2011年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(理科)(解析版)

1、2011 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理）试题解析一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x, x0,4 ,则实数= ()（ 1）设函数 f (x)若f ( )x2 , x f0.（A）-4 或-2（B）-4 或 2（C）-2 或 4（D）-2 或 2【答案】B0 时， f ()24,4 ；【解析】当当0 ， f ( )224,4.（ 2）把复数z 的共轭复数记作z ， i 为虚数单位，若z=1+I, 则 (1z) z()（ A ） 3-i（ B） 3+i（ C） 1+3i （ D） 3【答案】A【

2、解析 】 z1 i ， z1 i ， (1z) ? z(2 z)(1z)3i .(3) 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是()【答案】D【解析 】由正视图可排除A 、B选项；由俯视图可排除C选项.（ 4）下列命题中错误的是 ()（ A ）如果平面平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面（ B）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面（ C）如果平面平面，平面平面，=l ，那么 l平面（ D）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面【答案】D【解析 】若面面 ，在面内与面的交线不相交的直线平行平面，故 A正确；B中若内存在直线垂直平面，则，与题没矛盾，所

3、以B 正确；由面面的性质知选项C正确.x2 y5 0（ 5）设实数x, y满足不等式组2xy若x, y为整数，则3x4y的最小值是 ()7 0, ，y 0，x0（A）14（ B）16（ C）17（D）19【答案】B【解析 】可行域如图所示2x+y-7=0yX+2y-5=0ox联立x 2 y 5 0，解之得x33，2xy 7 0y，又边界线为虚线取不到，且目标函数线的斜率为41当 z 3x4 y 过点（ 4， 1）时，有最小值16.（6）若 0 ，- 0， cos()1 ， cos()3) ()2，则 cos(2243432（ A ）3（ B）3（ C）53（ D）63399【答案】C【解析 】

4、 cos()1 ， 02， sin()2 3 ，又 cos()3 ，434342320 ， sin()6 ， cos()cos() () 4232442cos() cos()sin() sin(13236532) 33.44244339（ 7）若 a, b为实数，则 “01m1或1的() ab ”是 abba（ A ）充分而不必要条件（ B）必要而不充分条件（ C）充分必要条件（ D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析 】当 a 0,b0 时，由0ab1两边同除 b 可得 a10,b0 时，两边同除成立；当 a111b1以 a 可得 bab或 bab0，由 a成立， “01 ”是“a”的充会

5、条件，反过来或ababb1得不到 0ab1.a222（ 8）已知椭圆 C1: x2y21(a b0) 与双曲线C1: x2y1有公共的焦点， C2 的一条渐近线ab4与以 C1 的长轴为直径的圆相交于A, B 两点，若 C1 恰好将线段AB 三等分，则 ()（ A ） a213（ B） a213（ C） b21（D ） b2222【答案】 C【解析 】由双曲线 x2y 2 1 知渐近线方程为 y2x ，又椭圆与双曲线有公共焦点，4椭圆方程可化为b2 x 2 b25 y 2 b 25 b2 ，联立直线与椭圆方程消y 得，x2b 25 b 21222b25 b22a5b2，又 C1 将线段 AB

6、三等分，5b 220，203解之得 b21.2（ 9）有 5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本 .若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率()（A） 1（B） 2（C） 3D 4【答案】B5555【解析 】由古典概型的概率公式得P12A22 A22 A32A33 A22 A222A55.5（ 10）设 a， b，c 为实数，f()(x a)(x2bxc),g(x)(ax1)2bx1).记集合x（ cxS= x f ( x)0, xR,Tx g( x)0, xR ,若 S ， T 分别为集合元素S，T 的元素个数，则下列结论不可能 的是 ()（A

7、） S=1且 T =0（B） S1且T=1（C） S=2且 T =2（D）S=2且T=3【答案】C【解析】当abc0时，s且 |T|0 ；当 a0, b01且 b24c0 时， s1且 | T | 1 ；当 a 0, b24a 0 时，s 2且|T | 3.非选择题部分（共100 分）二、填空题：本大题共7 小题，每小题4 分，共 28分（ 11）若函数 f ( x)x2xa 为偶函数，则实数 a。【答案】0【解析 】 f ( x) 为偶函数，f ( x)f ( x) ，即 x2| x a | ( x)2|x a |x a x a , a 0 .（ 12）若某程序图如图所示，则该程序运行后输出

8、的k 的值是。【答案】5【解析 】 k3时， a43 64， b34 84， ab ；k4 时， a4 4256， b44256， ab ；k5时， a45 2564 ， b54 625， a b .（ 13）设二项式 ( xa)6 (a 0) 的展开式中 x3 的系数为 A, 常数项为 B ，若 B=4A ，则 a 的值x是。【答案】2ak63【解析 】由题意得 TkC 6k x6 ka kk1C6k x2 ，x Aa 2 C62 ， Ba 4 C64 ，又 B4A ，442，解之得 a 24 ，又 a0 ， a 2 .a C64aC62（ 14）若平面向量， 满足 | | 1，| 1，且以

9、向量 ， 为邻边的平行四边形的面积为1 ，则 与2的夹角的取值范围是。【答案】 , 566111【解析 】由题意得：sin1 ，1 ， sin，222又(0, ) ，( , 5) .6 6（ 15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为2 ，得到乙公司面试的概率为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的。记31X 为该毕业生得到面试得公司个数。若P( X 0) ，则随机变量 X 的数学期望 E(X ) 12【答案】 53【解析】 P X 012 p21 ， p1 .312222PX 12 11 121 ，3232322P X22121

10、15 ，323212221P X31，326EX 011 12531 5.1231263（ 16）设 x, y 为实数，若 4x2y2xy1, 则 2xy 的最大值是.。【答案】 2 1053【解析 】 4x2y2xy1， (2xy) 23xy1 ，即 ( 2xy) 2? 2xy1 ，2 (2xy) 23? (2xy ) 21，解之得： (2xy) 28，即2x y2 10.2255（ 17）设 F1, F2 分别为椭圆x2y21的焦点，点 A, B 在椭3uuuruuuur圆上，若 F1A5F2 B ;则点 A 的坐标是.【答案】0,1【解析 】设直线 F1 A 的反向延长线与椭圆交于点B

11、，又 F1A5F2 B ，由椭圆的对称性可得F1 A 5B F1 ，设 A x1 , y1， B x2 , y2，又 |F1A|6x13 2，| F1B |6 x23 2，32326325632)( x12)( x220 ，点 A 的坐标为 0,1 . 33解之得 x1x1252x2三、解答题 ;本大题共5 小题，共72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（ 18）（本题满分 14分）在VABC 中，角 A.B.C 所对的边分别为 a,b,c.已知 sin Asin Cpsin Bp R , 且 ac1 b2 .5 , b4（）当 p1时，求 a, c 的值；4( )若角 B 为锐角

12、，求p 的取值范围；18本题主要考查三角变换、正弦定理、 余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。满分 14 分。ac5 ,（ I）解：由题设并利用正弦定理，得41 ,ac4a1,或a1 ,解得14c,c1.4（ II ）解：由余弦定理， b2a2c22ac cos B( a c) 22ac2ac cosBp2b21b21b2 cosB,22即 p231 cosB,22(3,2) ，因为 0cos B1,得 p22由题设知 p6p2.0, 所以2（ 19）（本题满分14 分）已知公差不为0 的等差数列 an 的首项 a1 为 a( aR ),设数列的前 n 项和为 Sn ，且1 ，1 ，1

13、成等比数列a1a2a4（ 1）求数列 an 的通项公式及Sn111111112 时，试比较 An 与 Bn（ 2）记 An.， Bna1a2.，当 nS1S2S3Sna22a2n的大小 .19本题主要考查等差数列、等比数列、求和公式、不等式等基础知识，同时考查分类讨论思想。满分 14 分。（ I）解：设等差数列 an 的公差为 d，由 ( 1 )211 ,a2a1a4得 (a1d ) 2a1( a13d)因为 d0 ，所以 da 所以 anna1, Snan( n 1).212 (11（ II ）解：因为) ，所以Sna nn1An111L12 (11 )S1S2S3Snan 1因为 a n

14、12n1 a ，所以2111111 ( 1) n122Bna1a2a22La2n 1a1 1a (12n ).2时, 2nCn0Cn1Cn2L Cnn2当 nn 1 ，即 1111n12n ,所以，当 a0时, AnBn ;当 a0时, AnBn .（ 20）本题满分 15 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， PO平面 ABC ，垂足 O 落在线段 AD 上，已知 BC 8，PO 4，AO 3，OD 2（）证明： AP BC；（）在线段 AP 上是否存在点 M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由。20本

15、题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用， 同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15 分。方法一：（ I）证明：如图，以 O 为原点，以射线 OP 为 z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O xyz则 O(0,0,0), A(0, 3,0), B(4,2,0), C ( 4,2,0), P(0,0,4) ，uuuruuur(8,0,0)uuuruuur0 ，所AP(0,3, 4), BC，由此可得 APBC以uuuruuur，即 APBC.APBCuuuuruuuuruuur3,4)（ II ）解：设 PMPA,1,则 PM(0,uuuuruuuruuuuruuur

16、uuurBMBPPMBPPA(4,2, 4)(0,3,4)(4,23, 4 4)uuur(uuur(8,0,0)AC4,5,0), BCur( x , y , z ) ，设平面 BMC 的法向量 nuur11 1 1平面 APC 的法向量 n2( x2 , y2 , z2 )uuuurur由 uuur ur1 0, BC n1 0,BMn4x1(2 3 ) y1(4 4 )x10,得8x10,x10,ur(0,1,23 )即23可取 n1z144y1,44uuuruur3y24z20,APn20,由 uuuruur即ACn20.4x25 y20,x25 y2 ,uur4得可取 n2(5, 4,

17、 3).3 y2 ,z2ur uur40,得4 32 3由 n1 n20,244解得，故 AM=3 。5综上所述，存在点M 符合题意， AM=3 。方法二：（ I ）证明：由 AB=AC ， D 是 BC 的中点，得 ADBC又 PO平面 ABC ，得 POBC.因为 POI ADO ，所以 BC平面 PAD ，故 BCPA.PAB 内作 BMPA于 M，连 CM，（ II ）解：如图，在平面由（ I ）中知 APBC ，得 AP平面 BMC ，又 AP平面 APC ，所以平面 BMC平面 APC 。在 RtADB中, AB2AD 2BD 241,得 AB41.在 RtPOD中, PD 2PO

18、2OD2 ，在 RtPDB中, PB2PD 2BD 2,所以 PB2PO 2OD 2DB 236, 得 PB=6.在 RtPOA中, PA2AO2OP 225,得 PA 5.又 cosPA 2PB2AB21BPA2PA PB,3从而 PMPB cosBPA2 ，所以 AM=PA-PM=3 。综上所述，存在点M 符合题意， AM=3 。（ 21）（ 21）（本题满分15 分）已知抛物线C1 : x2 y ，圆 C2 : x2( y4) 21的圆心为点M 。（）求点M 到抛物线 C1 的准线的距离；（）已知点P 是抛物线 C1 上一点（异于原点） ，过点 P作圆 C2 的两条切线，交抛物线 C1

19、于 A ， B 两点，若过 M， P 两点的直线 l 垂足于 AB ，求直线 l 的方程 .21本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线、圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分 15 分。（ I）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：y1 ,174所以圆心 M （ 0， 4）到准线的距离是.4（ II ）解：设 P(x0 , x02 ), A( x1, x12 ), B(x2 , x22 ) ，则题意得 x00, x01, x1x2 ，设过点 P 的圆 C2 的切线方程为yx02k( x x0 ) ，即 y kxkx0x02| kx4x2|则001,1k2即

20、 (x02 1)k 22x0 (4 x02 )k( x024) 21 0 ，设 PA， PB 的斜率为 k1 , k2 (k1k2 ) ，则 k1, k2 是上述方程的两根，所以k1k22 x0 ( x024), k1k2( x024)2 1.x021x021将代入 yx2得 x2kxkx0x020,由于 x0 是此方程的根，故 x1k1x0 , x2k2x0 ，所以kABx12x22x x k k22x2x0 (x024) 2x , kMPx024 .xx1210x210x2100由 MPAB ，得 kABkMP( 2x0 ( x024)2x0 ) ( x0241) ，x21x00解得 x0

21、223 ,5即点 P 的坐标为 (23 ,23) ，55所以直线 l 的方程为 y3115 x4.115（ 22）（本题满分 14 分）设函数 f ( x) ( x a)2ln x ， a R（）若 x e 为 yf ( x) 的极值点，求实数 a ；（）求实数 a 的取值范围，使得对任意的x （ 0,3 e ，恒有f (x)42成立 .e注： e 为自然对数的底数。22本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14 分。（ I）解：求导得f (x)2( xa)ln x( xa) 2( x a)(2lnx1a ).因为 xe是 f ( x) 的极值点，xx所以f( )(ea)(3a )0,ee解得 ae或a3e经检验，符合题意，所以 ae或a3e.4e2（ II ）解：当0x1 时，