完整版人教a版必修4学案231平面向量基本定理含答案

1、数学大师 2.3平面向量的基本定理及坐标表示2. 3.1 平面向量基本定理自主学习LZ知识梳理1. 平面向量基本定理（1）定理：如果 ei, e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的向量a, 实数 ?i,茏，使a =.（2）基底：把 的向量ei, e2叫做表示这一平面内 向量的一组基底.2. 两向量的夹角与垂直（1）夹角：已知两个a ,/ /以证明：一定存在一组实数 图1和图2叙述这一过程.（0 180 叫做向量 a与b的夹角. 范围：向量a与b的夹角的范围是 当0=

2、0寸，a与b. 当0= 180时，a与b.垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作匸自主探究设e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内的任一向量.通过作图法可（入，?2）使a=乃e1 + 2ee2成立，并且（乃，劝是唯一的，请你根据对点讲练知识点一对基底概念的理解【例1丨如果e1，e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（） 砂+ Q2（吐R）可以表示平面 a内的所有向量； 对于平面a内任一向量a，使a= Q+ &的实数对（入0有无穷多个； 若向量 入e1+ 01e2与 泌1 + 0e2共线，则有且只有一个实数入使得 乃e1+心2= X加+ 區2）； 若存在

3、实数 入卩使得X1 + 02= 0，则X=尸0.A .B .C .D.回顾归纳 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.变式训练1设&、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： e1 与 e1 + e2； e1 2e2 与 e2 2e1;e1 2e2 与 4e2 2e1；e1 + e2 与 e1 e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 .（写出所有满足条件的序号）知识点二用基底表示向量【例2如图，梯形ABCD中，AB/ CD ,且AB = 2CD , M、N分别是 DC和AB的中

4、点, 若AB = a, Ad = b 试用 a, b 表示 DC、BC、MN.回顾归纳 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向 量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形. 借助于平面几何知识和共线向量定理， 结合平面向量基本定理解决.变式训练2 如图，已知 ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点， 若AB = a, AC= b,用 a, b 表示 AD, AE, AF.& E D F C知识点三平面向量基本定理的应用【例3丨如图所示，在 ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN= 2NC , AM与BN相交于点 P,求证：AP : PM =

5、 4 : 1.回顾归纳 (1)充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注重方程思想的应用；(2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握.变式训练3如图所示，已知 AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD = 2DB ,DC 和 0A 交于点 E，设 0A = a, OB= b.(1)用a和b表示向量OC、DC ；若0E =込A，求实数入的值.1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：基底是两个不共线向量；基底的选择是不唯一的. 平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与任意向量共线，故不能

6、作为基底.2.准确理解平面向量基本定理(1) 平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的 方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的.(2) 平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可 以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决课时作业一、选择题1.若e1, e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是12e1 + e2, e1 + ?e2e1 + e2, e1 e2ei e2, e2 eiC.2e2 3ei,6ei 4e2等边 ABC中，AB与BC的夹角是(30 B. 45 C.)2.A.3.下

7、面三种说法中，正确的是 (一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有)60 D. 120 4 .在 ABC中，D, E, F依次是 于()13Ae1 + e2441 1C.眉1 A 6244BC的四等分点，以AB = e1, AC= e2为基底，则AF等5.已知 则m的值为(A. 214宀14宀ABC和点M满足MA + IMB + IMC = 0若存在实数 m使得AB+ AC= mAM成立, )B. 33B. e1 +；e24 41D.；e1+； e244无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；零向量不可作为基底中的向量.C .D .A .B .二、填空题6

8、. 设向量 m= 2a 3b, n= 4a 2b, p= 3a+ 2b，试用 m, n表示p的结果是 7. 在 ABC 中，AB = c, AC= b.若点 D 满足 BD = 2DC，则 AD =.三、解答题8.如图在平行四边形 ABCD 中,M, N分别为DC , BC的中点，已知 AM = c, AN = d,试用c, d表示AB, AD.9.如图所示,在厶 OAB 中，OC = 1OA, OD = 2OB, AD与BC交于点M ,设OA= a, OB=b，以a、b为基底表示 OM.2.3平面向量的基本定理及坐标表示2. 3.1 平面向量基本定理答案知识梳理1. (1)不共线 任意 有且

9、只有一对?1e1+茏e2(2)不共线所有2. (1)非零向量/ AOB 0,180同向反向 (2)90 a丄b自主探究解 在平面内任取一点 O作OA= e1, OB = e2, OC = a.过点C作平行于直线 OB的直线, 与直线OA交于点M;过点C作平行于直线 OA的直线，与直线 OB交于点N.由共线向量定理知，存在实数入、瓜使OM = hei, ON = he2,由于 OC = OM + ON , 所以 a= hei + he2.F面说明这里的入、h是唯一的.设 a = h iei + h 2e2hei+ he2= h iei+ h 2.（hh， ）ei+ （h_h， ）e2= 0, e

10、i、e2 不共线. h h = h h = 0.刀=h, h = h.- (hi, h)是唯一存在的.对点讲练【例i| B 由平面向量基本定理可知，是正确的.那么任意一个向量在此这样的 入有无数个，故选对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定,基底下的实数对是唯一的.对于，当两向量的系数均为零，即h= h= pi = (j2= 0时，B.变式训练i解析 对于 4e2 2ei = 2ei + 4e2= 2(ei 2e2),二ei 2e2与4e2 2ei共线，不能作为基底.例 21 解如图所示，连接 CN,则四边形ANCD是平行四边形.t t i t i则 DC = AN = AB =

11、 a,t t t t i tBC= NC NB= AD qABi=b 2a,t t tt i tMN = CN CM = AD CD t i i t i=AD 2 ?AB = 4a b.变式训练2解 AD =AB + BDT i T=AB+ BC=a+2（b a）=尹+ 尹;T T T T i TiAE= AB + BE= AB + 3BC = a + （b a）3a+ 3b；AF = AB + BF = AB + 3BC = a +|（b a）i 2u3a+尹例 3| 解设Ab= b, AC= c,t 11 t 2 t t t t 2则 AM = 2b + 尹 AN = 3AC, BN= B

12、A + AN = -c b./AP/ Am, Bp / BN,存在 人 卩 R，使得AP= ?Am , BP = 3BN,又 AP+ PB = AB,血BN= Ab , 1 1 2 ZH由入 b+ 2c 口 3c b = b 得1 1 2 2 AtF 3 b + 2 33 c= b.又tb与c不共线.4匸4；1 22入3尸0-解得3尸5-t 4 t故AP=“M,即5变式训练3解且 OHD = 録,AP : PM = 4 ： 1.(1)由题意，A是BC的中点,由平行四边形法则，0B+ OC = 2OA. 0)C= 20)A (5b= 2a b, DC = (5C (5D25=(2 a b) 3b

13、 = 2a 3b. EC / DC.又 t EC= OC OE = (2a b)七t5=(2 为a b, DC = 2a 3b,4-匕4-3.B 2匚 12 = 5，3课时作业1. D 2.D 4. A t D, E, F依次是BC的四等分点, AE= (Ab + AC) = $ e1 + e2),BC= AC AB= e2 e1, AF = AE + EF11 t=2(e1 + e2)+ 4BC11=2(e1 + e2)+ 4(e2 e1)13=e1+ , e2.445. B 设BC的中点为 D,由已知条件可得 M为厶ABC的重心，AB + AC = 2AD , t 2 t又AM = 3AD

14、，故 m= 3.7136. p=- 4m + 8门解析 设 p = xm+ yn，则 3a + 2b = x(2a 3b) + y(4a- 2b) = (2x+ 4y)a+ ( 3x-2y)b_72x+ 4y= 3x= 4得？ 巾-3x- 2y= 2I3y= 82 17.3b+3c解析 Ad =Ab+ bd = AB+ |bct 2 t t=AB+ 3(AC - AB)1 t 2 t 21=3AB + 3AC = 3b + 3c.& 解设AB= a, AD = b,因为M , N分别为DC , BC的中点,t 1- 1所以 BN= |b, DM = |a,1 c= b + |a1 d= a + |b，解得2a = 3 2d c2b = 3 2c- dt 2t 2即AB= 3(2d- c), AD = 3(2c- d).9.解 设OM = ma+ nb (m, n R),则Am = OM - OA= (m