中国海洋大学高等代数2009下

1、师教课授题号-一-二二三四五六七总分得分文具和资料)，满分为：100 分。名姓W-号学XVXX 级年业专选优中国海洋大学2008-2009学年第2学期期末考试试卷数学科学 学院高等代数课程试题 (A卷)共2页第1页考试说明：本课程为闭卷考试，可携带文具(或本课程为开卷考试，可携带一、填空题(共20分)1.判断下面所定义的变换,哪些是线性变换，哪些不是线性变换：1) 在 Px中，(f(x)f(x 1),f (x)Px;2) 在 Px中，(f(x)f (x)1,f (x)Px. 2设y,V2是n维线性空间V的子空间，关于子空间的维数公式是维(V1 V2) = =。3已知三级矩阵 A的三个特征值为1

2、, 1,2，贝U A 3A 2E =1004.已知矩阵A 020，贝U A的初等因子组为，不变因子组012为，各级行列式因子组为。5在欧氏空间R4中(内积按通常定义)，向量 (0,0,1,1),(0,1,1,0)之间的夹角为。二、(10分)已知三级实对称矩阵A的三个特征值为11, 22, 33，对应1, 2的特征向量分别为p1(1,0,1), p2(0,1,0)，求3对应的特征向量。授课教师命题教师或院系负责人命题负责人签字年 月曰签字年 月曰数学科学 学院高等代数课程试题 （A卷）共2页第2页f（X）是Cxn上的线性变换2.求D在基1,1x,1X2 X ,1 X3 .求A的若尔当标准形100

3、0四、（15分）问A0100,B000100001求D的核及值域;xn 1下的矩阵A ；10001111是否相似？为什么?100010102008 2009学年第2学期 高等代数试题 A卷答案 （2009.）、（20分）在Cxn中，微分变换D:D（f（x）五、（10分）设A是数域P上一个n级矩阵，证明A与A的转置矩阵 A相似。六、（15分）用正交线性替换化二次型2 2 26X1X3 6X2X3f(X1,X2,X3) 2x1 2x2 2x3 6X1X2为标准形（要有过程）；并求所用的线性替换。七、（10分）.设A是n维线性空间V上的线性变换，且 A 2=E （单位变换）证明：（1）A的特征值为1

4、. （2） V V1V 1 .一、填空题：1.1)是线性变换，2)不是线性变换；2维(V V )=维V+维V 维(V V)；2 23.9; 4初等因子组为 (2) ,(1)，不变因子组为1, 1, (2) (1),各阶行列式因子组为1，1，(2)2(1) ；5.。3二、解：设p (X1，X2，X3)是3对应的特征向量，则 p与R1，P2皆正交，即X X,可得p 1,0,1于是 3 3的所有特征向量为kp,Xk 0三、1. D的核Df(x) CxnD(f(x)所以f (x) p , p C 即D ( ) C ；D的值域D(Cxn)L(D( ), D(X),D(xn )L( ,x,Xn ) Cxn

5、2D(,n X, ,XX )(,x,即 D 在 基 ,1 X, ,1 X下 的 矩 阵 为3 易求A的行列式因子为1,1, n，则A的若尔当矩阵为四、解： E A,即 A 的不变因子, ( )( )EB,故即 B 的不变()因子为 , , ,()()从而A与B相似。五、证明：由于 E A 与 E子,因此具有相同的不变因子,故A互为转置矩阵，所以具有相同的各级行列式因A 相似于 A六、解：由题意可知此二次型对应的矩阵为A 的 特 征多 项式为 f( ) | E A|1 4, 2 5233A= 323332( 4)(5)2, 因此 A 的 特征值对应对应 14的特征向量为 p11 1 15线性无关的特征向量为 p2 ( 1 1 0), p3 ( 1 0 1) ,将其正11132飞交化、单位化后得正交矩阵Q1一3121即经正交替换X=QY , f化61230.6成标准形f4yi25y；5yf七、.证:1 )设A,A22E,2 1, = 1.V ,有=1(eA)(）扣A)()12，1i 2(e a)(），21(eA)().121Q A i2(aA )()2