完整版电磁场理论习题及答案7

1、习题:rriruuBex3x2z ey6 ez3xz2T的磁场中移动时，求1.在z 3m的平面内，长度l 0.5m的导线沿x轴方向排列。当该导线以速度r ur urv ex2 ey4叹在磁感应强度感应电动势。解：给定的磁场为恒定磁场,故导线中的感应电动势只能是导线在恒定磁场中移动时由洛仑兹力产生的。有r rr r in (v B) dl根据已知条件，得r ir(v B) |zrr ur(ex2 ey4)rr ur2(ex3x z 色6xz2)rrex108xur ey54xez(1236x2)r ur dlexdx故感应电动势为0.5 in 0irex108xuuey54xir ez(1223

2、6 x ) exdx13.5V2.长度为I的细导体棒位于xy平面内，其一端固定在坐标原点当其在恒定磁场B ezB0中以角速度 旋转时，求导体棒中的感应电动势。解：导体中的感应电动势是由洛仑兹力产生的，即in(v b) dl根据已知条件，导体棒上任意半径r处的速度为ur e rdlirerdr故感应电动势为inlo(vb) dluuiruro (e rezB0) erdrBoLrdr0爭。|2V3.试推出在线性、无耗、各向同性的非均匀媒质中的麦克斯韦方程。解：考察麦克斯韦方程中的参量，利用它们与电场强度E和磁感应强度B的LT关系，将HSLT IL,DE, JE代入即可，注意在非均匀媒质中，是空间

3、坐标的函数。考察麦克斯韦第一方程，有uu HITB12LT L D Jt所以urBITBLTDLT LTE) E，于是，微分形式的麦克斯韦方程用E和B表示为ITBLTEurE对于无耗媒质,L因此有J 0。4. 试由麦克斯韦方程推导出电流连续性方程解：对麦克斯韦第一方程HLTD两边取散度，得uuuD(H ) J0t又因为 D ，所以uJt5. 设真空中电荷量为q的点电荷以速度v(v = c)向正z方向匀速运动，在t 0时 刻经过坐标原点，计算任一点位移电流密度(不考虑滞后效应)。解：选取圆柱坐标系，由题意知点电荷在任意时刻的位置为 (0,0, vt)，且产生 的场强与角度 无关，如习题所示。设P

4、(r, ,z)为空间任一点，则点电荷在P 点产生的电场强度为uE qR4 0R3u其中R为点电荷到P点的位置矢量，即u ir irR err ez(z vt)ururuude那么，由Jd 0上，得ttuu u 3qrv(z vt) u qv2(z vt)2 r2Jd er5 ez54 r2 (z vt)24 r2 (z vt)2?6. 已知自由空间的磁场为ur urH eyH0cos( t kz)A/m式中的Ho、k为常数，试求位移电流密度和电场强度解：随时间变化的磁场要产生电场，随时间变化的电场又要产生磁场，它们之间的相互联系和制约由麦克斯韦方程来表征。自由密度空间的传导电流密度故由麦克斯韦

5、第一方程得ult而JdUTD turDULTJdJdtuuuHyzuu uur e (-) dlrdlI di e4 c r29. 如图所示，同轴电缆的内导体半径1mm，外导体内半径b 4mm，内、外导体间为空气介质，且电场强度为(105t 0.5z)V/mur 100E ercosr(1)求磁场强度H的表达式(2)求内导体表面的电流密度;(3)计算0 Z 1m中的位移电流。r解：(1)将E表示为复数形式，有urE(r,z)er 竺 ej0.5zr由复数形式的麦克斯韦方程，得uu1Hj 0LTEuu E e r j 0 z磁场H的瞬时表达式为uuH (r, z,t)er0cos(1(8tr0.

6、5)A/m(2)内导体表面的电流密度uuJsuuH r a eruuH r8ez397.9cos(10 t20.5) A/m(3)位移电流密度Jd 0t2er 直亘sln(108t 0.5)A/m2所以0 Z 1m中的位移电流dS1 ur0Jd er2 rdzuuId s Jd对方程 H JtD两边取散度,(H)(J十)而电流连续性方程矢量恒等式(H) 0故得即-(D ) 0可见，(D )是一个与时间无关的常量。若取t 0时，该常量为零，则 t 0的任何时刻， D0皆满足需要。故得D同样，对方程BE寸两边取散度，得-B-(E)t( B)0故得B 011.如图所示，两种理想介质，介电常数分别为!

7、和2，分界面上没有自由电荷在分界面上，静电场电力线在介质1,2中与分界面法线的夹角分别为!和2。求解：利用D和E的关系以及理想介质分界面的边界条件求解。设Di和D2分别为介质1,2中电通量密度。Ei，E2分别为介质1,2中电场强度。在各向同性介质中，D和E具有相同的方向。由边界条件DinD2n 和 Eit E2t，得EitE2tDinD2n而根据图可知D i nDi COS iEitEi s in iD2n D2 cos 2E2tE2 sin 2则得tan iiri0ritan 22r20r212. 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件解：空气和理想导体分界面的边界条件为n E 0*

8、 1-n H Js根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式E H,H E,Js Jms即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件nH0r b-nEJ sm式中，Jsm为表面磁流密度13. 在由理想导电壁(r )限定的区域0 x a内存在一个由以下各式表示的电磁场:axEy Ho ( )si n( )si n(kz t) aa xH x H ok( )sin( )sin(kz t)axH z H 0 cos( ) cos(kz t)a这个电磁场满足的边界条件如何？导电壁上的电流密度的值如何?解：应用理想导体的边界条件可以得出在 x 0处，Ey 0，Hx 0Hz H0 cos(kzt)在 x a 处，E

9、y 0， H x 0HzH0cos(kzt)Ey和磁场的上述结果表明，在理想导体的表面，不存在电场的切向分量 法向分量Hx。另外，在x 0的表面上，电流密度为Js n H lx 0 ex (exHx ezHz)|x。ex ezHz lx。eyHcos(kzt)在x a的表面上，电流密度则为Js n H |x aex (exHx ezHz) |lx aexezHlx aeyHcos(kzt)14. 设电场强度和磁场强度分别为EE0 cos( te)H H0 cos( tm)证明其坡印廷矢量的平均值为Savm)1 hSav E0 H 0 cos( e证明：坡印廷矢量的瞬时值为E0cos( te)H

10、0 cos( t m)-E02故平均坡印廷矢量为Hocos( tm) cos(t e t m)H 0 cos(2 tm)cos( em):1 T 1 T 1 Sav Sdtav t 0 t 0 21 E。Hcos( e2-Eo H ocos(2em)cos( em)dtm)15. 一个真空中存在的电磁场为其中k/c是波长。求z平均值。解:irEinuuexjE0si n kzurHurey0 UU E0 coskz/8，/4各点的坡印廷矢量的瞬时值和uE(z,t)UU UU+Reex JE0sin(kz)eJ tuu uuex E0 sin(kz)cos(?t)UUH(z,t)cos(kz)e

11、Juu0 E0 cos(kz)cos( t)UT eyt坡印廷矢量的瞬时值为uS(z,t)ITE(z,t)urH(z,t)1UULTE20sin2kzsin2 turez4故当Z 0时，有uS(0,t)0当Z丄时，有4urS(严,t) 04任一点的坡印廷矢量的平均值为u i t ur i uiyi tSsv Sdt 良一一EoSin2kz sin2 tdt 0T 04* oT 016. 写出存在电荷和电流密度J的无耗媒质中的E和H的波动方程的瞬时值形解：由麦克斯韦方程的微分形式(1)(3)(4)H)由式（1）两边取旋度，得i( E)利用矢量恒等式,H)2H(H)所以2hH)J -( E)将式（

12、2）和式（3）代入上2hH-)故得同理可得2h2HJt2(5)2 -2EJ1Et2t(6)式（5）=式（ 6）则为所求的有源空间中E和H所满足的波动方程，是非齐次波动方程。17在应用电磁位时，如果不米用洛仑兹规范条件，而是米用库仑规范条件，即令 A0，导出A和 所满足的微分方程。解：将电磁位定义代入麦克斯韦方程，利用算子的二阶运算恒等式将所得式子简化，然后引入库仑规范条件就可得到 A和 所满足的方程即IBA代入麦克斯韦方程,， 卡F-H J得*彳b-rH( A) J由恒等式A (于是有(A) 2A JDt上J -(丄)tttA) 2 A（t）2 A2t2(1)又将电磁矢量位和标量位代入令 A

13、0代入（1）和（2）2A2a2V7）(2)(3)(4)（3）和（4）式即为在库仑规范条件下的电磁位所满足的微分方程。18海水的电导率4Sm，在频率f 1GHz时的相对介电常数r 81。如果把海水视为一等效的电介质，写出H的微分方程。对于良导体，例如铜，r 1,5.7 107S m，比较在f 1GHz时的位移电流和传导电流的幅度。可以看出，即使在微波频率下，良导体中的位移电流也是可以忽略的。写出H的微分方程。解：对于海水，写出H的微分方程为H J j DEj E j ( j-)E即把海水视为等效介电常数为cj 的电介质。代入给定的参数得910 94-H j2 10(81j9)E36210j(4.

14、5 j4)E (4j4.5)E对于铜，传导电流的幅度为E，位移电流的幅度E。故位移电流与传导电流的幅度之比为2 f3610 95.7 107139.75 10 f可见，即使在微波频率下，铜中的位移电流也是可以忽略不计的。 故对于铜,H的微分方程为5.7 107E19给定标量位ct及矢量位Aex( t)，式中 c。c - 0 0(1)试证明:(2)(3)证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。解：(1)Axx-( t)tct)10 0(2)BzezAxyt)ext(x ct) ex 0D oE 0(3)这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。20.无源、无损耗媒质中的电场矢量为VE(x,

15、 z,t) eyEmCOS( t kxx kzZ) m(1)求与E相伴的磁场矢量H(x,z,t)；(2)讨论E、H存在的必要条件。解：维系电场和磁场是麦克斯韦方程，求解就从麦克斯韦方程入手。在无源(J 0,0 )、无损耗媒质(0 )中，麦克斯韦方程为H(1)由 EH 1texEyez邑)ex(EmCOS( tz-exkzEmSin( t k*xkxX kzZ)ez(Emcos( t kxX kzZ)xkzZ) ezkxEmSin( t kxX kzZ)将上式对时间t积分，得H (x, z,t)exkz Em COs(t kxx kzz) ezkxEm cos( t kxx kzz)(2)要使H、E作为满足麦克斯韦方程的电场、磁场矢量存在，表示式中的相关参数、kx、kz和媒质参数必须满足一定的关系。将求出的H代入ey2kz