一点，ab2F2 PF1 是底角为 30的等腰三角形，则E 的离心率为（）A

4、 1B 2C 3D 42345【 2012，10】10等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x 轴上， C 与抛物线 y216x 的准线交于 A，B 两点，|AB| 43 ，则 C 的实轴长为（）A 2B2 2C4D 8【 2011， 4】椭圆 x2y 21的离心率为（）168113D 2A BC2323【 2011，9】已知直线 l 过抛物线的焦点， 且与 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， B 两点， AB12，P为C 的准线上一点，则 ABP 的面积为（）A 18B 24C 36D 48二、填空题【 2018,15】直线 yx222 y3 0 交于 A ，B 两点，则 AB _1

5、与圆 xy【 2016，15】设直线yx2a 与圆 C : x2y22ay2 0 相交于 A, B 两点，若AB23，则圆 C的面积为【 2015，16】已知 F 是双曲线 C: x2y21的右焦点， P 是 C 左支上一点， A(0,66) ，当APF 周长最8小时，该三角形的面积为三、解答题【 2018,20】设抛物线 C：y22x ，点 A2 ，0， B2 ，0 ，过点 A 的直线 l 与 C 交于 M ， N 两点（ 1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（ 2）证明： ABM ABN 【 2017， 20】设 A， B 为曲线 C： yx2上两点， A 与 B 的横坐标之

6、和为 44（ 1）求直线 AB 的斜率；（ 2）设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线AB 平行，且 AMBM ，求直线 AB 的方程【 2016，20】在直角坐标系 xOy 中，直线 l : y t (t 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C : y22 px( p 0) 于点 P， M 关于点 P的对称点为 N ，连结 ON 并延长交 C 于点 H （ 1）求OH；（ 2）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？请说明理由ON【2015，20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点 .

7、()求 k 的取值范围；() OM ON =12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|.【 2014,20 】已知点 P(2,2) ，圆 C : x2y28 y0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段AB 的中点为 M ， O为坐标原点 .（ 1）求 M 的轨迹方程；（ 2）当 | OP | |OM | 时，求 l 的方程及POM 的面积【 2013，21】已知圆 M：(x 1)2 y2 1，圆 N：(x 1)2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲

8、线 C 交于 A， B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.【 2012，20】设抛物线C： x22 py （ p0 ）的焦点为F，准线为 l ， A 为 C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交 l 于 B， D 两点。（ 1）若 BFD =90 ， ABD 的面积为 42 ，求 p 的值及圆 F 的方程；（ 2）若 A ， B， F 三点在同一直线m 上，直线 n 与 m 平行，且 n 与 C 只有一个公共点，求坐标原点到m ， n 距离的比值。【 2011， 20】在平面直角坐标系 xOy 中，曲线yx26x1与坐标轴的交点都在圆C 上（ 1）求圆 C 的方程；（ 2）若

9、圆 C 与直线xy a0交于 A，B两点，且 OAOB ，求 a 的值新课标全国卷文科数学分类汇编9解析几何一、选择题【 2018,4】已知椭圆 C ： x2y21的一个焦点为 (2 ，0)，则 C 的离心率为（）a241B 1C 2D2 2A 2323解：选 C。依题意可得： c2,a2b2c244 8ec22a2 2 2【 2017， 5】已知 F 是双曲线 C : x2y21 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标3是 (1,3)，则APF 的面积为（）1B 123A 2CD332【解法】选D 由 c2a2b24 得 c2 ，所以 F (2,0)，将 x

10、2 代入 x2y21 ，得 y3 ，所以3PF 3 ，又 A 的坐标是 (1,3)，故 APF 的面积为13 (21)3，选 D22【 2017，12】设 A、 B 是椭圆 C： x2y21长轴的两个端点，若C 上存在点 M 满足 AMB =120 ，则 m3m的取值范围是()A (0,19,)B (0,39,)C (0,14,)D (0,34,)【解法】选A 图 1图 2解法一：设 E、F 是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆 C 短轴的端点时AMB 最大，依题意只需使 AEB 1200 1当 0m3 时，如图1， tanAEBa303，解得 m1 ，故0m1 ；2btan60m2

11、 当 m3时，如图2， tanAEBam03 ，解得 m92btan 603综上可知， m 的取值范围是 (0,19,) ，故选 A解法二：设 E、F 是椭圆 C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆 C 短轴的端点时AMB 最大，依题意只需使AEB1200 1当 0m3 时，如图1， cos EA, EBcos12001，即 EAEB1 ，2EA EB2带入向量坐标，解得m1，故 0m1 ；2 当 m3 时，如图2， cos EA, EB01 ，即EA EB1，cos120EA EB22带入向量坐标，解得m9 综上可知， m 的取值范围是 (0,19,) ，故选 A【 2016，5】直线 l

12、经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1 ，则该椭圆的4离心率为（）1123A 3BCD 234解析：选 B 由等面积法可得1bc1a 2b1，故 c1 a ，从而 ec1故选 B2242a2【 2015， 5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为1 ， E 的右焦点与抛物线C: y2=8x，的焦点重合，2A,B 是 C 的准线与 E 的两个交点，则 |AB|=()A 3B 6C9D 12解：选 B抛物线的焦点为(2,0)，准线为 x=-2 ，所以 c= 2，从而 a= 4，所以 b2= 12，所以椭圆方程为x2y21，将 x=-2 代入解得 y= 3，所以 |AB

13、|=6，故选 B1612【 2014， 10】 10已知抛物线C： y2=x 的焦点为 F ， A(x0,y0)是 C 上一点， |AF|=5 x0 ，则 x0=( )A4A 1B 2C4 D 8解：根据抛物线的定义可知|AF|= x015 x0 ，解之得 x0=1 故选 A44【 2014， 4】 4已知双曲线 x2y21(a0) 的离心率为2，则 a= () Da23A 26C5B D 122解： eca2b2a232 ，解得 a= 1，故选 Daa2a2225 ，则 C 的渐近线方程为 (【 2013， 4】已知双曲线C： x2y2 =1 (a 0， b0) 的离心率为)ab2A y1B

14、 y1xC y1D yxx3x42解析：选 C e5， c5，即 c25 c2a2 b2， b21 b12a2a24a24a 2双曲线的渐近线方程为yb x ，渐近线方程为y1 x 故选 Ca2【 2013， 8】 O 为坐标原点， F 为抛物线 C：y2 42x 的焦点， P 为 C 上一点，若 |PF | 42 ，则 POF的面积为 ()A 2B2 2C2 3D 4答案： C解析：利用 |PF|xP242 ，可得P3 2， yP26 SPOF 1P 23 x|OF | |y |故选 C2x2y2（ ab0）的左、右焦点， P 为直线 x3a【 2012， 4】 4设 F1 、 F2 是椭圆

15、 E：2b22上一点，aF2 PF1 是底角为 30的等腰三角形，则E 的离心率为（）A 1B 2233D 4C54【解析】如图所示，F2 PF1 是等腰三角形，F2 F1PF2 PF130 ， | F2 P | | F1 F2 | 2c ， PF2Q 60 ， F2 PQ30 ， | F2Q | c ，又| F2Q|3ac ，所以3acc ，解得 c3 a ，因此 ec3，故选择 C224x 轴上，a4【 2012， 10】 10等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在C 与抛物线 y216 x 的准线交于 A， B 两点，|AB|43 ，则 C 的实轴长为（）A 2B 22C4D 8【解析】设等

16、轴双曲线C 的方程为 x2y21 ，即 x2220 ），a2a2ya （ a抛物线 y216 x 的准线方程为 x4 ，联立方程x2y2a2，解得 y216a2 ，x4因为|AB|4 3，所以 | AB |2(2 | y |) 24 y248 ，从而 y212 ，所以 16a212 ， a24 ，a 2 ，因此 C 的实轴长为 2a 4 ，故选择 C【 2011， 4】椭圆 x2y 21的离心率为（）16811C3D 2A B3232【解析】选 D 因为 x2y21中， a216,b28 ，所以 c2a2b28，所以 ec222168a42【 2011，9】已知直线 l 过抛物线的焦点， 且与

17、 C 的对称轴垂直， l 与 C 交于 A ， B 两点， AB12， P 为C 的准线上一点，则 ABP 的面积为（）A 18B 24C 36D 48【解析】不妨设抛物线的标准方程为y 22 px p 0，由于 l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为xp 代入 y 22 px 得 yp ，即 AB2 p ，又 AB12 ，故 p6，所以抛物线的准线方程为2x3，故 SABP161236 故选 C2二、填空题【 2018,15】直线 yx1与圆 x2230 交于 A ，B 两点，则 AB_y2 y解析： 2 2。x2y22 y30 x2( y1)24圆心为 (0,1)，半径为 2AB 2

18、22(1 1)22 211【 2016，15】设直线 yx2a与圆 C : x2y22ay20 相交于 A, B 两点，若AB23，则圆 C的面积为解析： 4 由题意直线即为 xy2a0 ，圆的标准方程为x2ya2a 22，a2a2a 2a所以圆心到直线的距离d，所以 AB222223 ，222故 a22r 24 ，所以 Sr 24故填 4【 2015，16】已知 F 是双曲线C: x2y21的右焦点， P 是 C 左支上一点，A(0,66) ，当APF 周长最8小时，该三角形的面积为解：126 a=1，b2=8，c=3，F(3,0)设双曲线的的左焦点为F1 ，由双曲线定义知|PF|= 2+|

19、PF1 |， APF 的周长为 |PA|+ |PF |+|AF|=|PA|+|AF|+|PF1 |+ 2，由于 |AF|是定值，只要 |PA|+|PF 1|最小，即 A,P,F 1 共线， A(0,66) ，F1 (-3,0) ，直线 AF 1 的方程为x6y1 ，联立 8x2-y2=8 消去 x 整理得 y2+ 66 y-96=0 ，36解得 y= 26 或 y=8 6 (舍去 )，此时 S APF=SAFF 1PFF 13(66 26) 126-S三、解答题【2018,2022 x ，点 A 2，0，B2，0，过点 A 的直线 l 与C交于M，N两点】设抛物线 C：y（ 1）当 l 与 x

20、 轴垂直时，求直线 BM的方程；（ 2）证明： ABM ABN 解：（ 1）当 l 与 x 轴垂直时， l 的方程为 x=2，可得M 的坐标为（ 2， 2）或（ 2， 2）所以直线 BM 的方程为 y= 1x1 或 y1x122（ 2）当 l 与 x 轴垂直时， AB 为 MN 的垂直平分线，所以 ABM = ABN当 l 与 x 轴不垂直时，设l 的方程为 yk( x2)( k0) ， M（ x1，y1 ）， N（ x2， y2），则 x10 ， x20yk( x，2)得 ky22y4k=0，可知 y12 ， y由212y22 x+y =ky =4直线 BM ， BN 的斜率之和为kBMkB

21、Ny1y22x2 y1x1 y22( y1y2 ) x12 x2( x12)( x22)将 x1y12 ，x2y22 及 y1+y2， y1y2 的表达式代入式分子，可得kk2 1122( y12)2 y1 y24k ( y1y2 )8 80x yx yykk所以 kBM+kBN=0 ，可知 BM ， BN 的倾斜角互补，所以ABM = ABN 综上， ABM= ABN【 2017， 20】设 A， B 为曲线 C： yx2上两点， A 与 B 的横坐标之和为 44（ 1）求直线 AB 的斜率；（ 2）设 M 为曲线 C 上一点， C 在 M 处的切线与直线AB 平行，且 AMBM ，求直线

22、AB 的方程解析：第一问： 【解法 1】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB直线的斜率为k，又因为 A,B 都在曲线 C 上，所以y1x12 / 4yx2/ 422-得 y2y1x22x12(x1x2 )( x2x1 ) 由已知条件 x1 x2444所以， y2y11 即直线 AB 的斜率 k=1x2x1【解法2】设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,AB直线的方程为y=kx+b, 所以ykx byx2 / 4整理得： x24kx4b 0,xx4k, 且 x1x24 所以 k=112第二问：设M (x0 , y0 ) 所以 y0x02 / 4又y1

23、x所以 k1x01, x0 2, y0122所以 M （ 2,1）， MA( x2, y1)， MB(x2, y21) ，且 AMBM，AMBM0112即x1x22(x1x2 )y1 y2( y1y2 )50，设 AB直线的方程为yx b ，yxbyx2,/ 4化简得 x 24x4b0 ，所以 x1x24b, y1 y242b, y1 y2b2由得 b 27b70 所以 b=7 或者 b=-1( 舍去 )所以 AB 直线的方程为 y=x+7【 2016，20】在直角坐标系 xOy 中，直线 l : y t (t 0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C : y22 px( p0)于点 P， M

24、 关于点 P的对称点为 N ，连结 ON 并延长交 C 于点 H （ 1）求OH；（ 2）除 H 以外，直线 MH 与 C 是否有其他公共点？请说明理由ON解析（ 1）如图， 由题意不妨设 t 0 ，可知点 M , P, N 的坐标分别为M 0,t ， P t2， Nt2，,t,t2 ppyHMPNOxyp2从而可得直线 ON 的方程为 yx，解得 x2t， y2t p x ，联立方程tty22 pxp即点 H 的坐标为2t 2,2t，从而由三角形相似可知OHyH2t2pONyNt（ 2）由于 M0,t， H2t 2,2t ，可得直线 MH 的方程为y tt2 x ，p2tp整理得 2typx

25、2t22typx 2t 204ty 4t 20 ，0 ，联立方程2 px，整理得 y2y2则16t 216t20，从而可知 MH 和 C 只有一个公共点H 【2015，20】已知过点 A(0, 1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点 .()求 k 的取值范围；() OMON =12，其中 O 为坐标原点，求 |MN|.解： ( )依题可设直线 l的方程为 y=kx+1，则圆心 C(2,3)到的 l 距离|2k31|解得4 -74 + 7.d1.3 k 31k 2所以 k 的取值范围是 ( 47 , 47 ) .33( )将 y=kx+1 代入

26、圆 C 的方程整理得 (k2+1)x2 -4(k+1)x+7= 0.设 M(x1122，则x1x24( k1)7, y ),N(x , y )k 2, x1x2.1k 2 1所以 OMON =x1x2+y1y2=x 1x2+ (kx1+ 1)(kx2+ 1)= (1+k2)x1x2+k (x1 +x2)+ 14k(k +1)，解得k=1k =1，所以l的方程为y=x+1.k 28=12+1故圆心在直线 l 上，所以 |MN|=2.【 2014,20 】已知点 P(2,2)，圆 C : x2y28 y0 ，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 M ， O为

27、坐标原点 .（ 1）求 M 的轨迹方程；（ 2）当 | OP | | OM | 时，求 l 的方程及POM 的面积【 2013，21】已知圆 M：(x 1)2 y2 1，圆 N：(x 1)2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)C(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线，l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|.解： 由已知得圆M 的圆心为 M ( 1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为N(1,0) ，半径 r 2 3.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆N 内切，所以 |PM | |PN | (R r 1) (r 2 R)r 1 r 2 4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3 的椭圆 (左顶点除外 )，其方程为 x2y 2=1 (x 2)43(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x，y)，由于 |PM| |PN| 2R 2 2，所以 R 2，当且仅当圆 P 的圆心为 (