2017年全国数学一卷理科21题解答

1、2017年全国一卷理科21 题解答21. 已知函数f ( x)ae2 x(a2)exx .(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2) 若 f ( x) 有两个零点，求 a 的取值范围 .解 :(1)由 f (x) 2ae2 x(a2)ex 1(2ex 1)(aex1), 及 2ex1 0可知:当 a0 时 , f ( x)0,此时f (x) 在 R 上递减；当 a 0 时 , 由f ( x)0得 xln a , 此时 f ( x) 在 (, ln a) 上递减 , 在 ( ln a,)上递增.(2) 由 (1) 知:若 a 0 , 则 f (x) 在 R 上递减 , 至多有一个零点 , 不合题

2、意；若 a0 , 则 f (x) 在 (,ln a) 上递减 , 在 (ln a,)上递增 .再由 f (x) 有两个零点可知f (x)minf (ln a)1 (aaln a 1)0.a设 g(x)xx ln x1,x 0, 则由 g ( x)2ln x 知 g( x) 在 (0, e 2 ) 上递减 , 在 (e 2 ,)上递增.故当 0 xe 2 时 , g ( x) xx ln x 1 x(1 ln x) 1x 1 0；由g (x)在(e2,)上递增,及g(1)0可知当e2x时,g ( x)0 ,当x1时,g(x) 0 .1故不等式 g(x)0 的解集为 (0,1), 即 a 的取值范

3、围为(0,1).另解 : 由 f (x)ae2xaex2exx0 得 a2exx .e2xex设函数 g ( x)2exx, 则 g (x)(2ex1)(e2 xexxex )ex (2ex1)(exx1) .e2xexe2 xexe2 xex设函数)exx1, 则由h( x)h(0)0(,0)g (x)0(0,)g (x) 0h x递增,及知在上, 在上.(故 g(x) 在(,0) 上递增 , 在(0,) 上递减 . 又由于g(0)1, 且当 x0 时 , 有 g ( x)0, 因此要使方程 g( x)0 有两个实根 , 需有 0a1, 即 a 的取值范围为(0,1).2017年全国一卷文科

4、21 题解答21. 已知函数f ( x)ex (exa)a2 x .(1) 讨论 f (x) 的单调性；(2)若 f ( x)0 恒成立，求 a 的取值范围 .解 :(1)由题意可得f (x)2(ex )2aexa2(2exa)(exa) .当 a0时 ,f (x)0, 故 f(x) 在 R 上递增 .当 a0 时 ,2x0 ,xea由ea0得xln a, 故f (x)在(,ln a)上递减 ,在(ln a,)上递增 .当 a0时 ,xa0xa0 得 xln(a,ln(aae, 由 2e) , 故 f ( x) 在 () 上递减 , 在 (ln(), )222上递增 .(2) 当 a0时 ,f (x)e2 x0 显然成立 .当 a0 时 , 由 (1) 知 f ( x)minf (ln a)a2 ln a0,故0a1.a)3 a2a2 ln(a )3当 a