word完整版等比数列知识点总结与典型例题精华word版推荐文档

1、等比数列知识点总结与典型例题第3页共12页1、等比数列的定义:anan 1n 2,且n N ，q称为公比2、通项公式:ann 1 a1 naQ qqnA Ba1q 0,AB 0，首项：a1 ;公比：qann m - am推广：an amqnn m耳qqam3、等比中项:A2 ab 或 A . ab(1)如果a, A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等差中项，即:注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个(2)数列an是等比数列an2an 1 an 14、等比数列的前n项和Sn公式:(1)当q 1时,Sn(2)当q 1时,Sna 1 qn1 q印 a.q1 qA Bn ABn A(

2、A, B,A,B为常数)5、等比数列的判定方法:(1)用定义：对任意的n,都有an 1qan或汕q(q为常数，a“an0)an为等比数列0)an为等比数列(2)等比中项：an2 an n 1(an 1an 1(3)通项公式：an A Bn A B 0an为等比数列6、等比数列的证明方法:依据定义：若-a q q 0 n 2,且nan 1N或 an 1qanan为等比数列7、等比数列的性质:(2)对任何m,n N，在等比数列an中，有务n mamq 。(3) 若m n s t(m,n,s,t N )，贝Uan am as at特别的，当m n 2k时，得a. am aj注：a1 an a2 an

3、 1 a3a* 2等差和等比数列比较:等差数列等比数列定义an 1 andan 1,c、q(q 0) an递推公式anan 1 d ； anam nmdn ma nan 1 q ； a nam q通项公式ana1(n 1)dana1q( a1 ,q 0)中项A an k an k ( n,k N*,n k 0)G*：ankan k(a nkank 0)( n, k N , n k 0 )前n项和nSn (a1an)Snan(n 1) dSnna1dn 1 2naq 1)Sna1 1 qn a1 a“q (1 q1 q q重要性质amana paq(m, n, p,q N*,m n p q)a

4、m ana p a q*(m, n, p, q N ,m n p q)经典例题透析类型一：等比数列的通项公式例1.等比数列an中，q比 64, a3 a7 20,求印，.思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于 和q的二元方程组，解出印和q，可得an ;或注意到下标1 93 7，可以利用性质可求出a3、a7，再求a.解析:设此数列公比为q，则8小a a? a aq642 6a3 a7 aiqaiq20(1)由(2)得：aiq2(1 q4)20(3)由得：(aiq4)2 64 , ag4 8 (3) (4)得:1 q42q20 2q4 5q2 20,解得 q22 或q2-2当 q

5、2 时，a12， an a1 q 64;当 q21 时，a132， a q q101 .2法二：t a a? a3 a7 64 ,又 a3 a7 20 ,-a3、a7为方程x220x640的两实数根, % i6 或a74a34a7i62 .a3 aiia7 ,aii2a7i或Cii64 .a3总结升华: 列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量; 解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用 除法（除式不为零） 举一反三:【变式U an为等比数列，ai=3，a9=768,求a6。【答案】均6法一：设公比为 q，贝U 768=aiq8，q

6、8=256，.q=i2，A 空=均6;法二：a52=aia9 a5=48 q=2，A a6=96。【变式2 an为等比数列，an0，且aia89=i6，求a44a45a46的值。【答案】64；2 | ,aia89a45 i6，又 an0，. c45=4-844845846a4564。8，求 an。【变式3】已知等比数列an，若ai a2 a37， aia2a3【答案】an 2ni或an 2：第5页共i2页法:玄1玄3a?，ai a2 a33 a?8， a a2从而aia340345,解之得aia34或ai4，a3i当aii 时，q 2 ;当 ai4时,故an2ni 或 an 23n。法二:由等

7、比数列的定义知a?aiqa32aiq2a-iaiq aiq2ai aiq aiqai(13 3aiqq2) 7,ai(iaiqq2)7,(1)2将 ai -代入(1)得 2q2 5q 2 0 ,q解得q2或qi2由（2）得 ai得iai 4或i ，以下同方法q2q匚2类型二：等比数列的前n项和公式 例2.设等比数列an的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,求数列的公比q.解析：若 q=1，则有 S3=3ai，S6=6ai，S9=9ai.因aiM0得S3+S6工2S,显然q=1与题设矛盾，故1.93第7页共i2页ai(i q* 3)ai(i q6)2ai(i q9)由 S3 S6 2S9 得，

8、i q 整理得 q3(2q6-q3-i)=0, 由 q0 得 2q6-q3-仁0,从而(2q3+i)(q3-i)=0,。2因q3工1故q3i-，所以q举一反三:i i的前6项和。【变式i】求等比数列iC丄3 9【答案】364 ；243 ；aii ,6i二 S6364。2433【变式2】已知：an为等比数列,aia2a3=27,S3=i3,求 S5.i2i【答案】i2i或凶93a?27a2 3,i3ai(i q3)ii，则 ai=i 或 ai=9二 Ssi 35i 3i2i 或 S.5=i-A35=i_2i9【变式3】在等比数列an中，a1an 66 ,a2an1128 ,Sn126，求n和q。

9、【答案】q 1 或 2，2n 6 ；t a2an 1a1 an，a1a n128解方程组aian 128，得a164或d2aj an 66an2an64将a164o代入Sna1anq得1得q 一，an21q2由anagn 1，解得n6 ；将a12代入Sna1anq得q 2，an64n1q由 an aiqn 1，解得 n 6。1 、-q 或 2, n 6。2类型三：等比数列的性质例3.等比数列an中，若a5 a6 9,求log3 a1 log3 a2 .解析：- an是等比数列,a1 a10a? a?a3 aga4 a7a5 a69log 3 a1log 3 a2log3 a10 log3(a1

10、 a2 a3L a10)55log3(a5 a6)log3 910第#页共12页举一反三:【变式1】正项等比数列an中，若a1 a1oo=1OO;则Iga1+lga2+lga1oo=【答案】100;T Iga1+lga2+lga3+lga100=lg(a1 a2 a3100)而 a1 a100=a2 a99=a3 a98=a50 a51原式=lg(a1 a100)50=50lg(a1 a100)=50 羽100=100。【变式2】在8和耳之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为32【答案】216;法一：设这个等比数列为an，其公比为q，a18，a5 27 a1q4 8 q4

11、， q48116，.2336 a? 83 84aq aqaqaq63 216。法二：设这个等比数列为an，公比为q，则ai27加入的三项分别为a2， a3， a4，由题意ai，a3，a5也成等比数列， af27236，故 a36，23 a? 83 玄4玄3 玄3 玄3216 o类型四：等比数列前n项和公式的性质思路点拨：等差数列中也有类似的题目，我们仍然米用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，解析：第2个k项和，第3个k项和，第n个k项和仍然成等比数列。例4.在等比数列an中，已知Sn 48 ,S2n60，求 S3n。法一：令 bl=Sn=48, b2=S2r-Sn=60-48=12，

12、b3=S3n-S2n 观察 bi=ai+a2+an,b2=an+i+an+2+a2n=qn(ai+a2+)，b3=a2n+i+a2n+2+a3n=q2n(ai+a2+an)易知bi,b2,b3成等比数列， b3 2 3，b|48 S3n=b3+S2n=3+60=63.法二:-S2n 2Sn，q由已知得aw qn)48 i q1 q 60ai(1 q2n)*得i qn ，即q4 代入得科64，法三:ai(i q3n)1 q 64(163 o- an为等比数列，Sn，S2n Sn，Ssn Szn也成等比数列, S(S2nS.)2S(60 48)26063-Os.S2n6063。Sn48举一反三：【

13、变式1】等比数列%中，公比q=2, S4=1,则S8=.【答案】17;S8=S4+a5+a6+a7+a8=S4+aiq4+a2q4+a3q4+a4q4=S4+q4(ai+a2+a3+a4)=S4+q4S4=S4(1+q4)=1 答1+24)=17【变式2】已知等比数列a.的前n项和为Sn,且Sio=1O, &。=40,求：Sso=?【答案】130;法一：S10, S20-S10, S30-S20构成等比数列， (S20-Si0)2=Si0 (S30-S20) 即 302=10(S30-40), S30=130.法二: 2S10MS0,. q 1 , S10d(1 q10)10 , S2020

14、a/1 q )40,q10q彳 201 q1.10/qa13,.-1 q-S3030 xa1(1q )(5)(133)130.【变式3】等比数列a.的项都是正数，若Sn=80, S2n=6560,前n项中最大的一项为54,求 n.【答案】邑总, q 1(否则处-)S2n 6560S2n2.Sna1(1q)=80(1)1 qS2n a1(1 q )=6560(2),1 q(2)但)得：1+qn=82,. qn=81(3)该数列各项为正数，由(3)知q1 an为递增数列， an为最大项54. an=a1qn-1=54,. a1qn=54q, 81a1=54q(4)5422 d q -q 代入(1)

15、得匚q(1 81) 80(1 q),8133 q=3, n=4.【变式4】等比数列an中，若a1+a2=324, a3+a4=36,则a5+as=第7页共12页【答案】4;令 bi=ai+a2=ai(1+q), b2=a3+a4=aiq(1+q),b3=a5+a6=aiq9(1+q),b23&2易知：bi, b2, b3成等比数列， b3=- =4,即卩 a5+a6=4.b 324【变式5】等比数列an中，若ai+a2+a3=7,a4+a5+as=56,求a7+a8+a9的值。【答案】448;Tan是等比数列， (a4+a5+a6)=(ai+a2+a3)q3,A q3=8,3- a7+a8+a

16、9=(a4+a5+a6)q =56 8=448.类型五：等差等比数列的综合应用例5.已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列.若再将此等差数列的第二项减去4，则又成等比数列求原来的三个数.思路点拨：恰当地设元是顺利解方程组的前提考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并 将其设为整式形式解析：法一：设成等差数列的三数为a-d, a,a+d.则a-d, a, a+d+32成等比数列，a-d, a-4, a+d成等比数列. a2 (a d)(a d 32)(1)(a 4)当 q=5 时 a=2;当 q=13 时 a -. (a d)(a d)2由(2)得 a=-16(3)8由

17、得 32a=cF+32d(4)8代消a,解得d 或d=8.当 d 8时,a 26 ;当 d=8 时,a=1039原来三个数为2,26,338或2,10,50.9 99法二：设原来三个数为a, aq, ad，则a, aq,ad-32成等差数列，a, aq-4, ac-32成等比数列2 2aq a aq 32(1)2 2(aq 4) a(aq 32)(2)2由得a ，代入解得q=5或q=13q 4原来三个数为2, 10, 50或-,哲，竺.999总结升华：选择适当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-d,a, a+d;若三数成等比数列，可设此三数为 -，x, xy。但还要

18、就问题而言，这里解法二中采用 y首项a,公比q来解决问题反而简便举一反三：【变式1】一个等比数列有三项，如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列， 如果再把这个等差数列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数 列.【答案】为2, 6, 18或2,50 ;999设所求的等比数列为a, aq, aq2； 则 2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；2解得 a=2, q=3 或 a - , q=-5；9故所求的等比数列为2, 6, 18或右驚.【变式2】已知三个数成等比数列，它们的积为 27,它们的平方和为91,求这三个数。【答案】1、3、

19、9或一1 3、9 或 9、3、1 或 一9、3、一1第15页共12页设这三个数分别为a, a,aq ,qaa由已知得q2aqaq2791a 32 1a (-qq2 1) 91得 9q4 82q20 ,所以q29或q2故所求三个数为:1、3、9 或 一 1、3、一9 或 9、3、1 或 一9、3、一1 o【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第 四个数的和是16,第二个数与第三个数的和为12,求这四个数.【答案】0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1;设四个数分别是x,y,12-y,16-x.2y x 12 y.(12 y)2y(16 x)由得

20、x=3y-12，代入得 144-24y+/=y(16-3y+12) 144-24y+y2=-3y2+28y,二 4y2-52y+144=0, y2-13y+36=0, y=4 或 9, x=0 或 15,四个数为 0, 4, 8, 16或 15, 9, 3, 1.类型六：等比数列的判断与证明例6.已知数列an的前n项和Sn满足：log5(Sn+1)=n(n N+),求出数列an的通项公式，并判 断an是何种数列？思路点拨：由数列an的前n项和Sn可求数列的通项公式，通过通项公式判断an类型. 解析：Tlog5(Sn+1)=n,. Sn+1=5n,A S=5n-1 (n N+),-a1 =S1

21、=5 -1=4,当 n2时，an=Sn-Sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=4 來-1而 n=1 时，4Wn-1=4X51-1=4=a1, n N+时，an=4 5n_1由上述通项公式，可知an为首项为4,公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列Cn，其中Cn=2n+3n,且数列Cn+1-pCn为等比数列，求常数p。【答案】p=2或p=3; Cn+1-pCn是等比数列，对任意 n N 且 n2 有(Cn+1-pCn)2=(Cn+2-pCn+1)(Cn-pCn-1) Cn=2n+3n, (2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n

22、+2)-p(2n+1+3n+1) (2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p) 2n+(3-p) 3n 2=(2-p) 2n+1+(3-p) 3n+1 (2-p) 2n-1 +(3-p) 3n-11整理得：(2 p)(3 p) 2n 3 n 0,解得：p=2 或 p=3,6显然Cn+1-pCnMQ故p=2或p=3为所求.【变式2】设an、bn是公比不相等的两个等比数列，Cn=an+bn，证明数列Cn不是等比数列. 【证明】设数列an、bn的公比分别为p, q,且pq为证Cn不是等比数列，只需证 G C3 Cf.T C； (a1 p dq)2 a；p2 b2q2 2a1b1 pq,C1

23、C3 佝 0)佝卩2 Dq2) a；p2 bjq2 印6(卩2 q2). 2 2-Ci C3 C2 aib)( p q),又 pH q, 0, E 0, C1CC；0 即 C1 C3数列Cn不是等比数列.【变式3】判断正误：(1)a n为等比数列a7=a3a4 ；若b2=ac,则a, b, c为等比数列；(3)an，bn均为等比数列，则anbn为等比数列;(4)an是公比为q的等比数列，则a；、1仍为等比数列;an(5)若 a, b，c成等比，贝U logma， logmb，logmc成等差.【答案】(1)错；a7=a1 q6，a3a4=a1q2 a1q3=a12q5，等比数列的下标和性质要求项数相同;错；反例：02=0X)，不能说0, 0, 0成等比；(3)对；anb