完整倍长中线与截长补短提高班教师版

1、2倍长中线2与截长补短满分晋级三角形8级O三角形7级倍长中线与截长补短三角形9级全等三角形的经典模型（二）全等三角形的经典模型（一）秋季班第二讲秋季班第三讲秋季班第四讲漫画释义.fr倍长中线与截长补短1ti和谐社会踊可1立冃住”辄这回和谐了】T领先中老培优课程初二秋季第2讲提高班教师版倍长中线与截长补短截长补短定义示例剖析A倍长中线：即延长三角形的中线，使得A延长后的线段是原中线的两倍./ 其目的是构造一对对顶的全等三角形；/ / 其本质是转移边和角.B 卞 C E其中BD CD ,延长AD使得DE AD , 则 BDECDA .【例1】 已知 ABC中，AD平分 BAC，且BD【解析】 延长

2、AD到E，使DE AD，连接CE .则 ACDEBDA , CE AB , CEDBAD , AD 平分 BAC , BAD CAD , CED CAD , -CE AC ,初二秋季第2讲提高班教师版【教师备选】教师可借用例 1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳:已知角平分线+中线证等腰三角形，如例 1；已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展 1；已知中线+高证等腰三角形，如拓展 2.【拓展1】已知 ABC中，AD平分/ BAC,且AD丄BC,求证：AB=AC.【解析】/ AD 平分/ BAC,BAD= / CADTAD 丄 BC, / ADB = / ADC=90 ABD ACD (

3、SAS) AB=AC.【拓展2】已知 ABC中，AD丄BC,且BD CD，求证：AB=AC.【解析】/ AD丄BC, 且 BD CD AD所在直线是线段 BC的垂直平分线根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等故 AB=AC.典题精练初二秋季第2讲提高班教师版【例2】 如图，已知 ABC中，AB AC , CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BD AB .给出下列结论：AD=2AC;CD=2CE;/ ACE= / BCD :CB 平分/ DCE , 则以上结论正确的是 .【解析】 正确. AB AC , BD AB , AD=2AC.、正确.延长CE到F，使EF CE，连接BF .CE 是

4、AB 的中线， AE EB .-Y领先中老培优课程www.$pFiyoug在厶EBF和厶EAC中AE BEAEC BEFCE FE EBF EACBF AC AB BD , EBF EAC FBC FBE EBC A ACB DBC 在厶FBC和厶DBC中FB DBFBC DBCBC BC FBC DBCCD CF 2CE，/FCB=ZDCB即 CD=2CE , CB 平分ZDCE .错误./FCB = / DCB，而 CE是AB边上中线而不是 / ACB的角平分线故 / ACE和/ BCD不一定相等.如图，在 ABC中，点D、E为边BC的三等分点，给出下列结论： BD=DE=EC;AB+AE

5、 2AD ;AD+AC 2AE ;AB+AC AD+AE ,则以上结论正确的 是.【解析】 点D、E为边BC的三等分点， BD=DE=CE延长AD至点M ,AE至点N，使得DM =AD ,EN=AE，连接 EM、CN，则可证明 ABD MED，进而可得 AB+AE 2AD，再证明 ADE NCE，进而可得 AD+AC 2AE，将两式相加可得到AB+AE+AD+AC 2AD+2AE,即卩 AB+ACAD+AE . 均正确.初二秋季第2讲提高班教师版领先中考培优课程【例3】E是AD上一点，延长BE交AC于F ,如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,AF EF，求证：AC BE .【解析】延

6、长AD到G ,使DGAD，连接BGG BD CD ,BDGCDA, AD GD7 ADCGDB , AC GB , GEAF又 AF EF , EAF AEFBEDG BED ,- BE BG , - ACBE 【例4】PQ丄BD于P,MP与MC的关系.【解析】在正方形ABCD中,延长PM至点N,使PM=MN，连结M为QD的中点，试探究CP、CN、DN .易证 PMQ NMD , PB=PQ = DN , / PQD = / NDM PQ / DN，又/ BPQ= / BDN= 90 / PBQ = Z BDC= / NDC=45初二秋季第2讲提高班教师版Y领先中老培优课程-J-Z. .-i-

7、再证 BPC S DNC (SAS)易证 PCN为等腰直角三角形，又 PM = MN , PM 丄 MC,且 PM=CM .定义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短 的线段A在线段 AB上截取 AD AC补短：即在较短的线段上补一段线段使其和 较长的线段相等A丄D延长AC，使得AD AB例题精讲【例5】 在厶ABC中，A的平分线交BC于D，AB AC CD， B 40，求 C 的大小.（希望杯培训题）初二秋季第2讲提高班教师版6鈕领先中考堵优谏笹tIra!?DE .AD ADAE【解析】在AB上截取AE AC/ AE AC , BAD ACDAED ,C AED , CD AB AC

8、 CD , AEEBD EDB 40，连接DE .CAD ,AD AD ,DE ,AC ,二 CD BE DEAED 80典题精练【例6】如图，在 ABC中，B 2 C ,求证：AB BD AC .【解析】方法（截长）在AC上截取AB在 ABD和 AED中AB AE , BAD 二 ABDAED二 BD ED又/ AEDEDC二 AB BDEDCAC .BACAE，连接DE .EAD, ADAEDED EC方法二：（补短）延长 AB到点在厶AED和厶ACD中，AE- AED ACD , C又ABC E BDE 2BDE 二 BEBD AC .ADE使得ACAC , EADC 2 BDEAE，连

9、接CAD ,BD ,BE的平分线 AD交BC于点D .则有EABE ,ABCEEAB2又ABC2 C?:.CE AEACEADEABBADEDACC AEDE?- ABBDEBBD EDAEAC方法三:（补短）延长DB到点E使得ABEDAC-AB+BD=AC若题目条件或求证结论中含有“ADEc”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补先申考培优燥程初二秋季第2讲提高班教师版W 4j礼啊y 述尸 r建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法A【例7】 已知：在 ABC中，AB CD BD， AD BC，求证：B 2 C .【解析】方法一：在DC上取一点E，使BD在厶AB

10、D和厶AED中，AD BC , 二 ABDAED .二 AB AE , B AED .又 T AE AB CD BD CD DE CEAC , CEAC AED 2 C图1方法二：延长 DB到点E，使BE AB，如图2, E EAB ./ AB CD BD , ED CD .在厶AED 和厶 ACD 中，AD BC , ED CD , AD AD . AED ACD .E C . ABD 2 E B 2 C .【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有：截长法：过某一点作长边的垂线；在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与

11、另一短边相等。补短法：延长短边。通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。初二秋季第2讲提高班教师版领先中考培优课程【变式一】正方形 ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EAF=45 ，求证：EF=DE+BF .【解析】延长CD到点G,使得DG=BF，连接AG由四边形 ABCD是正方形得：ADG= ABF=90 ，AD=AB又 vDG=BF KDG 也ABF (SAS)GAD= FAB,.AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB =90 = DAF+ FAB= DAF+ GAD= GAFGAE= GAF EAF=90 45 =45 GAE= FAE=45 又AG=AF, AE=A

12、E HAG 也 AEAF ( SAS) EF=GE = GD+DE=BF+DE【变式二】正方形 ABCD中，点E在CD延长线上，点 F在BC延长线上，EAF =45请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？硕先中孝培优课疑初二秋季第；2讲提高班教师版【解析】 数量关系为：EF=BF DE .理由如下：D在BC上截取BG,使得BG = DF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADE= ABG=90 AD=AB又 DE=BG ADE ABG (SAS)EAD= GAB, AE=AG由四边形ABCD是正方形得DAB =90 DAG+ GAB= DAG+ EAD= GAEGAF= GAEEAF=90

13、45 =45GAF= EAF=45又 AG =AE, AF=AF EAF GAF ( SAS) EF=GF = BF BG=BF DE【变式三】正方形 ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45,请问领先中考培优谀程现在EF、DE、BF又有什么数量关系？初二秋季第2讲提高班教师版学卉科到学內战earn【解析】 数量关系为：EF=DE BF.理由如下:在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG由四边形ABCD是正方形得ADG= ABF =90, AD=AB又 v DG = BF(SAS)GAD= FAB,AG=AF由四边形ABCD是正方形得DAB =90 GAE =DAG+

14、 GAB= BAF+ GAB= GAFGAF EAF=9045=45GAE =FAE=45又 v AG=AF ,AE=AE EAG EAF ( SAS) EF=EG = ED GD=DE BF【变式四】正三角形 ABC中,请问现在EF、BE、E 在 AB 上，F 在 AC 上 EDF =60CF又有什么数量关系？,DB=DC,BDC=120 ,领先中孝培优课程GCC21初二秋季第2讲提高班教师版领先中戋塑师程!【解析】数量关系为：EF=BE+FC，理由如下延长AC到点G,使得CG=BE，连接DG由厶ABC是正三角形得:ABC= ACB=60DCB=30DBE = ABC+ DBC =60 +3

15、0 =90 ,ACD= ACB+DCB =60 +30 =90又 v DB=DC,BDC=120 ； DBC =GCD=180ACD=90DBE= DCG=90(SAS)又 v DB=DC, BE=CG ,DBE DCGEDB= GDC,DE=DG又 v DBC=120 =EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDGGDF= EDGEDF=120 60 =60GDF= EDF =60又 v DG = DE , DF = DF GDF EDF ( SAS) EF=GF = CG+FC=BE+FCFAB=30 , AD= - 3 ,【变式五】正方形 ABCD中，点E在CD上，点F在BC上， EA

16、D=15 求厶AEF的面积.*23【解析】延长CD到点G,使得DG=BF，连接AG,过E作EH AG前面如变式一所证， ADG ABF , EAG EAFGAD= FAB=30 Saeag=S eaf在 Rt ADG 中，GAD =30 ； AD= . 3AGD=60 , AG=2设 EH=x在Rt EGH中和Rt EHA中AGD=60HAE=45HG = , AH=x3AG=2= HG+AH= x x ,3 EH=x=3 3Sa eag=Sa eaf = 1 EH AG= . 3 .2N /【例8】 已知：正方形 ABCD中，/ MAN=45，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交 CB、DC（或

17、它们的延长线）于点M、N .莎騒r领先中考培优煤程学理鰹学凤思AADNMM连结AEA450BAMNADEABBAM45EAMNAMCME=MN AEM ANMv/ww s?eiyou coi如果不成立，请说明理由系？请写出你的猜想，并证明易证 ABM ADE (SAS)【解析】图1中的结论仍然成立，即Q BAD即 DN BM MNBM DN MNDN BM MNMN ME BE BM DN BMAE=AN ; / EAB= / NAD易证 ABEADN (SAS)又AM为公共边转到BM DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明当/ MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段

18、BM、DN和MN之间有怎样的等量关猜想：线段BM、DN和MN之间的等量关系为证明：如图2，在MB的延长线上截取 BE=DN如图1,当/ MAN绕点A旋转到 BM=DN时，有 BM+DN=MN .当/ MAN绕点A旋证明：如图3，在DN延长线上截取 DE=MB，连结A E初二秋季第2讲提高班教师版1490, NAM 45/叫、图寿7（2012密云一模） D AM=AE; / MAB= / EAD .易证 AMN AEN (SAS). MN EN . I DN DE EN , DN BM MN .初二秋季第2讲提高班教师版Y领先中考培优课程一 学理科割学南思思维拓展训练（选讲）训练1.ADC的平分

19、线分别交 AB于E、交AC于F 求已知AD为 ABC的中线, 证：BE CF EF .ADB、【解析】延长FD到N，使DN DF，连接BN、EN .易证 BNDCFD , BN CF ,又I ADB、 ADC的平分线分别交 AB于E、交AC于F , EDF EDN 90 ,训练2.【解析】训练3.ADB、利用 SAS证明 EDN EDF , EN EF , 在厶 EBN 中，BE BN EN , BE CF如图，在正方形 ABCD中，F是CD的中点， 且AF平分 DAE，求证：AE EC CD 解一：（截长）作FH AE于点H分别证明 AFH AFD , EFH EFC AH解二:先证明AD

20、, HE ECAH HE CD EC（补短）延长 AF , BC交于点G ADF GCF , CG DA CD ,EF E是BC边上的一点,FAD ,DAF EAF , G AEEG , AE ECEAFCGECCD 如图,BC ABC 中，AB AC , AC CD .G108 , BD平分 ABC交AC于D点.求证:初二秋季第2讲提高班教师版27 马【解析】 BD 平分 ABC , ABDEBD.在 ABD与厶EBD中 AB EB , ABDEBD ,BDBD ABDEBD ,-ADEB A 108 ,DEB108 DEC72 .又 T ADB 361854 CDE 72 , CDE1DE

21、C , CDCE BC BE EC , -BC ACCD方法二：如图，延长CA 到 F ,使CFCB ,连结T AB AC，且 BAC 108 ,方法一：在BC上截取E点使BE BA，连结DE .ABCC36 .BF . CB CFF FBC .FABADBADB54 .ABC . FAB 72 .1ABC ,2又 I FBD 54AB AC FD . - AF CD . - BC AC CD .训练4.五边形 求证：ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD，/ ABC+ / AED=180 AD 平分/ CDE.【解析】延长DE至F，使得EF=BC，连接 AC、AF.SBC+ ZAED

22、=180,zAEF+ ZAED=180厶BC=ZAEFAB=AE, BC=EFABC汪 AEFEF=BC, AC=AFBC+DE=CD ,.CD=DE+EF=DF ADC逐 ADF , aZADC=ZADF即AD平分/ CDE.【演练1】 在厶ABC中，AB 5 ,AC 9，则BC边上的中线 AD的长的取值范围是什么?【解析】中线倍长，2 AD 7【演练2】在RtAABC中，FDFE 90 .若 AD是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足【解析】如图，延长 DF至点G，使得DF由 AF FB，有 ADFBGF- BG AD 3,FG，联结GB、GE .图 6GBE ACB AD I

23、I GB180 , - GBE 90 , GE . GBEB2 5.ADF BGF ,又 DF FG， EFDG , DE GE 5.3 , BE 4，则线段DE的长度为 .题型二截长补短课后演练【演练3】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的数量 关系?（提示：过点 M作MG II BD交AD于点G ）【解析】 猜测DM MN 过点M作MG II BD交AD于点G , AG AM , GD MB初二秋季第2讲提高班教师版又/ ADMDMA 120 , / DMA / NMB

24、120叫/Z ADM Z NMB，而/DGM / MBN 120, DGM MBN , / DM MN .【演练4】 如图所示，已知 ABC中，AC BC , 分 BAC，求证：AC CD AB.【解析】解法一：如图，过D作DE AB于E .v CD AC ,12 , Rt ACD 也 Rt AED , CD DE,AC AE .又 v DE BE, B 45 , DEB为等腰直角三角形有 DE BE，故BE CD . AB AE BE AC CD .解法二：如图，延长v ECD 90 , 又 v 12 , EAC 至U E，使 CE CD .E 45 .B 45 , AD 公共， ADEAD

25、B，有 AE AB . 故 AB AC CE AC CD .EB【演练5】 已知：如图，ABCD是正方形，Z FAD= Z FAE.求证：BE+DF=AE.【解析】 延长CB至M，使得BM=DF，连接AM.AB=AD, AD 丄 CD , AB丄 BM , BM=DF ABMADF ZAFD = ZAMB , ZDAF = ZBAMv AB II CD ZAFD = /BAF=/EAF+ /BAE= ZBAE+ ZBAM=ZEAM ZAMB = /EAMAE=EM=BE+ BM=BE+ DF.35测试1.【解析】E、F 分别在 BD、AD 上. DE CD ,A如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC , EF AC .求证：EF / AB .延